第16講圓中比例線段、根軸

1、信息中心第16講 圓中比例線段、根軸本節(jié)主要介紹圓哥定理及其應(yīng)用，介紹根軸的有關(guān)知識(shí).圓哥定理是指相交弦定理、切割線定理及割線定理，它們揭示了與圓有關(guān)的線段 的比例關(guān)系，是平面幾何中研究有關(guān)圓的性質(zhì)的一組很重要的定理，應(yīng) 用及其廣泛.圓哥定理通?？梢酝ㄟ^(guò)相似三角形得到，因此研究圓中的 比例線段，一般離不開(kāi)相似三角形 TOC o 1-5 h z 相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等.切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的 交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等.上述三個(gè)定理統(tǒng)稱(chēng)為圓哥定理

2、，它們的發(fā)現(xiàn)距今已有兩千多年的歷史，它們有下面的同一形式：圓哥定理 過(guò)一定點(diǎn)作兩條直線與圓相交，則定點(diǎn)到每條直線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的積相等，即它們的積為定值這里切線可以看作割線的特殊情形，切點(diǎn)看作是兩個(gè)重合的交點(diǎn).若定點(diǎn)到圓心的距離為 d ,圓半徑為r ,則這個(gè)定值為|d2-r2|.當(dāng)定點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，d2-r20 , d2-r2等于從定點(diǎn)向圓所引切線長(zhǎng)的平方.特別地，我們把 d2-r2稱(chēng)為定點(diǎn)對(duì)于圓的哥.一般地我們有如下結(jié)論：到兩圓等哥的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線；如果此二圓相交，那么該軌跡是此二圓的公共弦所 在直線.這條直線稱(chēng)為兩圓的“根軸”.對(duì)于根軸我們有如下結(jié)論：三個(gè)圓兩兩

3、的根軸如果不互相平行，那么它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱(chēng)為三圓的“根心”.三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等哥.當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí)，三條公共弦（就是兩兩的根軸）所在直高考A類(lèi)例題例1試證明圓哥定理 .信息中心一分析涉及到圓中線段，我們可以運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行證明.證明 如圖，當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn) O作OQLAB于Q,連結(jié)OP、OB ,則 QA=QB.于是 PA PB=( PQ+QA) (QB-PQ) =QB2- PQ2=(OB2-OQ2)-(OP2-OQ2)=OB2- OP2= r2- d 2=|d2-r2|. 當(dāng)點(diǎn)P在圓上和圓外時(shí)，同理可得 PA PB=|d2- r2|.說(shuō)明 關(guān)于圓哥定理的證明方法很多，同學(xué)們可

4、以自己再思考幾種 證明方法.US( 1 )此結(jié)論也可以在橢圓中得到推廣，有興趣同學(xué)可以自己去 研究研究.(2)圓中線段還有很多有趣的結(jié)論，例如 (Ptolemy定理)圓內(nèi)接四邊 形對(duì)角線之積等于兩組對(duì)邊乘積之和.想一想如何證明，參見(jiàn)本書(shū)第十八講.(3)對(duì)于相交弦定理的逆命題也是成立，即若線段AB、CD相交于點(diǎn)P,且AP PB=CP PD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓.證明請(qǐng)讀者自 己思考.例2利用圓哥定理證明： 在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角 邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)；每一直角邊是它在斜邊上的射影和斜邊信息中心高考的比例中項(xiàng).分析 本題可以用相似三角形來(lái)證明，但本題要求用圓哥定理，顯 然要

5、有圓，可以考慮三角形的外接圓，于是有下面的證法.證明 如圖，在RtA MAC中，/ ACB=90,做的外接圓， CD是斜邊 AB上的高，延長(zhǎng) CD交外接圓于E.由相交弦定理，得AD - DB=CD DE ,因 CD = DE ,故 CD2=AD - DB.又因?yàn)?，BC是外接圓直徑，所以 AC切圓BDC于C ,由切割線定理有AC2=AD - AB ,同理有 BC2=BD - BA.鏈接 本題通過(guò)構(gòu)造圓，應(yīng)用圓哥定理證明等積問(wèn)題，構(gòu)思巧妙.這種方法在數(shù)學(xué)中是常見(jiàn)的，例如：如圖,四邊形ABCD中，AB / CD, AD=DC = DB = p, BC =q.求對(duì)角線 AC的長(zhǎng).分析：由“ AD =

