2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值講解課件

1、2.3.1 離散型隨機(jī)變量的均值第1頁(yè)，共36頁(yè)。1.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)其中0p1, p+q=1, k=0,1,2,.,nP(Xk)pkqnkCkn則稱(chēng)X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作XB(n，p)一般地，由n次試驗(yàn)構(gòu)成，且每次試驗(yàn)互相獨(dú)立完成，每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有兩種對(duì)立的狀態(tài)，即A與，每次試驗(yàn)中P(A)p0。稱(chēng)這樣的試驗(yàn)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，也稱(chēng)伯努利試驗(yàn)。n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征為： 1）每次試驗(yàn)是在同樣的條件下進(jìn)行的； 2）各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的； 3）每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果:發(fā)生與不發(fā)生； 4）每次試驗(yàn),某事件發(fā)生的概率是相同的.2.二項(xiàng)分布復(fù)習(xí)回顧第2頁(yè)，共36頁(yè)。 一般地,設(shè)離散

2、型隨機(jī)變量可能取的值為x1，x2，xi，取每一個(gè)值xi(i1，2，)的概率P(xi)pi，則稱(chēng)下表為隨機(jī)變量的概率分布.由概率的性質(zhì)可知,任一離散型隨機(jī)變量的分布都具有下述兩個(gè)性質(zhì)：3.離散型隨機(jī)變量的概率分布x1x2xiPp1p2pi（1）pi0，i1，2，n（2）p1p2pi+pn1第3頁(yè)，共36頁(yè)。復(fù)習(xí)引入 對(duì)于離散型隨機(jī)變量,可以由它的概率分布確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率.但在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征.例如:要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的總體水平,很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)是否“兩極分化”則需要考察這個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差。 我們還常常希望

3、直接通過(guò)數(shù)字來(lái)反映隨機(jī)變量的某個(gè)方面的特征,最常用的有期望與方差。第4頁(yè)，共36頁(yè)。按3：2：1的比例混合，混合糖果中每一粒糖果的質(zhì)量都相等.如何對(duì)混合糖果定價(jià)才合理定價(jià)為混合糖果的平均價(jià)格才合理問(wèn)題情景18元/kg24元/kg36元/kg第5頁(yè)，共36頁(yè)。m千克混合糖果的總價(jià)格為18元/kg24元/kg36元/kg情景探究按3：2：1混合以下糖果 平均價(jià)格為362418PX權(quán)數(shù)加權(quán)平均第6頁(yè)，共36頁(yè)。一.離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望 一般地,若離散型隨機(jī)變量 X 的概率分布為X1.定義2.性質(zhì) 已知隨機(jī)變量X,其均值為E(X).若YaXb,其中a,b為常數(shù),則Y也是隨機(jī)變量.并且隨機(jī)變量

4、Y的均值為：E(Y)=E(aXb)aE(X)b 第7頁(yè)，共36頁(yè)。pnxnpkxkp2x2p1x1PXpnaxn+bpkaxk+bp2ax2+bp1ax1+bPY隨機(jī)變量X的分布列為：隨機(jī)變量Y=aX+b的分布列為：隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望是：第8頁(yè)，共36頁(yè)。例1.在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分。如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7,那么他罰球1次的得分X的均值是多少？X10P0.70.3解:據(jù)題意,X的分布列為故他罰球1次的得分X的均值是0.7一般地,如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么E(X)=？X01P1 pp第9頁(yè)，共36頁(yè)。若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p.二.兩點(diǎn)分布的均值如

5、果XB(n，p)，那么E(X)=？三.二項(xiàng)分布的均值若XB(n，p),則E(X)=np.注:(1).隨機(jī)變量的均值是常數(shù),而樣本的平均值是隨著樣本的不同而變化的.因此,樣本的平均值是隨機(jī)變量;第10頁(yè)，共36頁(yè)。2.隨機(jī)變量的分布列是47910P0.3ab0.2E()=7.5,則a=_,b= _;0.40.13.一個(gè)袋子里裝有大小相同的3 個(gè)紅球和2個(gè)黃球,從中有放回地取5次,則取到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 .3練習(xí):1.隨機(jī)變量的分布列是135P0.50.30.2(1).則E()=_; 2.4(2).若=2+1,則E()=_; 5.8第11頁(yè)，共36頁(yè)。例2.一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成,

