泛函分析題13列緊集答案

1、泛函分析題1_3列緊集p191.3.1在完備的度量空間中，求證：為了子集A是列緊的，其充分必要條件是對(duì) Ve 0，存在A(yíng)的列緊的網(wǎng).證明：(1)若子集A是列緊的，由Hausdorff定理，Ve 0，存在A(yíng)的有限e網(wǎng)N.而有限集是列緊的，故存在A(yíng)的列緊的e網(wǎng)N. 若Ve 0，存在A(yíng)的列緊的e/2網(wǎng)B.因B列緊，由Hausdorff定理，存在B的有限e/2網(wǎng)C.因C g B g A，故C為A的有限e網(wǎng).因空間是完備的，再用Hausdorff定理，知A是列緊的.1.3.2在度量空間中，求證：緊集上的連續(xù)函數(shù)必是有界的，并且能達(dá)到它的上、 下確界.證明：設(shè)(X,p)是度量空間，D是緊子集，f: D -

2、匕是連續(xù)函數(shù). 若f無(wú)上界，QVe.+，存在xnD，使得f (凡) 1/n.因D是緊集，故D是自列緊的.所以xn存在收斂子列xn(k) x0eD (k-8).由 f 的連續(xù)性，f(xn(k)-f (x0) (k-8).但由 f (xn) 1/n 知 f (xn) +8 (ns)，所以 f 3n(k) +8 (k8)，矛盾.故f有上界.同理，故f有下界. 設(shè) M = supxEDf(x)，則Vne.+，存在 yn&D，使得f (yn) M- 1/n.3n存在子列 y“(k)- y0eD (k-8).因此f (y0) M.而根據(jù)M的定義，又有f (y0) ，其中e k= 0, 0,1,0, . (

3、只是第k個(gè)坐標(biāo)為1，其余都是0 )，來(lái)說(shuō) 明一個(gè)集合可以是有界的但不完全有界的.證明：(1)若A是度量空間(X,p)中的完全有界集.則存在 A 的有限 1-網(wǎng) N = x0,x1,x2, .,xn .令 R =筆 j n P(x0, %)+ 1.則VxeA，存在某個(gè)j使得0 j n，且p(x, xj) 1.因此，p(x, xn) p(x, x.) + p(x., xn) 1 + Ep(xn, x.) = R.0j j 01 j n 0 j所以A是度量空間(X, p)中的有界集. 注意到p(ek, e j) = 21/2 ( Vk 勺)，故E中任意點(diǎn)列都不是Cauchy列.所以，E中任意點(diǎn)列都沒(méi)

4、有收斂子列(否則，該收斂子列就是Cauchy列，矛盾).因此，E不是列緊集.由l2是完備的，以及Hausdorff定理，知E不是全有界集.但E顯然是有界集.1.3.4設(shè)(X,p)是度量空間，F(xiàn), F2是它的兩個(gè)緊子集，求證：3 %. e F. (i = 1, 2), 使得p(F1, F2) = p(x1, x2).其中P(F, F2) = inf p(x, y) I xeF1, yeF2 證明：由 p(F1, F2)的定義，Pne.f 3 xn e F. (i = 1, 2)，使得p(x1(n), x2(n) p(F1, F2) + 1/n.因F1, F2緊，故不妨假設(shè)x1(n), x2(n)

5、都是收斂列.設(shè)它們的極限分別為x1, x2，則p(x1, x2) 0，使得W eM，p( f, 0) K.先證明A是一致有界的和等度連續(xù)的.VF eA，存在 f eM，使得 F(x)a,x f(t) dt.由于p(F, 0) = max x ea, b 1 F(x) 1 = maxx ea, b 1 Ja, xf(t) dt 1 maxx b I f(t) I - (b - a ) = p( f, 0) (b - a ) 0，Vs, tea, b，當(dāng)Is - 11 引 K 時(shí)，VF eA，存在 f eM，使得 F(x)a,x f(u) du.I F(s) - F(t) I = I fs t f

6、(u) du I max u ea b I f(u) I I s - t I=p( f, 0) I s - 11 ，求證：E在C0,兀中不是列緊的.證明：顯然E是一致有界的.根據(jù)Arzela-Ascoli定理，我們只要證明E不是等度連續(xù)的即可.我們的想法是找一個(gè)E中的點(diǎn)列九，以及0,兀中的兩個(gè)點(diǎn)列sn和，使得E-tn IT 0,但1 fn(Sn) - (制不收斂于 0事實(shí)上，這是可以做到的，只要令fn (u) = sin (2n u)，sn =(兀/2)(1 + 1/(2n)，tn =(兀/2)(1 - 1/(2n).則。sn + tn =兀；sn - tn =兀/(2n)T 0 (nT8).

7、因此，I fn(sn) - fn(tj) I = 2 I sin (2n sn) - sin (2n tn) I=2 I sin (n (Sn-tn)COs (n (Sn + 5 I=2 I sin (兀/2) cos (n 兀)I = 2.所以，E不是等度連續(xù)的.進(jìn)而，E在C0,兀中不是列緊的.1.3.7求證S空間的子集A是列緊的充要條件是：Vne.+，3Cn 0，使得Vx = (, &2,&n, .)eA，都有I &nl k.顯然，褻)無(wú)收斂子列，故xk也無(wú)收斂子列，這與A列緊相矛盾. 這樣就完成了必要性的證明.1.3.8設(shè)(X,p)是度量空間，M是X中的列緊集，映射f: X M滿(mǎn)足P (

8、f (x1), f (x2) p (X1, X2) (Vx1, x2eM, x1 豐 x2).求證：f在X中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn).證明：(1)首先證明cl(M)是緊集.為此只要證明cl(M)列緊即可.設(shè) xn 是cl(M)中的點(diǎn)列，則存在M中的點(diǎn)列異使得p (xn, yn) 1/n.因M列緊，故 yn 有收斂子列 yn(k)，設(shè)yn(k)T u ecl(M).顯然 xn(k)也是收斂的，并且也收斂于u ecl(M).所以cl(M)是自列緊的，因而是緊集.(2)令g(x) = p (x, f (x)，則g是X上的連續(xù)函數(shù).事實(shí)上，由p (f (x1), f (x2) 0，則p (x0, f (x0) 0，即 x0 f (x0).故？( x0, f (x0) = g(x0) g( f (x0) = p (f (x0), f (f (x0) p (x0, f (x0)，矛盾. 所以，必有g(shù)(x0) = 0，即p (x0, f (x0) = 0，因此x0就是f的不動(dòng)點(diǎn).1.3.9設(shè)(M, p)是一個(gè)緊距離空間，又E匚C(M)，E中的函數(shù)一致有界并且滿(mǎn)足 下列的 Holder 條件：I x(t )一 x(t ) I C p(t t )a (VxcE. Vt t eM )