萊布尼茨公式課件

1、第六章 定積分求總量的問題教學(xué)目標(biāo)（1）理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質(zhì)；（2）了解微積分基本定理，掌握牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法和分部積分法；（3）了解反常積分的概念，會(huì)求無窮限區(qū)間上的反常積分；（4）了解定積分中所蘊(yùn)含的辯證法和李善蘭的貢獻(xiàn)；教學(xué)重點(diǎn)：定積分的概念和性質(zhì)、微積分基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法、定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)：定積分的概念、定積分的換元積分法和分部積分法、非正常積分、微元法、定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用；教學(xué)時(shí)數(shù)：8學(xué)時(shí)；1特殊和式的極限定積分的概念2計(jì)算定積分的一般方法微積分基本定理3定積分的拓展非正常積分4定積分的魅力顯示在若干學(xué)科中 的應(yīng)

2、用數(shù)學(xué)家啟示錄教學(xué)內(nèi)容：1. 1抽象定積分概念的兩個(gè)現(xiàn)實(shí)原型原型 求曲邊梯形的面積 設(shè)f(x)為閉區(qū)間 a, b上的連續(xù)函數(shù), 且f(x)0. 由曲線y = f(x), 直線x = a、x = b 以及 x 軸所圍成的平面圖形(圖6. 1)稱為f(x) 在 a, b上的曲邊梯形的面積s. xya=x 0b=x 0y=f(x)(圖6. 1)設(shè)質(zhì)點(diǎn) m 受力 F 的作用沿 x 軸由點(diǎn)a 移動(dòng)至點(diǎn)b , 并設(shè) F平行于 x 軸(圖6. 2). 如果F是常量, 則它對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功為W=F(b-a)如果力 F不是常量, 而是質(zhì)點(diǎn)所在位置x 的連續(xù)函數(shù)那么F 對(duì)質(zhì)點(diǎn) m 所作的功W應(yīng)如何計(jì)算呢?我們?nèi)园辞?/p>

3、曲邊梯形面積的思想方法來進(jìn)行. 原型 求變力所作的功. oFab圖6. 2定義 設(shè) f(x) 是定義在區(qū)間 a, b 上的有界函數(shù), 用點(diǎn) 將區(qū)間 a, b 任意分割成 n 個(gè)子區(qū)間 xi-1, xi (i=1, 2, , n)，這些子區(qū)間及其長(zhǎng)度均記作 xi =xi -xi-1 (i=1, 2, , n). 在每個(gè)子區(qū)間 xi 上任取一點(diǎn) , 作 n 個(gè)乘積 的和式 ，1. 2定積分的概念 如果當(dāng) , 同時(shí)最大子區(qū)間的長(zhǎng)度 時(shí), 和式 的極限存在, 并且其極限與區(qū)間a, b 的分割法以及 的取法無關(guān), 則該極限值稱為函數(shù) f(x) 在區(qū)間 a, b 上的定積分, 記作 即 .在連續(xù)變力F (

4、x) 作用下, 質(zhì)點(diǎn)m 沿x 軸從點(diǎn) a 位移到點(diǎn)b 所作的功為F (x) 在a, b 上的定積分, 即定積分存在稱為可積, 否則稱為不可積. 原型和的問題可以簡(jiǎn)潔地表述為: 連續(xù)曲線y=f(x) 0 在a, b 上構(gòu)成的曲邊梯形的面積為函數(shù) y=f(x) 在a, b 上的定積分, 即定積分的幾何意義當(dāng) f（x）0 時(shí), 定積分的幾何意義就是以曲線y=f（x）, 直線 x=a、x=b以及x 軸為邊的曲邊梯形的面積S；如圖6. 3所示11但若 f（x）0 , 由定積分的意義可知, 這時(shí)S為負(fù)值. 對(duì)于一般函數(shù)f（x）而言, 定積分S的值則是曲線在x 軸上方部分的正面積與下方部分的負(fù)面積的代數(shù)和.