6、每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案,每題選擇正確答案得5分,不作出選擇或選錯(cuò)不得分,滿分100分,學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.9,學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)。求學(xué)生甲和乙在這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望。解:設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中選對(duì)的題數(shù)分別是E( )200.918，E( )200.255 由于答對(duì)每題得5分,所以學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5 和5 .這樣,他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望分別是E(5 )5E( )51890，E(5 )5E( )5525第12頁(yè)，共36頁(yè)。課堂小結(jié)1）離散型隨機(jī)變量取值的平均值數(shù)學(xué)期望2）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)3）

7、若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布X10Pp1p則4）若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,即XB（n,p）,則第13頁(yè)，共36頁(yè)。如果XB(n，p)，那么E(X)=？若XB(n，p)，則E(X)=np.第14頁(yè)，共36頁(yè)。則E(X) p若XH(N ，M ， n)則E(X)若XB(n，p)則E(X)np若XB(1，p)各種不同概率模型下的數(shù)學(xué)期望第15頁(yè)，共36頁(yè)。例1 甲、乙兩名射手射擊的環(huán)數(shù)為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y，且X ，Y的分布列為：?jiǎn)枺杭?、乙兩名射手誰(shuí)的射擊水平高? X123P0.30.10.6Y123P0.30.40.3所以，甲射手比乙射手的射擊水平高.解：例題講解第16頁(yè)，共36頁(yè)。設(shè)在一組數(shù)據(jù)

8、x1，x2 ， xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均值是：叫做這組數(shù)據(jù)的方差. 方差說(shuō)明了這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況.離散型隨機(jī)變量的方差定義第17頁(yè)，共36頁(yè)。對(duì)于離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表：(其中pi0，i1，2，n；p1p2pn1)Xx1x2xnPp1p2pn(xi E(X)2 描述了xi (i=1，2，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度，故(x1E(X)2 p1 (x2E(X)2 p2. (xnE(X)2pn稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的方差，記為D(X).其算術(shù)平方根為X的標(biāo)準(zhǔn)差： 記為隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與分散的程度.離散型隨機(jī)變量的方差定義第1

9、8頁(yè)，共36頁(yè)。定義深析隨機(jī)變量的方差和樣本的方差有何聯(lián)系和區(qū)別？012P0.40.20.4 012P0.10.80.1甲工人：乙工人：例1 甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件相等，所得次品數(shù)分別是 、 ，分布列如下：試求隨機(jī)變量 、 的期望和方差.第19頁(yè)，共36頁(yè)。解：從上可知， . 所以，在射擊之前，可以預(yù)測(cè)甲、乙兩名射手所得環(huán)數(shù)的平均值很接近，均在9環(huán)左右，但射手甲所得的環(huán)數(shù)比較集中，得9環(huán)較多，而射手乙所得環(huán)數(shù)比較分散，得8環(huán)和10環(huán)的次數(shù)要多些.例題講解例2 甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下表： 射手甲 射手乙用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊

10、水平.0.4100.290.48概率p擊中環(huán)數(shù)20.2100.690.28概率p擊中環(huán)數(shù)1第20頁(yè)，共36頁(yè)。重要結(jié)論：公式推廣第21頁(yè)，共36頁(yè)。例2 一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確. 每題選對(duì)得5分，不選或選錯(cuò)不得分，滿分100分. 學(xué)生甲選對(duì)任意一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從各選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè). 分別求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值.例題講解可設(shè)甲、乙兩學(xué)生做對(duì)題的個(gè)數(shù)分別為X1 、 X2.第22頁(yè)，共36頁(yè)。例2 一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確. 每題選對(duì)得5分，不選或選

11、錯(cuò)不得分，滿分100分. 學(xué)生甲選對(duì)任意一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從各選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè). 分別求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值.解：設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中選擇了正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是X1 和 X2，則X1B(20，0.9)， X2 B(20，0.25)，所以E (X1)200.918， E(X2 ) 200.255由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5 X1和5 X2所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望分別是E(5 X1)5E(X1)51890， E(5 X2)5E(X2)5525答: 甲、乙同學(xué)得分的期望分別是90分和25分.第

