數(shù)字信號(hào)處理：第六章 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

1、第六章 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)IIR Digital Filter Design第一節(jié) 數(shù)字濾波器的基本概念一、數(shù)字濾波器基本概念數(shù)字濾波器: 輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，經(jīng)過(guò)一定運(yùn)算 關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì) 比例或者濾除某些頻率成分的器件。優(yōu)點(diǎn)： 精度高，穩(wěn)定，體積小，重量輕，靈活，不 要求阻抗匹配，能實(shí)現(xiàn)模擬濾波器(AF)無(wú)法 實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。1. 數(shù)字濾波器的分類（回憶）2.數(shù)字濾波器的技術(shù)要求3. 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述1、數(shù)字濾波器的分類 經(jīng)典濾波器：即一般濾波器（輸入信號(hào)中有用的頻 率成分和希望濾除的頻率成分各占有 不同的頻帶，通過(guò)以合適的選頻濾波 器達(dá)到目的） 現(xiàn)代濾波器

2、：如維納濾波器，卡爾曼濾波器，自適 應(yīng)濾波器等最佳濾波器（按隨機(jī)信號(hào) 內(nèi)部的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，從干擾中最佳 提取信號(hào)）經(jīng)典濾波器的幾種類型： 數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：IIR濾波器 FIR濾波器 用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標(biāo)按設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算結(jié)構(gòu)、字長(zhǎng)的選擇等實(shí)際技術(shù)實(shí)現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法2、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程3、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求 我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器

3、。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(e j)用下式表示：幅頻特性|H(ej)|： 信號(hào)通過(guò)濾波器后的各頻率成分衰減情況。相頻特性()：各頻率成分通過(guò)濾波器后在在相位上的變化情況（時(shí)間上的延時(shí)情況）。理想濾波器不可實(shí)現(xiàn)，只能以實(shí)際濾波器逼近通帶： 阻帶：過(guò)渡帶：阻帶截止頻率：通帶截止頻率：通帶容限：阻帶容限 通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用p表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用s表示， p和s分別定義為：上式中， 歸一化為1。 H(z)H(z-1) 的極點(diǎn)既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對(duì)稱的。H(z)的極點(diǎn)：?jiǎn)挝粓A內(nèi)的極點(diǎn)4、表征濾波器頻率響應(yīng)的特征參量 幅度平方響應(yīng) 相位響應(yīng)

4、相位對(duì)角頻率的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值 群延遲響應(yīng)若濾波器通帶內(nèi) 為常數(shù)， 則為線性相位濾波器。 用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：s平面逼近：模擬濾波器的設(shè)計(jì)z平面逼近：數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)5、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器 即為求濾波器的各系數(shù)：第二節(jié) 模擬濾波器的設(shè)計(jì) 模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如： 1) 巴特沃斯(Butterworth)濾波器 2) 切比雪夫(Chebyshev)濾波器 3) 橢圓(Ellipse)濾波器 4) 貝塞爾(Bessel)濾波器 這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖

5、表供設(shè)計(jì)人員使用。1、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有p, p, s和s。p和s分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率， p是通帶(0p)中的最大衰減系數(shù) s是阻帶s的最小衰減系數(shù)c稱為3dB截止頻率： 濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)p和s，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，有：2、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法(1) 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2 用下式表示：N越大，越接近理想濾波器，N越大，濾波器的實(shí)現(xiàn)也越復(fù)雜。(2)幅度平方函數(shù)極點(diǎn)分布及Ha(s)的構(gòu)成將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2寫成s的

6、函數(shù)：上式表明，極點(diǎn)sk用下式表示： 為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為取s平面左半平面的極點(diǎn)s0,s1,s2組成Ha(s)：(3) 頻率歸一化 由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對(duì)3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為 式中，s/c=j/c。 令=/c，稱為歸一化頻率；令 p = j= j/c ， p 稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：帶入Ha(p)表達(dá)式，得到的H

7、a(p)的分母是p的N階多項(xiàng)式，用下式表示：歸一化的傳輸函數(shù)系數(shù)Ha (p) 的系數(shù)以及極點(diǎn)可以查表得到。表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) (4)階數(shù)N的確定 階數(shù)N的大小主要影響幅度特性下降的速度，它應(yīng)該由技術(shù)指標(biāo)確定。將=p代入幅度平方函數(shù)中:將=s代入幅度平方函數(shù)中:用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。 關(guān)于3dB截止頻率c，如果技術(shù)指標(biāo)中沒(méi)有給出，可以按照下面兩式求出： 通常是用一個(gè)算出c，然后用另一個(gè)(反過(guò)來(lái))來(lái)檢驗(yàn)?？偨Y(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下： 根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p,p,s, s，求出濾波器的階數(shù)N。(2) 求出歸一化極點(diǎn)pk，得到歸一化傳輸

