E21.從畫正多邊形的鉸鏈到連桿軌跡教學(xué)文稿

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。E21.從畫正多邊形的鉸鏈到連桿軌跡-參賽隊(duì)員：干悅、陳宇戈、孫璐璐學(xué)校：浙江省杭州第二中學(xué)省份：浙江省指導(dǎo)教師：金潔論文題目：從畫正多邊形的鉸鏈到連桿軌跡從畫正多邊形的鉸鏈到連桿軌跡摘要我們從一種畫正多邊形的鉸鏈中獲得啟發(fā)，研究了連桿裝置上的點(diǎn)能形成的軌跡，用構(gòu)造的方法研究并證明了多項(xiàng)式函數(shù)圖像可由連桿系統(tǒng)得到。我們提出了另外兩個(gè)問題，用構(gòu)造和快速傅里葉變換解決了由軌跡推出連桿系統(tǒng)，用一種奇妙的物理方法解決了由連桿系統(tǒng)得到其軌跡。關(guān)鍵字鉸鏈；連桿；軌跡；構(gòu)造AbstractWedrewinsprati

2、onsfromadevicewhichisusedtodrawregularpolygons,thenstudiedcurvesproducedbypointsonlinkages,andprovedtheequipollenceofpolynomialfunctioncurvesandlinkagecurves.Weputforwardtwootherquestions,solvedtranslatingcurvestolinkagesbystructureandFFT,andsolvedtranslatinglinkagestocurvesbyamagicalphysicalmethod.

3、目錄一、畫正多邊形的鉸鏈裝置（4）二、連桿問題介紹（5）三、Peaucellier連桿（7）四、搭建連桿作圖的大廈（8）（一）坐標(biāo)軸（8）（二）運(yùn)算器（9）五、解決問題1（12）六、解決問題2（13）七、解決問題3（16）參考文獻(xiàn)（18）畫正多邊形的鉸鏈裝置在一本書1中描述了這樣一種鉸鏈裝置，可以畫出正n邊形，如圖1。這個(gè)裝置滿足AB=BC=CD=DE，四邊形ABFG和四邊形BCHK全等，D可在AG上自由移動(dòng)，E可在BK上自由移動(dòng)。這樣就保證了在鉸鏈改變形狀時(shí)，ABC=BCD=CDE。圖1如圖2，保持AB在紙上不動(dòng)，將D、E滑動(dòng)到特定位置，很容易畫出5到10的正多邊形。其中，畫正九邊形時(shí)，Y5

4、AX=60；畫正十邊形時(shí)，Y6AX=36。畫出的正多邊形的變長即為AB的長度。正確性此處不再贅述。圖2作者只講到該鉸鏈裝置可以畫出5到10的正多邊形，事實(shí)上，從理論上（不考慮機(jī)械問題的話）講它可以畫出任意的正多邊形。例如，當(dāng)A和D重合時(shí)可以畫出正三角形，當(dāng)A和E重合的時(shí)候可以畫出正方形。若BF可無限延長，則可以畫出邊數(shù)任意多的正多邊形。正確性非常顯然，此處就不再贅述。連桿軌跡問題介紹看到上述裝置，我不禁感嘆連桿的趣味性和實(shí)用性。同時(shí)，我想到了這樣一個(gè)問題：既然連桿的邊這么有用，那么它的頂點(diǎn)呢？于是我想到了如下幾個(gè)問題。圖32圖4固定圖3中下面兩點(diǎn)，在移動(dòng)的過程中畫出最上面一點(diǎn)的軌跡。結(jié)果如圖4

5、。（圖3實(shí)際上是動(dòng)態(tài)的，請(qǐng)用其他軟件打開）我們先定義一下“連桿系統(tǒng)”。3一個(gè)像上圖這樣，至少具有一根桿和兩個(gè)點(diǎn)并且連通的裝置稱為連桿裝置。為了方便構(gòu)圖，我們認(rèn)為點(diǎn)只能在桿的兩端，之后還將提到這個(gè)問題。我們將一個(gè)連桿裝置抽象成一個(gè)圖G=（V，E），顯然它是一個(gè)連通圖。對(duì)于點(diǎn)集V有。對(duì)于一個(gè)圖G，將點(diǎn)集V分割為互不相交的兩個(gè)非空點(diǎn)集（Vs，Vm），Vs中的點(diǎn)固定，Vm中的點(diǎn)可移動(dòng)；對(duì)與邊集E中的每個(gè)元素e=（u，v），令e=dis（u，v），并令同時(shí)稱L為邊長集。一個(gè)確定了Vs，Vm，L的圖G=（V，E）稱為連桿系統(tǒng)。在一個(gè)連桿裝置中，Vm中的點(diǎn)的移動(dòng)而形成的軌跡稱為這個(gè)連桿裝置的連桿軌跡。為了方

