2020版高考數(shù)學大一輪復習第16講定積分與微積分基本定理學案理新人教A版

1、第16講定積分與微積分基本定理.定積分的概念如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù),用分點a=xoxiXi-ix0,那么定積分 f(x)dx表示由直線x=, x=, y=和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積 .定積分的性質(zhì)性質(zhì)1:常數(shù)因子可提到積分號前，即kf (x)d x=(k為常數(shù)).性質(zhì)2:代數(shù)和的定積分等于定積分的代數(shù)和，即f(x) g(x)d x=.性質(zhì)3:(定積分的可加性)如果積分區(qū)間a, b被點c分成兩個小區(qū)間2,3與6可，則 f (x)d x=.微積分基本定理如果f(x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，并且有F(x)=f(x)，則f(x)dx=.常用結(jié)論如果f(x)是區(qū)間-a, a

2、( a0)上的連續(xù)的偶函數(shù)，則- f(x)dx=2f(x)dx;如果f(x)是區(qū)間-a, a( a0)上的連續(xù)白奇函數(shù)，貝U _ f(x)dx=0.題組一常識題.教材改編-dx=.教材改編 sin xdx=.教材改編已知 f(x)dx=8,則 f(x)dx+f(x)dx=.教材改編直線y=x-4、曲線y二 一及x軸所圍成的封閉圖形的面積是 . 題組二常錯題索引：誤解積分變量致錯；定積分的值不一定是曲邊梯形的面積 ；弄錯原函數(shù)的定義 域；f (x), g(x)的圖像與直線x=a, x=b所圍成的曲邊圖形的面積的表達式不清致錯.定積分 - (t2+1)dx=.曲線y=-x2(xC -1,1)與x軸

3、所圍成的封閉圖形的面積為 .計算 - -dx=.-.直線x=0,x=與曲線y=sin x, y=cos x所圍成的封閉圖形的面積S的定積分表達式是.探究點一定積分的計算C -例 1 (1)已知函數(shù) f(x)=則一f(x)dx=()-CA 2+ 兀 B C- 2+- D 2(2) 2018 湖北咸寧重點高中聯(lián)考若 (ex-2ax)d x=e,則a=.總結(jié)反思(1)計算定積分的常用方法有三種：定義法、幾何意義法、微積分基本定理法(2)使用微積分基本定理的關(guān)鍵是找到一個函數(shù)，使該函數(shù)的導數(shù)等于被積函數(shù).變式題(1) 2018 曲靖一中月考已知 一 sin( x-()d x=一,則 sin 2 ()=

4、()A - B. - C- -D.-(2) 2018 -萊蕪模擬-dx的值為探究點二利用定積分求曲邊梯形的面積例22018貴陽模擬若函數(shù)f(x)=Asin 3 x-_(AR, 3 0)的部分圖像如圖 2-16-1所示，則圖中陰影部分的面積為()圖 2-16-1A -B.- C.-D. TOC o 1-5 h z (2) 2018 江西臨川一中月考已知曲線y= , y=2-x與x軸所圍成的封閉圖形的面積為S,則 S=.總結(jié)反思(1)利用定積分求曲邊梯形的面積的基本步驟：畫草圖，解方程得積分上、下限，把面積表示為已知函數(shù)的定積分.(2)注意：兩曲線的上、下位置關(guān)系，分段表示的面積之間的關(guān)系.變式題

5、(1)如圖2-16-2所示的陰影部分的面積為()圖 2-16-2A4 一 B2 一C - D (2) 2018安徽江南十校聯(lián)考直線l過拋物線E:y2=8x的焦點且與x軸垂直，則直線l與E所圍成的封閉圖形的面積為()A 13 B C D 探究點三定積分在物理中的應用例3兩點之間相距112 m, 一質(zhì)點從一點出發(fā)，沿直線向另一點做變速直線運動，其速度方程是v=t+1(v的單位：m/s, t的單位:s).(1)計算該質(zhì)點在前10 s所走的路程；(2)計算該質(zhì)點在第5 s到第10 s所經(jīng)過的路程；(3)計算該質(zhì)點到達另一點所需要的時間，以及該質(zhì)點在整個運動過程中的平均速度總結(jié)反思(1)做變速直線運動的

6、物體在時間段a, b內(nèi)所經(jīng)過的路程 S等于其速度函數(shù)v=v( t)( v(t) 0)在時間區(qū)間a, b上的定積分，即S= v(t)dt.(2) 一物體在變力F=Rx)的作用下，在位移區(qū)間a, b內(nèi)所做的功W是函數(shù)F=Rx)在區(qū)間a, b 上的定積分，即W= F(x)d x.變式題 一物體在變力F( x)一(單位:N)的作用下沿力的正方向運動，求物體從x=8 m處運動到x=18 m處這一過程中，變力對物體所做的功.第16講定積分與微積分基本定理考試說明1 .了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念2. 了解微積分基本定理的含義 .【課前雙基鞏固】知識聚焦1.常數(shù)-f (七i)

7、被積下上.a b 0.k f(x)dxf(x)dx g(x)dxf(x)dx+ f(x)dx.F(b)-F(a)對點演練.e2-21n 2 -e 解析-dx=(ex-2ln x)=e2-21n 2 -e. TOC o 1-5 h z . 2 解析 sin xdx=- cos x=2. 8 解析 f (x)d x+ f(x)dx= f(x)dx=8.-解析畫出圖形(圖略)可知，所求的面積S= dx+dx-(x-4)dx=一+一-(x- 4)2-. 3t 2+3 解析- (t2+1)dx=(t2+1)x - =2(t2+1)+(t2+1) =3t2+3.-解析所求面積 S=- (-x2)dx=2x

