線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法

1、線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法本章主要內(nèi)容與重點 典型響應(yīng)的性能指標一階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)判據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的分析和計算線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法本章主要內(nèi)容 本章介紹了控制系統(tǒng)時域性能分析法的相關(guān)概念和原理。包括各種典型輸入信號的特征、控制系統(tǒng)常用性能指標、一階、二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)、脈沖響應(yīng)函數(shù)及其應(yīng)用、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性及穩(wěn)定判據(jù)、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差等。本章重點 通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)重點掌握典型輸入信號的定義與特征、控制系統(tǒng)暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標的定義及計算方法、一階及二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的分析方法、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概

2、念及穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用、控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差概念和誤差系數(shù)的求取等內(nèi)容。線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法.1 典型響應(yīng)和性能指標一.典型初狀態(tài)線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法二典型外作用 1 單位階躍1（t）圖3.1 典型外作用1 t=0 0 t=00 t1稱過阻尼，由上知，s1 ，s2為兩個不等的負實根。=1 稱臨界阻尼，s1 ，s2為一對相等的負實根-n01稱為欠阻尼，特征根將為一對實數(shù)部為負的共軛復(fù)數(shù)。=0稱0阻尼，s1 ，s2由上可看出為一對虛實部的特征根a3a0,則系統(tǒng)穩(wěn)定。線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法3 勞思判據(jù)應(yīng)用（1）勞思表不但可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且可以選擇使

3、系統(tǒng)穩(wěn)定的調(diào)節(jié)器參數(shù)的數(shù)值(分析參數(shù)對穩(wěn)定性的影響)。（2）利用勞思表能判斷特征根的位置分布情況。線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法例1 試分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響,系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 式中，Kk為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。解：系統(tǒng)特征方程為 線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法列勞斯表，整理得假設(shè)T1=T2 =T3 ，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界放大系數(shù)Kk為=8。如果取T2=T3 ，T1= 10T2 ， 則使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界放大系數(shù)變?yōu)镵k。由此可見，將各時間常數(shù)的數(shù)值錯開，可以允許較大的開環(huán)放大系數(shù)。 線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法例2:結(jié)構(gòu)圖如圖所示,試分析取何值能保證系統(tǒng)穩(wěn)定.解

4、:求系統(tǒng)特征方程線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法建立勞思表: 線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法根據(jù)勞思判據(jù),要保證系統(tǒng)穩(wěn)定,勞思表第一列的系數(shù)應(yīng)大于0.例3:系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示,求能保證系統(tǒng)穩(wěn)定的局部反饋系數(shù)kf的數(shù)值。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法方法 1: 線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法特征方程: 即: 根據(jù)勞思判據(jù) kf0 線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法另一種方法: 線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法系統(tǒng)特征方程: 根據(jù)勞思判據(jù) kf 0線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法例4 確定系統(tǒng)穩(wěn)定的K、T

5、值。解: 系統(tǒng)的特征方程為列出勞斯表要使系統(tǒng)穩(wěn)定，第一列元素的符號均應(yīng)大于零。由此得則穩(wěn)定條件為： , 0 K 線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 例5：設(shè)系統(tǒng)特征方程為 ，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并分析有幾個根位于垂線 與虛軸之間。 解：列出勞斯表。勞斯表第一列無符號變化，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。令 代入原特征方程，得到如下特征方程：勞斯表中第一列元素符號變化一次，所以有一個特征方程根在 垂線右邊。 線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 例6:已知系統(tǒng)的特征為: 試判斷使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍,如果要求特征值均位于s=-1垂線之左。問k值應(yīng)如何調(diào)整?線性系統(tǒng)的時域