6、便起見，以下討論的連桿系統(tǒng)中的Vm均是單元素集。（若非單元素集也只需將每個(gè)可移動(dòng)點(diǎn)分別考慮即可）這個(gè)軌跡滿足以下條件：?jiǎn)栴}1：連桿可以畫出怎么樣的軌跡？怎么樣的軌跡可以由連桿畫出？問題2：如果一類曲線可以由連桿軌跡得到，那么如何得到？問題3：如果我們有了一個(gè)連桿裝置，如何得到它的軌跡？在討論如何解決這3個(gè)問題之前，要對(duì)上面說的一點(diǎn)進(jìn)行補(bǔ)充。之前我們說，為了方便構(gòu)圖，點(diǎn)只能在桿的兩端。但是事實(shí)上，我們做連桿的時(shí)候是有可能有點(diǎn)在連桿上（而非兩端）的，比如一根桿上有一個(gè)要畫軌跡的點(diǎn)，或者要將一根桿的一端連到另一根桿的中間。為了討論這種連桿裝置，我們利用三角形的穩(wěn)定性將其變得符合“點(diǎn)只能在桿的兩端”的

7、要求。3圖5要將A桿連到B桿上時(shí)，將B桿在連接處斷成C桿和D桿，效果是一樣的。Peaucellier連桿在研究上述問題的過程中，我們發(fā)現(xiàn)有一種軌跡是非常重要的，因此將它拿出來，單獨(dú)用一節(jié)描述，它就是直線。我們動(dòng)手制作了很多連桿裝置，他們畫出的都是曲線。過了很久，我們也沒能找到一種能畫出直線的兩岸裝置。于是，我們找到了Peaucellier連桿。5圖6在上圖中，實(shí)線表示連桿，綠色點(diǎn)表示不動(dòng)點(diǎn)，紅色點(diǎn)表示可動(dòng)點(diǎn)，紅色虛線是點(diǎn)E在移動(dòng)過程中形成的軌跡（以后均如此表示，不再注明）。其中，AC=AD=a，BC=CE=BD=DE=b，OB為任意長，OA=OB。以下證明其正確性。證：作CHBE于H。在此連桿

8、系統(tǒng)中，顯然有A、B、E共線，BH=HE。AB*AE=（AHBH）*（AH+HE）=AH2BH2=（AC2CH2）-（BC2CH2）=a2b2即AB*AE是一個(gè)定值。連結(jié)AO并延長，交O于M。在直線AO上，A點(diǎn)右側(cè)，找一點(diǎn)N使得AB*AE=AM*AN，連結(jié)EN?？傻茫篈MBAEN（SAS）。ANE=ABM=RtE點(diǎn)總在過N且與直線AO垂直的直線上。E點(diǎn)的軌跡是一直線。四、搭建連桿作圖的大廈為了解決上一節(jié)提出的問題，我們想到：既然同樣是利用軌跡，我們是不是可以用解決尺規(guī)作圖的構(gòu)造方法4來解決連桿軌跡問題？在研究尺規(guī)作圖時(shí)，我們由兩條線段的加法、減法、乘法和一條線段的倒數(shù)、開平方這幾種基本構(gòu)造，建

9、立了可作圖的解析準(zhǔn)則。那么在連桿作圖中，我們是不是也可以這么做呢？坐標(biāo)軸為了能將連桿作圖放在平面直角坐標(biāo)系中研究，我們先用連桿建立一個(gè)坐標(biāo)系。此時(shí)，之前提到的Peaucellier連桿就有用了。圖7綠色桿表示Peaucellier，省略其它6根桿。利用Peaucellier連桿，很容易使得兩個(gè)菱形兩定點(diǎn)分別在X軸和Y軸上運(yùn)動(dòng)。這樣，我們便得到了連桿構(gòu)造的平面直角坐標(biāo)系。另外，為了將Y軸上的長度轉(zhuǎn)移到X軸上，我們將Y軸上的菱形以O(shè)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，構(gòu)造如下圖的連桿系統(tǒng)。其中有OA=OC=OD=OF=BA=BC=ED=EF=，AD=CF=。這樣，便將X軸上的OB轉(zhuǎn)移到了Y軸上的OE。（圖見下頁

