高中數(shù)學(xué)必修一指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)例題精講

1、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)函數(shù)運(yùn)算(整數(shù)寨f分?jǐn)?shù)累)指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(指數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性)指數(shù)函數(shù)圖象(對(duì)數(shù)定義，運(yùn)算法則對(duì)數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性) 對(duì)數(shù)函數(shù)圖象I函數(shù)的應(yīng)用建立數(shù)學(xué)模型解抉實(shí)際問題范題精講一、指數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算331x x 2 2【例1】(1)已知x2 +x 2=3，求 J一J一2的值；x2 x 3(2)已知 lg(x+y)+lg(2 x+3y) lg3=lg4+lg x+lgy,求的值.y TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark95 o Current Document 33(1)分析：由分?jǐn)?shù)指數(shù)塞運(yùn)

2、算性質(zhì)可求得x2 + x空和x2+x 2的值.11解：丁 x2 +x 2 =3, 3311111- x2 x 2 =(x2 x 2)3 -3(x2 x2)=33-3X 3=18.1118 2.原式=9247 3(2)分析:注意x、x2+x 2=(x+x 1)2_ 2= (x2 +x )2 2 2 2=(32 2)2 2=47.2.5y的取值范圍，去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，找到 x、y的關(guān)系式.解:由題意可得x0,y0,由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得lg(x+y)(2x+3y)=lg(12xy),貝 U (x+y)(2x+3y)=12 xy.(2x-y)(x-3y)=0,即 2x=y 或 x=3y.x 1 T x故一 =

3、一或 一 =3.y 2 y評(píng)注:條件代數(shù)式的求值問題包括以下三個(gè)方面：(1)若條件簡單，結(jié)論復(fù)雜，可從化簡結(jié)論入手用上條件；(2)若條件復(fù)雜，結(jié)論簡單，可從化簡條件入手，轉(zhuǎn)化成結(jié)論的形式；(3)若條件與 結(jié)論的復(fù)雜程度相差無幾時(shí)，可同時(shí)對(duì)它們進(jìn)行化簡，直到找出它們之間的聯(lián)系為止 .對(duì)于齊次方程的化簡，也可在方程兩邊同除以某一齊次項(xiàng)，把方程轉(zhuǎn)化成要求的代數(shù)式為 未知數(shù)的方程的形式.第1頁共10頁、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用21. . . 一 . 一 .1【例2】已知函數(shù)y= log i (a x) - loga2()(2W xw 4)的最大值為0,最小值為，ax8解:y=log 1a(a x)

4、 loga2( )=log a(a2x) log a(ax)21=(2+logax)(1+log ax)2=(logax+ )2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 22ymin=.812x21,a 2 1 =0a1.又 y的最大值為0時(shí)，logax+2=0或log ax+1=0,1-111即 x=0或 x= . .)=4 或 一 =2.a a a a八，1又.0a1, .a=-2評(píng)注:(1)若不注意發(fā)現(xiàn)隱含條件0a0,且aw1,函數(shù)y=ax與y=loga(x)的圖象只能是下圖中的解法一：首先，曲線y=ax只可能在上半

5、平面，y=loga( x)只可能在左半平面上，從而排第2頁共10頁除 A、C.其次，從單調(diào)性著眼，y=ax與y=loga(x)的增減性正好相反，又可排除 D.應(yīng)選B.解法二：若0v av 1,則曲線y=ax下降且過點(diǎn)(0,1),而曲線y=loga( x)上升且過(1, 0), 以上圖象均不符合這些條件.若a1,則曲線y=ax上升且過點(diǎn)(0, 1),而曲線y=loga(x)下降且過(1, 0),只有B 滿足條件.解法三：如果注意到y(tǒng)=loga( x)的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象為y=logax,又y=logax與y=ax 互為反函數(shù)(圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱)，則可直接選定 B. TOC o 1-5

6、h z 評(píng)注:要養(yǎng)成從多角度分析問題，解決問題的習(xí)慣，培養(yǎng)思維的靈活性四、函數(shù)應(yīng)用舉例【例4】某企業(yè)實(shí)行裁員增效，已知現(xiàn)有員工 a人，每人每年可創(chuàng)純利潤1評(píng)估在生產(chǎn)條件不變的條件下，每裁員一人，則留崗員工每人每年可多創(chuàng)收0.01每年需付給下崗工人 0.4萬元生活費(fèi)，并且企業(yè)正常運(yùn)行所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有員工的萬元，據(jù)萬元，但34設(shè)該企業(yè)裁員x人后純U攵益為y萬元.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出 x的取值范圍；.(注：在保證(2)當(dāng)140a 280時(shí)，問該企業(yè)應(yīng)裁員多少人，才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益能獲得最大經(jīng)濟(jì)效益的情況下，能少裁員，應(yīng)盡量少裁 解:(1)由題意可得y=(a-x)(1+0.0

7、1 x) 0.4x= x2+( - )x+a.100100 100即x的取值范圍是(0,g中的自然數(shù).4(2) - y=x-(2-70) 2+( 70)2+a1002100 2且 140 1, B= y|y=( g)x,x1,貝U An B 等于A.y|0y -2.y|0 y 1C.y|2y1,，y0W A= y|y0.又= y=(1 )x,x 1,.-. 0y 1，即 B= y|0y0 Ay|0y 1= y|0vyv 1.答案：A2.函數(shù)y= log 1 (x26x+17)的值域是2A. RB.8, +8)C.(-oo,-3)D.解析:y=l0gl ：(x-3)2+8 10gl 8= 3.