5、 1. 3求定積分過程中的辨證思維無論是求曲邊梯形的面積, 還是求變力作功, 初等數(shù)學(xué)都無法解決, 而高等數(shù)學(xué)可迎刃而解，奧妙在于高數(shù)的最主要部分（微積分）本質(zhì)上式辯證法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用. 定積分中的極限方法可以使有關(guān)常量與變量、變與不變等矛盾的對(duì)立雙方相互轉(zhuǎn)化, 從而化未知為已知, 體現(xiàn)了對(duì)立統(tǒng)一法則. 同時(shí)也體現(xiàn)了否定之否定法則. 1. 4可積條件定理1 （可積的必要條件） 若函數(shù)f（x）在a, b 上可積, 則 f（x） 在 a, b 上有界. 定理2 （可積的充分條件） 若 f（x） 是閉區(qū)間a, b 上的連續(xù)函數(shù), 或者是閉區(qū)間a, b 上的單調(diào)函數(shù), 或者是a, b 上只有有限個(gè)間

6、斷點(diǎn)的有界函數(shù), 則f（x） 在a, b 上可積. 定理3 （對(duì)積分區(qū)間的可加性）有界函數(shù)f（x） 在a, c、c, b 上都可積的充要條件是 f（x） 在a, b 上可積, 且定理2 若 f（x）、 g（x） 在a, b 上可積, 則f（x） g（x） 在a, b 上也可積, 且定理1 若f（x）在 a, b上可積, k為常數(shù), 則kf（x） 在a, b 上也可積, 且1. 5定積分的性質(zhì)定理5 （有界性）設(shè) m, M 分別是 f（x） 在a, b 上的最小值和最大值. 若f（x）在a, b 上可積, 則定理4 （保序性）設(shè)f（x） 與g（x） 為定義在a, b 上的兩個(gè)可積函數(shù). 若f（x

7、） g（x）, 則 定理6（定積分的絕對(duì)值不等式） 若f（x）在 a, b上可積, 則 在 a, b上也可積, 且 定理7（積分中值定理）若函數(shù)f（x）在 a, b上連續(xù), 則在 a, b上至少存在一點(diǎn) , 使得作業(yè)必作題： 用定積分的定義計(jì)算 選作題： 習(xí)題6第一題. 思考題 定積分的定義中主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是什么？ 定理1 若函數(shù)f（x）在 a, b上連續(xù), 則由變上限定積分定義的函數(shù)在 a, b 上可導(dǎo), 且2. 1微積分基本定理即函數(shù) 是被積函數(shù)f（x）在 a, b上的一個(gè)原函數(shù). 也是f(x)的一個(gè)原函數(shù), 而這兩個(gè)原函數(shù)之差為某個(gè)常數(shù), 所以證已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一

8、個(gè)原函數(shù), 又根據(jù)定理1, 在上式中令x = b, 就得到所要證明的公式得 C = F(a). 于是定理2設(shè)f(x)在a, b上連續(xù), 若F(x)是f(x)在a, b上的一個(gè)原函數(shù), 則(6. 7) 稱為牛頓萊布尼茨公式 若令x = a, 則因由于 是 的一個(gè)原函數(shù), 應(yīng)用公式(6. 7)有例1 計(jì)算解2. 1定積分的換元積分法和分部積分法定理1 （定積分換元積分法）若函數(shù)f(x)在a, b上連續(xù), 函數(shù) 滿足下列條件：（2）在 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù) ，則有定積分換元公式（1） x=asint , t0, , 則 dx=acostdt . 當(dāng)t 從 0 變到 時(shí), x 從 0 遞增到a , 故取 應(yīng)用

