7.5猜想與證明

1、 “要成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，你必須是一個(gè)好的猜想家。” 波利亞“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的成果?！?牛頓 創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題AOB實(shí)例1：如圖，以點(diǎn)O為端點(diǎn)引n條射線，圖中共有多少個(gè)角？(小于 的角)怎樣表示？ （1）以點(diǎn)O為端點(diǎn)引2條射線時(shí)，圖中共有多少個(gè)角？怎樣表示？ AOB創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題角的個(gè)數(shù)為1個(gè) （2）以點(diǎn)O為端點(diǎn)引3條射線時(shí)，圖中共有多少個(gè)角？怎樣表示？ AOBC創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題角的個(gè)數(shù)為1+2=3個(gè)（3）以點(diǎn)O為端點(diǎn)引4條射線時(shí)，圖中共有 多少個(gè)角？怎樣表示？ CAOBD創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題角的個(gè)數(shù)為1+2+3=6個(gè)（4）以點(diǎn)O為端點(diǎn)引5條射線時(shí)，圖中共有多少個(gè)角？怎樣表

2、示？ OABCDE創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題角的個(gè)數(shù)為1+2+3+4=10個(gè)（5）以點(diǎn)O為端點(diǎn)引n條射線時(shí)，圖中共有多少個(gè)角？ AOB創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題角的個(gè)數(shù)為在生活中，為了尋求美，有時(shí)把物品按照某種規(guī)律進(jìn)行擺放 實(shí)例2：在國(guó)慶節(jié)期間的亢山廣場(chǎng)上，按如下圖形 擺放鮮花：第1堆第2堆第3堆創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題問(wèn)題1：如何通過(guò)圖形的變化規(guī)律得到相應(yīng)數(shù)量的變化規(guī)律呢？ 按圖形特征找數(shù)字規(guī)律由圖形的排列規(guī)律發(fā)現(xiàn)數(shù)量的變化規(guī)律例1 在國(guó)慶節(jié)期間的亢山廣場(chǎng)上，按如下圖形擺放鮮花，則第5堆需要擺放鮮花 盆 ； 第n 堆需要擺放鮮花 盆第1堆第2堆第3堆思考：1、你能發(fā)現(xiàn)圖形的變化規(guī)律嗎？2、你能建立每堆的花盆數(shù)和對(duì)

3、應(yīng)堆數(shù)（序號(hào)）之間關(guān)系嗎？3、如何驗(yàn)證，增加猜想的正確性？由圖形的排列規(guī)律發(fā)現(xiàn)數(shù)量的變化規(guī)律1找規(guī)律:建立每堆的鮮花盆數(shù)和對(duì)應(yīng)序號(hào)之間的關(guān)系，即用序號(hào)刻畫每堆花盆的數(shù)量2用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示猜想（猜想可能不正確）3驗(yàn)證：增加歸納（猜想）的準(zhǔn)確性提煉方法：第1堆第2堆第3堆第n個(gè)屋子123410n棋子的個(gè)數(shù)5111723595+6(n-1)例1變式：在廣場(chǎng)上，若按如下圖形把鮮花擺放成小屋子的形狀，則第10個(gè)圖形需要擺放鮮花 盆 ； 第n 個(gè)圖形需要擺鮮花 盆，第20個(gè)圖形需要擺放鮮花 盆第1個(gè)圖形 第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形由圖形的排列規(guī)律發(fā)現(xiàn)數(shù)量的變化規(guī)律6n-1第 n個(gè)屋子12341

4、0n棋子的個(gè)數(shù)5111723595+6(n-1)由圖形入手.n =1n =2n =3n =n48124n1352n -1第 n 個(gè)小屋子的棋子的總數(shù)是:2n 1+4n =6n 1.由數(shù)字入手.6n-1例2 將正方形ABCD（如圖1）作如下劃分：第1次劃分：分別連接正方形ABCD對(duì)邊的中點(diǎn)（如圖2），得線段HF和EG，它們交于點(diǎn)M，此時(shí)圖2中共有5個(gè)正方形；第2次劃分：將圖2左上角正方形AEMH按上述方法再作劃分，得圖3；若每次都把左上角的正方形依次劃分下去，則第100次劃分后，圖中共有_個(gè)正方形；第n次劃分后，圖中共有_個(gè)正方形;繼續(xù)劃分下去，能否將正方形ABCD劃分成有2017個(gè)正方形的圖形

5、？請(qǐng)說(shuō)明理由.MFGEMFGHEABABABDCCDCDH圖1圖2圖3例3 化簡(jiǎn)問(wèn)題2：在前面的研究中，我們把圖形表示的數(shù)字歸納成用n表示的代數(shù)式，在例3中，我們能否把式子中的數(shù)字表示成圖形，再由圖形的變化特征歸納出式子的結(jié)果呢？1352n-11352n-1n行n列+2n-12n-111+31+3+51+3+5+71+3+5+7+9正方形數(shù):黑點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為n2 1491625例3 化簡(jiǎn)課堂練習(xí)、鞏固方法練習(xí)1：將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請(qǐng)仔細(xì)觀察，第n個(gè)圖形有 個(gè)小圓. 第1個(gè)圖形第 2 個(gè)圖形第3個(gè)圖形第 4 個(gè)圖形練習(xí)2：將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折，如圖所示可得到一條折痕（圖中虛線）繼續(xù)對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對(duì)折三次后，可以得到7條折痕，那么對(duì)折四次可以得到 條折痕如果對(duì)折n次，可以得到 條折痕課堂小結(jié)、凝練提升本節(jié)課、你有哪些收獲？方法角度仔 細(xì)觀 察發(fā) 現(xiàn)特 征從特殊到一般從簡(jiǎn)單到復(fù)雜歸