6、DC = DB = p” 可知A、B、C在半彳空為 p的。D 上.利用圓的性質(zhì)即可找到AC與p、q的關(guān)系.解：延長(zhǎng)CD交半徑為 p的。D于E點(diǎn)，連結(jié)AE.顯然 A、 B、C 在 O D上. AB / CD,%， A ，./ BC = AE .從而，BC = AE = q.在 ACE 中，CE EC DZ CAE = 90 ,CE = 2p,AE =q,故 AC =/、_ 1CE2 - AE2 = 4p2 -q2 .信息中心例3已知AB切。O于B , M為AB的 中點(diǎn)，過(guò) M作。O的割線 MD交。于C、 D兩點(diǎn)，連AC并延長(zhǎng)交。O于E ,連AD 交。O于F.求證：EF / AB.分析 要證明EF

7、 / AB ,可以證明內(nèi)錯(cuò)角 相等，即要證明/MAE= / AEF ,而/CEF= / CDF ,即要證明/ MAC= /MDA ,于是可以通過(guò)三角形相似，證明對(duì)應(yīng)角相等 證明 AB是。O的切線，M是AB中點(diǎn)，MA2=MB2=MC - MD . MAC s MDA ./ MAC= Z MDA ,. / CEF= / CDF ,./ MAE= / AEF .EF / AB .情景再現(xiàn)/ B的平分線交 AD于M,交 BN. AD是RtABC斜邊 BC上的高 AC 于 N.求證：AB2 AN2 = BM.如圖，O O內(nèi)的兩條弦 AB、CD的延長(zhǎng)線相交于圓外一點(diǎn)E引AD的平行線與直線 BC交于F ,作

8、切線FG , G為切點(diǎn).求證:EF=FG.BA - GFCD信息中心3 .已知如圖，兩圓相交于 M、N ,點(diǎn)C為公共弦點(diǎn)，過(guò)C任意作直線與兩圓的交點(diǎn)順次為A、 B、 D、MN上任意一ABE.求證：-BCEDDCB類(lèi)例題AB和DC相交于A例4如圖，ABCD是。O的內(nèi)接四邊形,延長(zhǎng) E,延長(zhǎng) AB和DC相交于 E,延長(zhǎng) AD和BC相 交于F, EP和FQ分別切。O于P、Q.求證： EP2 + FQ2 =EF2. 分析 因EP和FQ是。O的切線，由結(jié)論聯(lián)想到 切割線定理，構(gòu)造輔助圓使 EP、FQ向EF轉(zhuǎn) 化. 證明 如圖，作 BCE的外接圓交 EF于G,連 結(jié)CG.、G四點(diǎn)共圓因/ FDC = Z

9、ABC = Z CGE,故 F、D、C 由切割線定理，有 EF2 =(EG +GF) -EF=EG-EF+GF-EF=EC-ED+FC-FB=EC-ED+FC-FB=EP2 + FQ2, 即 EP2 + FQ2 = EF2.鏈接 本題結(jié)論也可以改為EP、FQ、 EF可以作為一個(gè)直角三角形的三邊.例5 AB是。的直徑， ME，AB于E , C為。O上任一點(diǎn), AC、EM 交于點(diǎn) D , BC 交 DE 于 F .求證： EM2=ED EF證明 延長(zhǎng)ME與。O交于N .由相交弦定理，EM EN = EA EB ,但 EM=EN ,EM2=EA - EB .MN AB , ./ B=90 -Z BF

10、E= / D ,故 AED s FEB .AE : ED=FE : EB ,即EA - EB=ED - EF .EM2=ED - EF .例6 (1997年全國(guó)高中理科實(shí)驗(yàn)班招生考試)如圖所示，PA、 PB是。O的兩條切線，PEC是。O的一條割線，D是AB與PC的交點(diǎn)，若 PE=2 , CD=1，求 DE的 長(zhǎng).解設(shè)DE=x，連PO交AB于F , PA2=PE - PC=2(3+x).在直角三角形 PAF中，PA2=pf2+AF2.PF2+AF2=2(3+x).在直角三角形 PDF中，PF2+DF2=PD2.PF2+DF2=(2+x)2 .一：AF2 - DF2=2(3+x) (2+x)2 ,

11、 AF2 - DF2=(AF + DF)(AF - F)=AD -BD=DE - CD=x - 1,1- 6+2x- 4 4x x2=x,即 x2+3x 2=0 .信息中心二一317，但 x0,，x17 -317 -3DE=2情景再現(xiàn)4 .如圖，P為兩圓公共弦 AB 一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作兩圓的弦 CD、EF ,求證:圓.C、 D、 E、F四點(diǎn)共5 ,正力是 AB 、 ACABC內(nèi)接于。 的中點(diǎn)，延長(zhǎng)O , M、MN交。N分別O于點(diǎn)EMOBN DP f /CD ,連結(jié)BDPC 求PA6 .如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的。O , BD交于點(diǎn)P , 四邊形的周長(zhǎng).賽）對(duì)角線AC是直徑,AC、