6、分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法解:特征方程化為: 列勞思表:線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍是 若要求全部特征根在s=-1之左,則虛軸向左平移一個單位，令s=s1-1代入原特征方程,得: 整理得:線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法列勞思表:第一列元素均大于0,則得:線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法4.兩種特殊情況 情況1:勞思表中某一行的第一個元素為0,其它各元素不全為0,這時可以用任意小的正數(shù)代替某一行第一個為0的元素。然后繼續(xù)勞思表計算并判斷。 例:線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 當(dāng)很小時, 則系統(tǒng)不穩(wěn)定，并有兩個正實部根。 情況2:勞思表中第k

7、行元素全為0,這說明系統(tǒng)的特征根或存在兩個符號相異,絕對值相同的實根,或存在一對共軛純虛根,或存在實部符號相異,虛部數(shù)值相同的共軛復(fù)根，或上述類型的根兼而有之。線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 此時系統(tǒng)必然是不穩(wěn)定的。在這種情況下,可作如下處理。 (1).用k-1行元素構(gòu)成輔助方程. (2).將輔助方程為s求導(dǎo),其系數(shù)作為全零行的元素,繼續(xù)完成勞思表。 例:系統(tǒng)的特征方程為：線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法列勞思表:列輔助方程線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法第一列符號改變一次,有一個正實部根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法解輔助方程得：解得符號相異，絕對值

8、相同的兩個實根和一對純虛根 可見其中有一個正實根。線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法3-5 穩(wěn)態(tài)誤差的分析和計算 穩(wěn)態(tài)性能是控制系統(tǒng)的又一重要特性,它表征了系統(tǒng)跟蹤輸入信號的準確度或抑制擾動信號的能力。而穩(wěn)態(tài)誤差的大小,是衡量系統(tǒng)性能的重要指標。一.誤差和穩(wěn)態(tài)誤差 1.定義: e(t)為系統(tǒng)誤差,Cr(t)為希望輸出,c(t)為實際輸出。線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法穩(wěn)態(tài)誤差: 系統(tǒng)的靜態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān),還與輸入信號的大小及形式有關(guān)。而系統(tǒng)的穩(wěn)定性的只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法2.穩(wěn)態(tài)誤差的計算(1).拉氏變換的終值定理 當(dāng)輸入信號為 時,可用終

9、值定理計算靜態(tài)誤差,諧波(正弦,余弦)輸入時不能應(yīng)用此定理。(2).根據(jù)誤差定義求穩(wěn)態(tài)誤差的方法 a.求誤差響應(yīng)傳遞函數(shù)線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法b.誤差響應(yīng)的象函數(shù)c.誤差響應(yīng)的原函數(shù)d.求極值 即為穩(wěn)態(tài)誤差。 如系統(tǒng)同時存在輸入信號和擾動信號,則系統(tǒng)誤差的求法如下：R(s)N(s)E(s)+線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 為系統(tǒng)對輸入信號的誤差傳遞函數(shù), 為系統(tǒng)對擾動信號的誤差傳遞函數(shù)。 則: 例:已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下,試求系統(tǒng)在輸入信號r(t)=t和擾動信號n(t)=-1(t)同時作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法解:理想情況偏差信號E(

10、S)0， 則系統(tǒng)在輸入信號作用下的希望輸出為：2n(t)=-1(t)r(t)=tE(s)-C(s)線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 對于擾動信號N(s)而言,理想的情況就是擾動信號引起的輸出為0,即希望系統(tǒng)的輸出一點都不受擾動的影響。 系統(tǒng)在輸入信號和擾動信號作用下的實際輸出為:G1(s)N(s)R(s)E(s)-C(s)H(s)G2(s)線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法則R(s)和N(s)引起的系統(tǒng)誤差為:線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 在本題中,首先要判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,如果系統(tǒng)不穩(wěn)定,不可能存在穩(wěn)態(tài)誤差。特征方程為:線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法即:所以系統(tǒng)穩(wěn)定