10、）圖8綠色桿表示Peaucellier，省略其它6根桿。（二）運(yùn)算器有了坐標(biāo)軸，現(xiàn)在我們來構(gòu)造各種運(yùn)算器，來對(duì)X軸上的點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算。（之后我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，只要能會(huì)X軸上的點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算即可）在運(yùn)算器中，我們會(huì)大量運(yùn)用平行四邊形，因?yàn)樗冗m合用來轉(zhuǎn)移長度，也適合用來進(jìn)行矢量加法。1.加法運(yùn)算器（1）對(duì)某點(diǎn)坐標(biāo)加上常數(shù)c如圖，為了將x加上常數(shù)c得到y(tǒng)，固定A、B兩點(diǎn)，構(gòu)造平行四邊形即可得到y(tǒng)=x+c。正確性很顯然，且一個(gè)平行四邊形是無法做到這點(diǎn)的。圖9（2）將兩個(gè)坐標(biāo)相加利用矢量相加的平行四邊形法則，我們不僅可以將兩個(gè)X軸上的點(diǎn)相加，還可以推廣到任意兩個(gè)向量相加。像上面一樣使用了構(gòu)造平行四邊形。如圖，很顯然

11、有。圖102.倒數(shù)運(yùn)算器為了方便介紹乘法運(yùn)算器，先給出倒數(shù)運(yùn)算器。在Peaucellier連桿中我們證明過，在下圖中有y*x=a2b2，所以。只要對(duì)a和b取適當(dāng)值使得a2b2=1，便可得到x的倒數(shù)y。圖113.乘法運(yùn)算器（1）對(duì)某坐標(biāo)乘上常數(shù)c令OA=c*OB，并構(gòu)造平行四邊形ABxC。很顯然有ObxOAy。因此有y=x*c。圖12（2）兩個(gè)坐標(biāo)相乘兩個(gè)坐標(biāo)相乘并不是個(gè)容易的事情，我們想了很久也沒有得到直接的方法。但是我們另辟蹊徑，想到了。既然如此，那么只要我們有了平方運(yùn)算器，就可以得到x*y了。然而，平方運(yùn)算器也讓我們絞盡腦汁。再一次另辟蹊徑讓我們想到了。于是我們有。太美妙了！兩個(gè)坐標(biāo)相乘的

12、問題最后變成了倒數(shù)問題！而讓我們開心的是，倒數(shù)問題并不那么困難而可以直接解決。運(yùn)用之前已經(jīng)敘述過的倒數(shù)運(yùn)算器，這個(gè)問題也被解決了。五、解決問題1問題1：連桿可以畫出怎么樣的軌跡？怎么樣的軌跡可以由連桿畫出？根據(jù)上一節(jié)，我們可以使用連桿對(duì)X軸上的點(diǎn)進(jìn)行加法、乘法、倒數(shù)這3種操作。那么這和軌跡有什么關(guān)系呢？因?yàn)榭梢詫?duì)X軸上的點(diǎn)進(jìn)行以上操作，我們可以構(gòu)造出一個(gè)點(diǎn)。再在連桿上構(gòu)造一個(gè)點(diǎn)S，它始終在(x,y)上。最后，我們固定點(diǎn)T在原點(diǎn)上，S運(yùn)動(dòng)的軌跡就是曲線。2這個(gè)想法非常神奇，但是正確性比較顯然，此處就不做證明了。既然如此，那么一個(gè)只包含以上操作的函數(shù)就可以由連桿畫出。即任何多項(xiàng)式函數(shù)都可以由連桿畫

13、出。我們還可以很開心地知道，連桿作圖和尺規(guī)作圖是等價(jià)的！另外一個(gè)有趣的事情是這樣的，Kempe認(rèn)為，連桿系統(tǒng)甚至可以用來畫出你的簽名！6因?yàn)楹芏嗟那€都可以用多項(xiàng)式函數(shù)來擬合。然而事實(shí)上，即使你的名字再簡(jiǎn)單，可以也要用上許許多多的連桿才能做到。六、解決問題2問題2：如果一類曲線可以由連桿軌跡得到，那么如何得到？利用傅里葉級(jí)數(shù)7首先要聲明的是，這只是一種近似的數(shù)值算法，在這里簡(jiǎn)單介紹如下。ff(t)表示一個(gè)周期性復(fù)函數(shù)，則ff(t)的復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為：Fn被定義為傅里葉系數(shù)，是一個(gè)復(fù)矢量，由下面積分式求的結(jié)果：離散傅里葉變換（DFT）：在一個(gè)周期T內(nèi)對(duì)函數(shù)ff(t)進(jìn)行離散化?？焖?/p>