12、AB=BD ,且 PC=0.6.求此（1999年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián),、1求證： ;PR分析要證也就是要證明立，即RQPRPRps1+ -ps信息中心1PR1PRQSPS1PS1PQ急成立，PQ PS.也就是要證明RQQS成成立.于是可通過(guò)三角形相似及圓中的比例線段來(lái)證.證明 如圖，連結(jié) AR、PA是。的切線，AS、RB 、 BS ,/ FAR= /又. / APR= /. PARAPSA. SPA , PSA.PAPSARASPRPA.PA. PS同理，食又一/.PR PABR2=BS2RAQ =噢）2AR2 A AS2/ BSQ,即四PSBR2 BS2，AR2AS2，AR BR= .AS BS

13、. AQRASQB,ARSBAQSQRQBQ ,同理 AQSA RQB, BRSARQBQARBRAQ一SB, SASQAR_ BRRQAS=BS SQ又RQAQAR2 AS2 ,RQ=SQ .信息中心從而PR RQps =-sq .11_2-一-_JL_ 1_1 _RQ _ QSPR + PS= PQUPR PQ= PQ PS=PR = PS本題得證.說(shuō)明 當(dāng)三 +工 =W 時(shí)，我們稱(chēng)PR、 PQ、 PS成調(diào)和數(shù) PR PS PQ列.1E1 本題證明過(guò)程中，我們得到了不少結(jié)論: 2 _2_ 小 RQ QS 令 RQ AR PR AR AR BR 謀=PS ；至二冠；商=府；花二法同學(xué)們可以再

14、研究，還有不少有趣的結(jié)論例8 AB是。O的弦，M是其中點(diǎn)，弦 CD、EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)M , CF、 證：MP=QM .證明 設(shè)MP=x , 正弦定理，得PM _ PCsin/3sin/1DE交AB于P、Q ,求QM=y , AM=BM=a ,由QD _ MQ EQsinZ1sinZ4 , sin/2= SMQ3 ,號(hào)二懸，四式相乘并化簡(jiǎn)，得QD - QE - PM2=_ 2PF PC MQ .( * )由相交弦定理，得QD - QE = AQ - QB=( a + y), PC - PF = AP - PB= ( a- x), 代入(* )式，得(a2- x2) y2 = (a2- y2) x2,

15、化簡(jiǎn)，得x2=y2 , 所以MP=QM .說(shuō)明 本題是著名的蝴蝶定理，由于該定理的圖形像一只翩翩起舞蝴蝶而得名.作為一個(gè)古老的定理，證明方法多種多樣，而且有多種推廣，有興趣的同學(xué)可參考本書(shū)第十八、十九講的內(nèi)容例9給出銳角A ABC,以AB為直徑的 圓與AB邊的高CC及其延長(zhǎng)線交于 M ,N.以AC為直徑的圓與 AC邊的高BB及 其延長(zhǎng)線將于 P , Q.求證：M , N , P , Q四點(diǎn)共圓.（第19屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克 ）分析設(shè)PQ , MN交于K點(diǎn)，連接AP , AM.欲證M , N , P , Q四點(diǎn)共圓，須證QMK - KN =PK KQ ,即證(MC-KC)( MC+KC) = (P

16、B-KB) (PB+KB) 或 MC2-KC2=PB2-KB2 .不難證明 AP=AM ,從而有 AB2+PB2=AC2+MC2. 故 MC2-PB2=AB2-AC2=(AK2-KB2)-( AK2- KC2) TOC o 1-5 h z =KC2- KB2.由即得，命題得證.證明 略.說(shuō)明本題再次用到了相交弦定理的逆定理情景再現(xiàn). O Oi與O。2相交于M、 N , AB、CD為公切線，A、B、 C、D為切點(diǎn)，直線 MN交AB于P , 交 CD 于 Q ,求證：PQ2=AB2+MN2.以O(shè)為圓心的圓通過(guò) ABC的 兩個(gè)頂點(diǎn)A、C ,且與AB、BC兩邊分 別相交于 K、N兩點(diǎn)，/ABC和NKB