11、。根據(jù)推導(dǎo)出的公式:線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 系統(tǒng)的誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān),還與外作用(輸入信號,擾動)的大小及形式有關(guān)。線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法二.輸入信號作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的分析 只有輸入信號作用時,系統(tǒng)的誤差為: 假設(shè)系統(tǒng)為單位反饋,則 開環(huán)傳遞函數(shù)線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 當(dāng)=0,1,2分別稱為0型系統(tǒng),型系統(tǒng),型系統(tǒng)(一般不大于2) 則 線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法將kp,kv,ka定義為穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。階躍輸入下用kp 表示 為位置誤差系數(shù)。速度輸入下用kv表示 為速度誤差系數(shù)。加速度輸入下用ka表示 為加速度誤差系數(shù)。 線性系統(tǒng)的時

12、域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差型別 0型型型前提:單位反饋H(s)=1線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 提高系統(tǒng)的型別,增大系統(tǒng)的開環(huán)增益,都會提高系統(tǒng)的精度,但這樣又會降低穩(wěn)定性,必須綜合考慮。 例:某控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為 試分別求出H(s)=1和時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。-線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法解:當(dāng)H(s)=1時,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)時,線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 若上列在H(s)=1時,系統(tǒng)的允許誤差為0.2,問開環(huán)增益k應(yīng)等于多少? 當(dāng) 時,上例的穩(wěn)態(tài)誤差又是多少? 因為0型系統(tǒng)在速度輸入和加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大,根

13、據(jù)疊加原理,ess=線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法三.擾動作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的分析 理想情況下,系統(tǒng)對于任意形式的擾動作用,其穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)當(dāng)為0,但實際上這是不可能的。 如果輸入信號R(s)=0,僅有擾動N(s)作用時,系統(tǒng)誤差為:線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,實質(zhì)上就是擾動引起的穩(wěn)態(tài)輸出的負值,它與開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及擾動信號N(s)有關(guān),還與擾動作用點的位置有關(guān)。r(t)=0-C(t)(a)線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法r(t)=0-C(t)(b)線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 作用點不同,穩(wěn)態(tài)誤差也不

14、同。 在擾動作用點之前的前向通路中增加一個積分環(huán)節(jié)用 （比例積分調(diào)節(jié)器）代替r(t)=0-C(t)(b)線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 提高擾動作用點前的積分環(huán)節(jié)個數(shù)和增益,可以減小或消除擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差,但同樣會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 綜上所述,為了減小輸入信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可以提高開環(huán)傳遞函數(shù)的積分環(huán)節(jié)個數(shù)和增益。線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 為了減小擾動作用引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可以提高擾動作用點之前傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)和增益。而這樣都會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而提高開環(huán)增益還會使系統(tǒng)動態(tài)性能變差，有些控制系統(tǒng)既要求有較高的穩(wěn)態(tài)精度，又要求有良好的動態(tài)性能，利用上述方法難以兼顧

15、。為此我們用下列方法減小和消除穩(wěn)態(tài)誤差。線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法四.減小和消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法 1.按干擾補償. 如果加于系統(tǒng)的干擾是能測量的,同時干擾 對系統(tǒng)的影響是明確的,則可按干擾補償?shù)?辦法辦法提高穩(wěn)態(tài)精度。G2(s)Gn(s)G1(s)C(s)R(s)E(s)N(s)-+線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法在擾動作用下的輸出為:完全消除擾動對系統(tǒng)輸出的影響。增加補償裝置，使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出不受擾動的影響，也就是系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法例:系統(tǒng)輸出:-R(s)=0N(s)C(s)補償裝置放大器濾波器線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法 若選 則系統(tǒng)的輸出不受擾動的影 響,但不容易物理實現(xiàn)。因為一般物理系統(tǒng)的傳遞函數(shù)都是分母的階次高于或等于分子的階次。 如果選 則在穩(wěn)態(tài)情況下,這就是穩(wěn)態(tài)全補償, 實現(xiàn)很方便。線性系統(tǒng)的時域分析法和穩(wěn)態(tài)誤差計算方法2.按給定輸