8、22答案:C.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是3當(dāng)a0.解析：由題息得3=1x0答案:B5.設(shè)有兩個(gè)命題：關(guān)于x的不等式x2+2ax+40對(duì)于一切xC R恒成立，函數(shù)f(x)= (52a)x是減函數(shù)，若此二命題有且只有一個(gè)為真命題，則實(shí)數(shù)a的范圍是A.(2,2)C.( 一 00 , 一 2)解析:等價(jià)于A =(2a)B.(-oo,2)D.( 一 00 , 一 222160 2a1 a2.有且只有一個(gè)為真，aC (-00答案:C-2).6.二次函數(shù)y= ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=( )x的圖象只可能是a1 b1 一 、一一0,則a的取值范圍是A.(0二)2B.(0,2C.(1+OO)2，)D.(0,+ 8

9、)解析：f(x)=log 2a(x+1)0=log 2a1. x (1,0),，0 x+11.1 . 02a1,即 0a 一2答案：A9.右圖是指數(shù)函數(shù)y=axy=b：y=c：y=dx的圖象，則a、b、c、d與1的大小關(guān)系是A. a b v 1 v cv dC.1 a b (1 )x+1對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 3解析：由題意知x2 2ax x 1恒成立，即 x2- (2a 1)x+10 恒成立. TOC o 1-5 h z 一 一 2.13故 A =(2 a 1) 40 m a 一 HYPERLINK l bookmark77 o Current Document 223答案

10、：1 ：二 a :二 3 HYPERLINK l bookmark51 o Current Document 214.關(guān)于x的方程7x+1 7xaa5=0有負(fù)根，則a的取值范圍是 .解法:由 7x+1 7x a a 5=0 得 a= 75 =7 HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 7x 17x 1x 0,1 V 7x+1 v 2.126v v 12.7x 1 5 V a v 1.解法二：由 7x+1 7x - a-a-5=0 得 7x= a57-a TOC o 1-5 h z 八 x x ,- a 5,. x0,.,. 07x 1.,. 0 V

11、V 1.7-a解得5 a 64.求這個(gè)方程真正的根. HYPERLINK l bookmark71 o Current Document 482解:原方程可變形為10g 22x+blog +c=0.11由于甲寫錯(cuò)了常數(shù) b,得到的根為和1 , HYPERLINK l bookmark102 o Current Document 48c=log 21 - log2l =6. HYPERLINK l bookmark104 o Current Document 48由于乙寫錯(cuò)了常數(shù)G得到的根為工和64,2b= (log 2 +log 264)= 5.2故原方程為 10g22x 5log 2x+6=

12、0.因式分解得(logzx2)(log2x3)=0.log2x=2 或 10g2x=3,即 x=4 或 x=8.17.(本小題滿分12分)試討論函數(shù)f(x)=loga工(a0且aw1)在(1,+ 8)上的單調(diào)性，并x -1予以證明.分析:本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，判定的法則是同增異減，判定的關(guān)鍵是分清函數(shù)的復(fù)合過程.x 1解:設(shè)u=，任取X2Xi1,則x -1 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark20 o Current Document x2 1X1 1U2 u1=一x2 7x1 T=(X2 +1)(Xi -1) -(Xi +1)(X2 -1)(X2

13、-1)(Xi -1)2(Xi -X2)=.(X2 -1)(Xi -1)x1 1,x2 1, - - x1 1 0,x2 1 0.第8頁共10頁又 x1Vx2,，X1 x2V 0.2(X1 X2)0,即 U21 時(shí),y=logax 是增函數(shù), . logaU2 logaui,即 f(x2)Vf(xi)；當(dāng) 0 a logaui,即 f(x2)f(xi).綜上可知，當(dāng)ai時(shí),f(x)=loga上二1在(i,+ 8)上為減函數(shù)；當(dāng)0V avi時(shí),f(x)=logajxu 在x -ix- i(i,+ oo)上為增函數(shù).2x 4xai8.(本小題滿分i2分)設(shè)f(x)=lg,且當(dāng)x(-oo,i：時(shí)f(x)有意義，求實(shí)數(shù)3a的取值范圍.解：欲使xC ( 8,i時(shí)，f(x)有意義，需i+2x+4xa 0恒成立，也就是a ()+(一) (x 3時(shí)，滿足題意，4一.一 .，. 3即a的取值氾圍為(，+00).19.(本小題滿分12分)某種細(xì)菌每隔兩小時(shí)分裂一次 (每一個(gè)細(xì)菌分裂成兩個(gè)， 分裂所需 時(shí)間忽略不計(jì))，研究開始時(shí)有兩個(gè)細(xì)菌，在研究過程中不斷進(jìn)行分裂，細(xì)菌總數(shù) y是研究 時(shí)間t的函數(shù)，記作y=f(t).(1)寫出函數(shù)y=