8、函數(shù)Ha(p)。 (3) 將Ha(p)去歸一化。將p=s/c代入Ha(p)，得到實(shí)際的濾波器 傳輸函數(shù)Ha(s)。例： 已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解： (1) 確定階數(shù)N：(2) 求極點(diǎn)：歸一化傳輸函數(shù)為 上式分母可以展開(kāi)成為五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在一起，形成因式分解形式。不如直接查表簡(jiǎn)單，由N=5，直接查表得到：極點(diǎn)：-0.3090j0.9511、-0.8090j0.5878、 -1.0000其中： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b

9、3=5.2361,b4=3.2361(3) 為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率c。將p=s/c代入Ha(p)中得到：檢驗(yàn)： 可以看出，滿足s=30dB 的真實(shí)fs在10.525kHz處，與12kHz比，還有富裕量。4、模擬濾波器的頻率變換 模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)各類模擬濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程圖 HPBPBS指標(biāo)LP指標(biāo)G(j)傳輸函數(shù)HHP(j)HBP(j)HBS(j)傳輸函數(shù)頻率變換頻率變換設(shè)計(jì)AF濾波器LP其他AF濾波器HP, BP, BS設(shè)：傳輸函數(shù)G(s)H(s)歸一化截止頻率歸一化拉氏變量p=jq=j歸一化傳輸函數(shù)G(p)H(q)(1) 低通到高通的頻率變換 模擬高通濾波

10、器的設(shè)計(jì)步驟如下：A、確定高通濾波器指標(biāo)：通帶截止頻率p， 阻帶截止頻率s，通帶最大衰減p，阻帶最小衰 減s。B、確定相應(yīng)低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)，將高通濾波器 的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的邊界頻率，各項(xiàng) 設(shè)計(jì)指標(biāo)為：低通濾波器通帶截止頻率p=1/p；低通濾波器阻帶截止頻率s=1/s；通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減仍為s。C、設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p)。D、求模擬高通的H(s)。將G(p) 先轉(zhuǎn)換成歸一化高通H(q)，再去歸一化，得H(s)：回憶低通濾波器的去歸一化：例： 設(shè)計(jì)高通濾波器，fp=200Hz、fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下 降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減s=15dB。

11、解： 高通技術(shù)要求fp=200Hz p=3dBfs=100Hz, s=15dB歸一化頻率低通技術(shù)要求： 設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故 求模擬高通H(s)：(2) 低通到帶通的頻率變換低通與帶通濾波器的幅度特性如圖：由與的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到：由上表知p對(duì)應(yīng)u，代入上式中，有 上式稱為低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率。下面推導(dǎo)由歸一化低通到帶通的轉(zhuǎn)換公式：將q=j代入上式，得到：為去歸一化，將q=s/B代入 ，得到： 模擬帶通的設(shè)計(jì)步驟A、 確定模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，即：帶通上限頻率u，帶通下限頻率l下阻帶截止頻率s1 ,上阻帶截止頻率s2

12、通帶中心頻率02=lu，通帶寬度B=u-l與以上邊界頻率對(duì)應(yīng)的歸一化邊界頻率如下：B、 確定歸一化低通技術(shù)要求： s與-s的絕對(duì)值可能不相等，一般取絕對(duì)值小的s，這樣保證在較大的s處更能滿足要求。通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減亦為s。C、設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。D、 將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。例：設(shè)計(jì)模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2200rad/s，中 心頻率0=21000rad/s，通帶內(nèi)最大衰減p=3dB， 阻帶s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻帶最 小衰減s=15dB。解 ：(1) 模擬帶通的技術(shù)要求0=21000rad/s, p=3dBs1 =2830rad/