17、N的兩外接圓交于 B、M兩點(diǎn).證明：/OMB為直角.（1985年第26屆國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽）.如圖，自圓外一點(diǎn) P向。作切線，PA、 PB , A、B為切點(diǎn)，AB與PO相交于C ,弦EF過(guò)點(diǎn)C ,求證：NAPE=/BPF .信息中心習(xí)題16.已知， AD是O O的直徑， AD BC , AB、AC分別與圓交于 E、F ,那么下列等式中一 定成立的是（）A . AE?BE=AF?CFB. AE?AB=AO?ADC . AE?AB=AF?CD. AE7F=AO?D.設(shè)。A的直徑等于等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)， 等腰三角形 A ABC的周長(zhǎng)與A ABC的周長(zhǎng)相同，且 BC與。A相切，那么（）A . / BA

18、C120 .如圖，PT切。于T , M為PT 的中點(diǎn)，AM交。O于B , PA交。O于 C , PB延長(zhǎng)線交。O于D,圖中與A MPBB . / BAC=120 立C . / BACr2）,連心線 O1O2的中點(diǎn)為 D ,且O1O2上有一點(diǎn)H ,滿足 2DH O1O2=r12 r22 ,過(guò) H 作垂直于O1O2的直線l ,證明直線l上任一點(diǎn) M向兩圓所引切線長(zhǎng)相等.如圖，設(shè)D為線段AB上任 一點(diǎn)，以 AB、AD、BD為直徑分別 作三個(gè)半圓。O、OO、O O”， EF 是半圓O 、O”的公切線，E、F為切 點(diǎn).DC，AB ,交半圓O于C .求證 四邊形DFCE為矩形.本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：.分析

19、：因 AB2 AN2 = (AB + AN)( AB AN) = BM - BN,而由題設(shè)易知 AM = AN,聯(lián) 想割線定理，構(gòu)造輔助圓即可證得結(jié)論.證明：如圖，./ 2+/ 3=7 4+/ 5 = 90 ，又/ 3 = / 4, / 1 = / 5, / 1 = / 2.從而，AM= AN. 以AM長(zhǎng)為半徑作。 A,交 AB于F,交BA的延長(zhǎng)線于 E.則AE = AF = AN.由割線定理有 BM - BN = _2BF BE = (AB + AE)( AB - AF) = (AB + AN)( AB AN) = AB - AN2,即 AB2 AN2 = BM - BN.信息中心,證明：

20、EF / AD ,/ FEA= / A . - / C= / A , . . /C= / FEA , FEB s FCE ,. FE2 =FB - FC ,FG 是。O的切線，F(xiàn)G2 =FB - FC . EF=FG.證明：根據(jù)相交弦定理，得 MC - CN=AC - CD , MC - CN=BC - CE . AC - CD = BC - CE .(AB+BC) - CD = BC - ( CD + DE ) ,AB - CD = BC - DE .即AB _ EDBC = DC .證明：由相交弦定理，得 AP PB = CP PD , AP PB = EP PF , CP PD = EP

21、 逆定理，可得C、D、E、F四點(diǎn)共圓.解 延長(zhǎng)NM交。于E ,設(shè)正三角形 邊長(zhǎng)為a , ND=x .由相交弦定理得，_aND - NE=AN - NC ,x( 2 +x)=a- 2a- 2a- 22 It a 4a- 4由相交弦定理的-1).NPDNsPBC.PN = ND. PC = BC12a-PCPC3 ,，5211=4 (加1) .以 PN= 2 a - PC 代入得,PC 2(北T).即丁 =萩,PC_ PC _ 5 1FA= aPC =26 .解 作AD的垂直平分線 BE , 垂足為 E . AB=BD , BE 過(guò)點(diǎn) O.CAED AC 為直徑，ABC= /信息中心ADC=90

22、, BO / CD .ABPOsADPC, OP ： PC=BO : CD = BP : DP . BO=OC=1.5 , PC=0.6 , OP=1.5 -0.6=0.9,CD=1 .AD2=AC2 - CD2=8 , AD= 22 .由 OE=1 CD=0.5 ,得 BE=2 ,AB2=BE2+AE2=6 , 2AB= 6 .BC= . AC2 - AB2 = 3 .所求周長(zhǎng)=16.32.2.證明： PQ2=(PM+MQ)2=PM2+(MN + NQ)2+2PM MQ = PM2+MN2+NQ2+2MN - NQ+2PM - MQ ,PM = NQ ,PN=MQ . PQ2=2PM2+2MN - PM+2PM - PN+MN2=2PM(PM + MN)+2PM - PN+MN2(PM - PN=PA2)=4PA2+MN2 .PA=PB,故 AB=2PA .PQ2=AB2+MN2P,證明：由 BM、KN、AC三線 共點(diǎn) P ,知 PM PB=PN PK=PO2-r2 .由ZPMN = ZBKN=ZCAN，得 P、M、N、 C 共圓，故 BM BP=BN BC=BO2-r2 . 一得，PM PB-B