9、公式（6. 8）, 并注意到在第一象限中cost0, 則有例2計(jì)算解 令解 令 u=sint , 則 du=costdt. 當(dāng)t 由0 變到 時(shí), u從0 遞增到1. 應(yīng)用換元公式(6. 8)有例3 計(jì)算 定理2（定積分分部積分法）若 u, v是a, b 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù), 則例5計(jì)算 例4計(jì)算 解解 作業(yè)必作題 習(xí)題6 第二題、第四題、第五題. 選作題 習(xí)題6第三題. 思考題 1、定積分的換元積分法中應(yīng)注意的事項(xiàng)？ 2、微積分的基本定理主要解決了定積分的什么問題？ 定義：設(shè)函數(shù)f(x)定義在無窮區(qū)間a, +)上, 且在任何有限區(qū)間a, A 上可積, 如果存在極限則稱此極限J為函數(shù)f（x）

10、在a, +)上的無窮限反常積分, 簡(jiǎn)稱無窮限積分, 記作J=3定積分的拓展非正常積分并稱 收斂. 如果極限不存在, 則稱無窮限積分 發(fā)散. 無窮限積分的幾何意義若f(x)0 , 則 無窮限積分 收斂的幾何意義是, 圖(6. 7)中介于曲線 y=f(x) 、直線x=a 及 x 軸之間向右無限延伸的陰影區(qū)域有面積, 并以極限的值作為它的面積. 解 任取實(shí)數(shù)a , 討論如下兩個(gè)無窮限積分： 例 討論積分 由于因此, 該積分收斂, 且與的斂散性思考題 檢查下面計(jì)算過程對(duì)不對(duì)？為什么？請(qǐng)給出正確解法. 314 定積分魅力的顯示的在若干學(xué)科中的應(yīng)用4. 1 定積分的元素法一、什么問題可以用定積分解決 ?

11、二 、如何應(yīng)用定積分解決問題 ? 一、定積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成 ,求其面積 A .矩形面積梯形面積解決步驟 :1) 大化小.在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形;2) 常代變.在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底 ,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得3) 近似和.4) 取極限.令則曲邊梯形面積2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s.解決步驟:1) 大化小.將它分成在每個(gè)小段上物體經(jīng)2) 常代變.得已知速度n 個(gè)小段過的路程為3) 近似和

12、.4) 取極限 .上述兩個(gè)問題的共性: 解決問題的方法步驟相同 :“大化小 , 常代變 , 近似和 , 取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限表示為一、什么問題可以用定積分解決 ? 1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的2) U 對(duì)區(qū)間 a , b 具有可加性 ,即可通過“大化小, 常代變, 近似和, 取極限”定積分定義一個(gè)整體量 ;二 、如何應(yīng)用定積分解決問題 ?第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的微分表達(dá)式第二步 利用“ 積零為整 , 無限累加 ” 求出整體量的積分表達(dá)式這種分析方法稱為元素法 (或微元分析法 )元素的幾何形狀常取

13、為: 條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等近似值精確值第二節(jié) 4. 2在幾何學(xué)中的應(yīng)用平面圖形的面積由截面面積求立體體積平面圖形的面積一般地, 求由兩條連續(xù)曲線y=f（x）（x0）及直線x=a, x=b（ab）所圍成的平面圖形的面積, 如圖（圖6. 8）所示, 可在區(qū)間a, b 內(nèi)任取兩點(diǎn)x, x+dx, 作出圖中的陰影矩形, 則面積微元為xyoabxx+dxy=f(x)y=g(x)圖6. 8 于是所求面積為 例1 求由正弦曲線y=sinx 與直線 x=0, y=0及 x= 所圍成圖形的面積. oxyy=sinx圖6. 9 首先畫草圖(圖6. 9), 解其面積為例2 求拋物線 與直線x-