13、s,s2=21200rad/s, s=15dB B = 2200rad/s;0= 0 /B = 5,s1= s1 /B = 4.15, s2 = s2 /B = 6(2) 模擬歸一化低通技術(shù)要求：取s=1.833, p=3dB, s=15dB。(3)設(shè)計(jì)模擬歸一化低通濾波器G(p)：取N=3，查表得：(4) 求模擬帶通H(s)：(3) 低通到帶阻的頻率變換低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖 l和u分別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率， s1和s2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率， 0為阻帶中心頻率，02=ul， 阻帶帶寬B=u-l，B作為歸一化參考頻率。 相應(yīng)的歸一化邊界頻率為：u=u/B, l=l

14、/B,s1=s1/B, s2=s2/B;02=ul 根據(jù)與的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得到： 且u -l=1，p=1，上式稱為低通到帶阻的頻率變換公式。將上式代入p=j，并去歸一化，可得：上式就是直接由歸一化低通轉(zhuǎn)換成帶阻的頻率變換公式。 設(shè)計(jì)帶阻濾波器的步驟A、確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求：下通帶截止頻率l，上通帶截止頻率u阻帶下限頻率s1，阻帶上限頻率s2阻帶中心頻率02=ul，阻帶寬度B=u-l它們相應(yīng)的歸一化邊界頻率為 l=l/B, u=u/B, s1=s1/B, s2=s2/B, 20=ul以及通帶最大衰減p和阻帶最小衰減s。B、 確定歸一化模擬低通技術(shù)要求， 取s和-s的絕對(duì)值較小的s；通帶最大

15、衰減為p，阻帶最小衰減為s。C、設(shè)計(jì)歸一化模擬低通G(p)D、將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)例：設(shè)計(jì)模擬帶阻濾波器，其技術(shù)要求為： l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2= 21020rad/s, u=21105rad/s, p=3dB, s=25dB。試設(shè)計(jì)巴特沃斯帶阻濾波器。解: (1) 模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求： l=2905,u=21105; s1=2980,s2=21020; 02=lu=421000025, B=u-l=2200;l=l/B=4.525, u=u/B=5.525;s1=s1/B=4.9, s2=5.1;20=lu=25(2) 歸一化低通的技術(shù)

16、要求：(3)設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p)：(4) 帶阻濾波器的H(s)為：第三節(jié) 用脈沖響應(yīng)不變法 設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器 利用模擬濾波器來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 因此，它歸根結(jié)底是一個(gè)由S平面映射到Z平面的變換，這個(gè)變換通常是復(fù)變函數(shù)的映射變換，為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，這個(gè)映射變換必須滿足以下兩條基本要求：(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻 響，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍 是因果穩(wěn)定的。即 S平面的左半平面必須映射到Z

17、平面單位圓的內(nèi)部。一、脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換原理核心原理： 通過(guò)對(duì)連續(xù)函數(shù)ha(t)等間隔采樣得到離散序列ha(nT)。令h(n)= ha(nT) ，T為采樣間隔。它是一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法。轉(zhuǎn)換步驟：設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t) 設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示： 式中si為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)： 式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 設(shè)ha(t)的采樣信號(hào)

18、用 表示，二、存在的問(wèn)題拉氏變換： 上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：將s=j代入上式，得 我們知道模擬信號(hào)ha(t)的傅里葉變換Ha(j)和其采樣信號(hào) 的傅里葉變換 之間的關(guān)系滿足： j S平面Z平面RezjImz=0 (s平面虛軸) r=1 (z平面單位圓)0 (s左半平面) r0 (s右半平面) r1 (z平面單位圓外部) r與的關(guān)系 與的關(guān)系： = T =0 (s平面實(shí)軸) =0 (z平面正實(shí)軸) = 0 =0T (s平面平行于實(shí)軸的直線) (z平面始于原點(diǎn)，輻角為0T的輻射線) ：從 -/T /T ：從 - (s平面為2/T的一個(gè)水平帶) (z

19、平面輻角轉(zhuǎn)了一周，覆蓋整個(gè)z平面) Z平面jImzRezj S平面-/T/T3/T-3/T多值映射 存在的問(wèn)題：混疊失真數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。 只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真。即：| 1、實(shí)際的模擬濾波器都不是嚴(yán)格限帶的（非理想）， 變換后就會(huì)由于周期延拓，導(dǎo)致頻譜交疊失真。這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而是有一定的失真。2、當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)