14、傅里葉變換（FFT）：DFT的一種快速算法。設(shè)任意三維函數(shù)用rp(t)表示，則其在X軸和YOZ平面上的投影分別表示為rpx(t)和rpyz(t)。將rp(t)的實(shí)際軌跡分別進(jìn)行一維FFT（X軸）和二維FFT（YOZ平面）得到諧波成分分別記為：其中Dn和Dn表示第n次項(xiàng)幅值，根據(jù)幾何關(guān)系有：（接下頁）其中為R與X軸的夾角，為R與Y軸的夾角一級(jí)傅里葉級(jí)數(shù)描述的幾何意義：以輸入轉(zhuǎn)角為變量的一次函數(shù)。二級(jí)傅里葉級(jí)數(shù)描述的幾何意義：一系列不同周期的圓周運(yùn)動(dòng)頻率分量合成。采用復(fù)數(shù)記法，記二維連桿曲線為，令連桿裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則有。由于大部分連桿曲線是封閉的，則有。當(dāng)Dn=0且n=0時(shí)，由上述各式可得二維傅里

15、葉級(jí)數(shù)表達(dá)式：整理上式并轉(zhuǎn)換到XOY坐標(biāo)系下有：其中是傅里葉展開式中的基頻，Dn是第n次項(xiàng)諧波成分的幅值，n是第n次諧波成分中的初相位。下面通過例子加以說明。圖13上圖是一個(gè)連桿系統(tǒng)輸出的曲線，其中取了64個(gè)采樣點(diǎn)。將采樣點(diǎn)經(jīng)二維FFT，得到對(duì)應(yīng)的幅值和相位（見下表）。n+2+10-1-2-3Dn(mm)1.4420.2237.3610.001.400.26n()-99.994.8758.06127.57177.38175.04于是我們就可以方便的寫出連桿曲線的近似數(shù)學(xué)表達(dá)式：下表給出了前8個(gè)點(diǎn)的采樣點(diǎn)值和計(jì)算值以供比較，看得出，這種方法的效果是很不錯(cuò)的。（接下頁）（單位：cm）位置坐標(biāo)123

16、45678x原曲線31.8332.7333.5534.2934.9335.4335.7635.91x計(jì)算值(n=3)31.9032.7833.5934.3134.9235.4035.7035.84y原曲線39.3642.8445.6448.3250.8253.1255.1856.96y計(jì)算值(n=3)40.0142.8645.6348.2750.7553.0455.0956.89七、解決問題3問題3：如果我們有了一個(gè)連桿裝置，如何得到它的軌跡？“與物理學(xué)家合作是愉快的。”感謝我的同學(xué)們給我提供了這樣一種方法。圖14上題即之前提到過的圖3和圖4。（有動(dòng)態(tài)圖）在上圖中，C、D是固定的兩點(diǎn)，AC=A

17、B=BD=OA=OB=1，CD=2。為了求O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，我們?cè)O(shè)。由于點(diǎn)A做圓周運(yùn)動(dòng)，其速度必定垂直于AC，設(shè)其速度為v1。同理設(shè)點(diǎn)B速度為v2且垂直于BD。由物理知識(shí)可知，對(duì)于桿AB，其上任意一點(diǎn)沿桿的速度大小都相同，所以有。同時(shí)，桿AB中垂線上的任意點(diǎn)的速度都等于A點(diǎn)速度與B點(diǎn)速度和的一半。所以，只用v1和就可以表示出O點(diǎn)的速度（包括大小和方向），對(duì)其積分即可得到其軌跡。用這種方法，我們得到了O點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程：其中，。參考文獻(xiàn)1柯爾捷姆斯基.莫斯科智力游戲：359道數(shù)學(xué)趣味題M.葉其孝.北京：高等教育出版社，2009.2顧森.連桿系統(tǒng)：比你想象中的更強(qiáng)大EB/OL./blog/archives/3427，2010-06-22.3IgorPak.LecturesonDiscreteandPolyhedralGeometryEB/OL./p