D42微積分基本定理課件

1、一 微分形式的微積分基本定理機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.2 微積分的基本定理二 積分形式的微積分基本定理第1頁，共21頁。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一 微分形式的微積分基本定理用定積分的法變（上）限的定積分法可以構(gòu)造函數(shù)。我們研究了的一個(gè)性質(zhì)：定理 4.1.12設(shè)在上可積,在上連續(xù)。我們將進(jìn)一研究性質(zhì)。第2頁，共21頁。在直線運(yùn)動(dòng)的速度為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 運(yùn)動(dòng)的路程為則任給則又有又即有這具有普遍性 .第3頁，共21頁。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理4.2.1設(shè)在上可積,在連續(xù)，則函數(shù)在可微，并有證明取使則有故第4頁，共21頁。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

2、下頁 返回 結(jié)束 在連續(xù)，由于故對(duì)于使當(dāng)時(shí)有故對(duì)取則當(dāng)時(shí)有第5頁，共21頁。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理4.2.2設(shè)則是的一個(gè)原函數(shù)，即有注（1）是滿足條件的唯一原函數(shù)。(2) 定理 表明連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（3）定理把定積分這個(gè)特殊極限與導(dǎo)數(shù)這個(gè)完全不同的極限聯(lián)系起來。第6頁，共21頁。思考用定理4.2.2證明積分中值定理則使積分中值定理證明令則由定理4.2.2知在可導(dǎo)，且由Lagrange中值知使又得第7頁，共21頁。例證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) . 證:只要證機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁，共21頁。例.試證使分析:要證即故作輔助函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

3、 結(jié)束 至少存在一點(diǎn)第9頁，共21頁。證明: 令在上連續(xù),在至少使即因在上連續(xù)且不為0 ,從而不變號(hào),因此故所證等式成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故由羅爾定理知 ,存在一點(diǎn)第10頁，共21頁。例.試證使分析機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 至少存在一點(diǎn)故若令則第11頁，共21頁。例.試證使證明機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 至少存在一點(diǎn)則顯然令、在連續(xù)且在可導(dǎo)，又故由Cauchy定理知至少存在一點(diǎn)使即第12頁，共21頁。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 4.2.3（Newton-Leibniz)二 積分形式的微積分基本定理設(shè)在是的任一個(gè)原函數(shù)，則證明法一：由定理4.

4、1.2立即可得。法二：注意到與均是在原函數(shù)，故注意到可得故第13頁，共21頁。（2）變限積分求導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注（1）對(duì)是積分中值定理對(duì)是微分中值定理微分和積分在這里聯(lián)系起來了。第14頁，共21頁。（2）變限積分求導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別的第15頁，共21頁。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)是的一個(gè)原函數(shù),則證明:故第16頁，共21頁。例解原式說明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求令則是連續(xù)函數(shù)，故故上述極限是型，故第17頁，共21頁。說明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例確定常數(shù) a , b , c 的值, 使解令則是連續(xù)函數(shù)，故其中介于0與b之間。故第18頁，共21頁。說明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例確定常數(shù) a , b , c 的值, 使原式 = c 0 , 故又由, 得第19頁，共21頁。設(shè)例求解故第20頁