20、計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)幅度還與采樣間隔T成反比：| 如果采樣頻率很高，即T很小，數(shù)字濾波器可能具有太高的增益，這是不希望的。為了使數(shù)字濾波器增益不隨采樣頻率而變化，可以作以下簡(jiǎn)單的修正，令：h(n)=Tha(nT) 則有: 很小的數(shù)在分子比在分母安全！例： 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為：用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解：首先將Ha(s)寫成部分分式極點(diǎn)為：那么H(z)的極點(diǎn)為：設(shè)T=1s時(shí)用H1(z)表示，T=0.1s時(shí)用H2(z)表示，則轉(zhuǎn)換時(shí)，也可以直接按照二階節(jié)的公式來(lái)直接寫。優(yōu)點(diǎn)： 脈沖

21、響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完 全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼 近良好。 模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系=T。 因而，一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾 波器）通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個(gè)線性 相位的數(shù)字濾波器。缺點(diǎn)： 有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。 所以， 脈沖響應(yīng)不變 法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性 很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快 ，混疊效應(yīng)越小。 對(duì)于高通和帶阻濾波器，由于它們?cè)诟哳l部分 不衰減， 因此會(huì)產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，不適合高通和帶阻濾波器。第四節(jié) 用雙線性變換法 設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器一、變換原理 如何解決上一節(jié)的頻率混疊問(wèn)題？方法

22、： 先采用線性壓縮的方法，將模擬角頻率壓縮至折疊頻率以內(nèi)。即： 若： ： - 0 , 壓縮后得到1 1：-/T 0 /T 非線性壓縮SS1單值映射S1Z0/T-/T1找Z與S的關(guān)系：一般來(lái)說(shuō)，為使AF與DF的某一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，可引入常數(shù)C： 變換常數(shù)C的選?。?常數(shù)C用來(lái)調(diào)節(jié)頻率間的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 若希望AF與DF在低頻處有較為確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系， 可以選擇： 解釋：在低頻處有較為確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即要求低頻處：當(dāng)1較小時(shí)，處于低頻處，此時(shí)有：而和1的對(duì)應(yīng)公式為：二、優(yōu)點(diǎn)、問(wèn)題及其解決辦法 一、優(yōu)點(diǎn)：解決了混疊問(wèn)題。 二、問(wèn)題： 三、解決：通過(guò)頻率預(yù)畸來(lái)解決。SZ指標(biāo)轉(zhuǎn)換預(yù)畸指標(biāo)轉(zhuǎn)換不預(yù)畸SZ產(chǎn)生畸變

23、不產(chǎn)生畸變四、雙線性變換法的幅度失真和相位失真情況的刻度是均勻的，通過(guò)非線性正切關(guān)系，映射到z平面的刻度不均勻，隨增加越來(lái)越密，即邊界頻率發(fā)生畸變。如果模擬濾波器具有片段常數(shù)特性，則轉(zhuǎn)換到z平面仍具有片段常數(shù)特性。適于片段常系數(shù)濾波器的設(shè)計(jì)。幅度特性失真相位特性失真 利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率p、通 帶衰減p、阻帶截止頻率s、阻帶衰減s將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的 技術(shù)指標(biāo)。1)如果采用脈沖響應(yīng)不變法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為2)如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為(3) 按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低

24、通濾波器。(4) 將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通 濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。例：設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2rad時(shí)， 容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3到之間的阻帶衰 減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。 試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。解： (1) 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為 p=0.2rad, p=1dB; s=0.3rad, s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為 T=1s,p=0.2rad/s, p=1dB; s=0.3rad/s, s=15dB設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。先計(jì)算

25、階數(shù)N及3dB截止頻率c。根據(jù)階數(shù)N=6，查表得到歸一化傳輸函數(shù)為：由式：得到：c=0.7032rad/s 最后，去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)中，得到實(shí)際的傳輸函數(shù)Ha(s)用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)進(jìn)行部分 分式分解，然后再轉(zhuǎn)換 z=esT。(2) 用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為 p=0.2rad, p=1dB; s=0.3rad, s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為 設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計(jì)算如下： 取N=6。并求得：c=0.7662rad/s 根據(jù)N=6，查表6.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖響應(yīng)不變

26、法得到的相同。為去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)，得實(shí)際的Ha(s) 用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)第五節(jié) 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)(1) 確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)(2) 將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類型模擬 濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為： 若用脈沖響應(yīng)不變法： 若用雙線性變換法：(4) 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。(5) 將模擬低通通過(guò)頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。(6) 將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。(3) 將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技 術(shù)指標(biāo)。例：設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率p=0.8rad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率s=0.44rad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。解： (1)數(shù)字高通的技