14、2y-3=0所圍的平面圖形的面積. 求出拋物線與直線的交點(diǎn)P（1, -10）與Q（9, 3）, 把平面圖形分成 兩部分, -1os1 S 2p91xy圖6. 10解首先畫草圖(圖6. 10), 則有于是由截面面積求立體體積設(shè) 為一空間立體, 它夾在垂直于x軸的兩平面x=a 及x=b之間（ab） (圖6. 11), 求其體積V. 現(xiàn)用微元法導(dǎo)出由截面面積函數(shù)求空間立體體積的公式. 在a, b 內(nèi)任取相鄰兩點(diǎn)x 與x+dx, 過這兩點(diǎn)分別作垂直于x軸的平面, 則從 上截出一薄片. 設(shè)x 處截面面積函數(shù)為A(x ), 由于A(x ) 的連續(xù)性, 當(dāng)dx 很小時(shí), 以底面積為A(x ), 高為dx 的

15、薄柱體體積就是體積微元 dV=A（x）dx. 它是薄片的體積 V 的近似值, 即V dV=A(x)dx從而有例. 計(jì)算由橢圓所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解: 利用直角坐標(biāo)方程則(利用對(duì)稱性)4. 3在物理學(xué)中的應(yīng)用變力作功設(shè)物體在變力y=f(x) 作用下, 沿x 軸正向從點(diǎn)a移動(dòng)到點(diǎn) b , 求它所作的功W. 在a, b上任取相鄰兩點(diǎn)x和x+dx, 則力f(x)所作的微功為dW=f(x)dx, 于是得例4 根據(jù)虎克定律, 彈簧的彈力與形變的長(zhǎng)度成正比. 已知汽車車廂下的減震彈簧壓縮1cm 需力14000N, 求彈簧壓縮2cm 時(shí)所作的功. 解 由題意, 彈簧的彈力為f（x）

16、=kx ( k 為比例常數(shù)), 當(dāng)x=0. 01 m時(shí)f(0. 01)=k0. 01=1. 410000N, 由此知 k=14000000, 故彈力為f(x)=1400000 x. 于是即彈簧壓縮2cm時(shí)所作的功為280J. 作業(yè) 必作題 習(xí)題六第七題 思考題 微元法體現(xiàn)的辨證思想方法是什么？微積分學(xué)在中國的最早傳播人李善蘭 李善蘭（18111882）是我國清代數(shù)學(xué)家, 原名心蘭, 字壬叔, 號(hào)秋紉, 浙江海寧縣硤石鎮(zhèn)人. 他曾任蘇州府幕僚, 1868年被清政府諭召到北京認(rèn)同文館數(shù)學(xué)教授, 執(zhí)教13年. 李善蘭對(duì)尖錐求積術(shù)、三角函數(shù)與對(duì)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式、高階等差級(jí)數(shù)求和等都有突出的研究；在素?cái)?shù)

17、論方面也有杰出成就, 提出了判別素?cái)?shù)的重要法則. 他對(duì)有關(guān)二項(xiàng)式定理系數(shù)的恒等式也進(jìn)行了深入研究, 曾取各家級(jí)數(shù)論之長(zhǎng), 歸納出以他的名字命名的“李善蘭恒等式”. 李善蘭一生著作頗豐, 主要論著有方圓闡幽、弧矢啟秘、對(duì)數(shù)探源、垛積比類、四元解、麟德術(shù)解、橢圓正術(shù)解、橢圓新術(shù)、橢圓拾遺、火器真訣、對(duì)數(shù)尖錐變法釋、級(jí)數(shù)回求和天算或問等. 李善蘭不僅在數(shù)學(xué)研究上有很深造詣, 而且在代數(shù)學(xué)、微積分學(xué)的傳播上作出了不朽的貢獻(xiàn). 1852年至1859年間, 他與英國傳教士偉烈亞力合作翻譯出版了三部著作：幾何原本 后9卷, 英國數(shù)學(xué)家德摩根 代數(shù)拾級(jí)18卷、談天18卷. 與英人艾約瑟合作翻譯了圓錐曲線說3卷、 重學(xué)20卷等, 其中大部分譯著, 例如代數(shù)學(xué)、代微拾級(jí)等都分別是中國出版的第一部代數(shù)學(xué)、解析幾何學(xué)、微積分學(xué). 李善蘭不懂外語, 由偉烈亞力口譯,