8、2dx=-.- ln 2解析根據(jù)-dx的幾何息義，可得-dx=-dx=-ln x =- ln 2 .-本題若做成-dx=ln x -則是錯誤的.8.S= 一 | sin x- cos x| dx【課堂考點探究】例1 思路點撥(1)根據(jù)定積分的幾何意義、定積分的性質(zhì)、微積分基本定理求解；(2) a是常量，確定原函數(shù)，建立關(guān)于a的方程求解.(1)D(2) -1 解析(1)-f(x)dx= - sin xdx+ - dx,又 - sin xdx=- cosx - =-2,- dx的幾何意義是以原點為圓心，1為半徑的圓的面積的-，故-dx= %，： -f(x)dx=- 2,故選 D(2) ,/(ex-

9、 2ax)d x=(e x-ax2)=e-a- 1=e, -a- 1 =0, a=-1.變式題 (1)B(2)3 +ln 2解析(1)根據(jù)微積分基本定理,得_ sin( x-()d x=- cos( x- j )，即-cos - +cos( - j )=cos j - sin j =一,兩邊平方，得1-sin 2 ()=,所以 sin 2 ()=1-二，故選 B.(2)-dx=(x2+ln x)=4+ln 2 -1-0=3+ln 2 .例2 思路點撥(1)由圖像求出函數(shù)解析式，然后利用定積分求得圖中陰影部分的面積；(2)先作出草圖(可略)，確定被積函數(shù)與積分區(qū)間，再利用定積分求面積.C(2)-

10、解析(1)由圖像可知，A=1,_= -,即丁二兀，所以二2，所以f (x) =sin-.所以圖中陰影部分的面積S=-sin -dx=-cos-cos - cos -=,古攵C(2)由題意得，曲線y=，y=2-x與x軸所圍成的封閉圖形的面積S=dx+(2-x)dx=-+ -+2-二.變式題 (1)B(2)C解析(1)根據(jù)定積分的幾何意義可得，陰影部分的面積 S= (sinx- cos x)d x=( - cos x- sin x)_ =2,故選 B.(2)由題意得，直線l的方程為x=2,將 y2=8x 化為 y= 2 .由定積分的幾何意義得，所求面積S=2(2) dx=4dx=4 X=4X-X2

11、 a.例3 思路點撥第(1)(2)問只要根據(jù)定積分的物理意義求解即可，第(3)問先求函數(shù)v=t+1在0, x上的定積分，再求使得這個定積分等于112時的x值，x的值即為質(zhì)點的運動時間.解：(1)該質(zhì)點在前10 s所走的路程 S=(t+1)dt=-t2+t=60(m).(2)該質(zhì)點在第5 s到第10 s所經(jīng)過的路程 S2=(t+1)d t=-t2+t=42.5(m). 設(shè)質(zhì)點到達另一點所需要的時間為X,顯然x0,則根據(jù)題意有 (t+1)d t=112,即 TOC o 1-5 h z 一=112,即一x2+x=112,即x2+2x=224，得x=14,則該質(zhì)點到達另一點所需要的時間是14s,整個運

12、動過程中的平均速度是一二8(m/s).變式題 解：由題意得，變力F(x)在這一過程中所做的功為F(x)在8,18上的定積分，即F(x)dx=-36x-1=(-36X 18-1)-(-36X8-1)=(-2)- - - =.從而可得變力F( x)在這一過程中所做的功為- J.【備選理由】例1考查定積分的計算，特別是需要結(jié)合函數(shù)的奇偶性與定積分的幾何意義進 行分析，有一定的綜合性；例2考查根據(jù)圖像求解函數(shù)解析式的能力以及分段計算定積分的 方法；例3在知識點的交匯處命題，將利用定積分求面積與幾何概型結(jié)合起來考查.例1 配合例1使用2019 深圳外國語學校月考給出下列函數(shù)：f(x)=xsin x;f

13、(x) =ex+x;f (x)=ln(-x).存在 a0,使得 - f(x)dx=0 的函數(shù)是()A B C D解析B對于，f (x) =xsin x是偶函數(shù)，當x C (0,兀)時，f (x) 0,當x C (兀，2兀)時，f(x)0,作出f(x)=xsin x在0,2兀上的圖像，如圖所示，設(shè)曲線y=xsin x(xC 0,兀) 與x軸圍成的圖形的面積為S1,曲線y=xsin x(x C 兀，2兀)與x軸圍成的圖形的面積為S2,由圖可知S0( a0),即不存在滿足題意的a;對于,f(x)=ln(-x)是奇函數(shù)，所以對于任意a0, _ f(x)dx=0都成立.綜上可知，中的函數(shù)?t足題意.故選B例2 配合例1使用已知函數(shù)y=f(x)的圖像為如圖所示的折線 ABC則(x+1)f (x)d x=()-A 2 B.- 2C 1 D.- 1- 解析D由圖易知f(x) =-所以- ( x+1)f (x)d x= - (x+1)( -x- 1)d x+ (x+1)( x- 1)d x= - (-x2- 2x- 1)dx+(x2-1)d x=- + - -=-1,故選 D例3 配合例2使用在直線x=0,x=1