12、23頁(yè)，共36頁(yè)。求離散型隨機(jī)變量均值的步驟： 確定離散型隨機(jī)變量可能的取值； 寫(xiě)出分布列，并檢查分布列的正確與否； 求出均值.方法與步驟第24頁(yè)，共36頁(yè)。例題講解例3 一年中一輛車(chē)受損的概率為0.03. 現(xiàn)保險(xiǎn)公司擬開(kāi)設(shè)一年期租車(chē)保險(xiǎn)，假定一輛車(chē)一年的保費(fèi)為1000元，若在一年內(nèi)該車(chē)受損， 則保險(xiǎn)公司需賠償3000元. 一年內(nèi)，一輛車(chē)保險(xiǎn)公司平均收益多少？分析：設(shè)保險(xiǎn)公司平均收益為X. 則X的分布列為：X-20001000P0.030.97答：一輛車(chē)保險(xiǎn)公司平均收益910元.第25頁(yè)，共36頁(yè)。1. 現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎(jiǎng)金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元

13、的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張. 問(wèn)1張彩票可能中獎(jiǎng)的均值是多少元？2. 在只需回答“是”與“不是”的知識(shí)競(jìng)賽時(shí)，每個(gè)選手回答兩個(gè)不同問(wèn)題，都回答失敗，輸1分，否則贏0.3分. 用 X表示甲的得分，如果甲隨機(jī)猜測(cè)“是”與“不是”，計(jì)算X 的數(shù)學(xué)均值.小試身手第26頁(yè)，共36頁(yè)。方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)2000元，但圍墻只能防小洪水；試比較哪一種方案好？遇大洪水損失60000元遇小洪水損失10000元有小洪水的概率為0.25有大洪水的概率為0.01大型設(shè)備方案3：不采取措施.方案1：運(yùn)走設(shè)備運(yùn)費(fèi)為3800；能力展現(xiàn)第27頁(yè)，共36頁(yè)。2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方

14、差第28頁(yè)，共36頁(yè)。例1 甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件相等，所得次品數(shù)分別是 、 ，分布列如下： 012P0.40.20.4 012P0.10.80.1甲工人：乙工人：E( ) = E () =1那么甲、乙兩人的技術(shù)水平相同嗎？情景引例第29頁(yè)，共36頁(yè)。設(shè)在一組數(shù)據(jù)x1，x2 ， xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均值是：叫做這組數(shù)據(jù)的方差. 方差說(shuō)明了這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況.離散型隨機(jī)變量的方差定義第30頁(yè)，共36頁(yè)。對(duì)于離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表：(其中pi0，i1，2，n；p1p2pn1)Xx1x2xnPp1p2pn(xi E(X)2 描述了xi (i=

15、1，2，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度，故(x1E(X)2 p1 (x2E(X)2 p2. (xnE(X)2pn稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的方差，記為D(X).其算術(shù)平方根為X的標(biāo)準(zhǔn)差： 記為隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與分散的程度.離散型隨機(jī)變量的方差定義第31頁(yè)，共36頁(yè)。定義深析隨機(jī)變量的方差和樣本的方差有何聯(lián)系和區(qū)別？012P0.40.20.4 012P0.10.80.1甲工人：乙工人：例1 甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件相等，所得次品數(shù)分別是 、 ，分布列如下：試求隨機(jī)變量 、 的期望和方差.第32頁(yè)，共36頁(yè)。重要結(jié)論：公式推廣第33頁(yè)，共36頁(yè)。解：從上可知， . 所以，在射擊之前，可以預(yù)測(cè)甲、乙兩名射手所得環(huán)數(shù)的平均值很接近，均在9環(huán)左右，但射手甲所得的環(huán)數(shù)比較集中，得9環(huán)較多，而射手乙所得環(huán)數(shù)比較分散，得8環(huán)和10環(huán)的次數(shù)要多些.例題講解例2 甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下表： 射手甲 射手乙用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平.0.4100.290.48概率p擊中環(huán)數(shù)20.2100.690.28概率p擊中環(huán)數(shù)1第34頁(yè)，共36頁(yè)。例3 袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機(jī)取出