溫度應(yīng)力問題基本解法

1、關(guān)于溫度應(yīng)力問題的基本解法第一張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 當(dāng)彈性體的溫度變化時(shí)，其體積將趨于膨脹和收縮，若外部的約束或內(nèi)部的變形協(xié)調(diào)要求而使膨脹或收縮不能自由發(fā)生時(shí)，結(jié)構(gòu)中就會(huì)出現(xiàn)附加的應(yīng)力。這種因溫度變化而引起的應(yīng)力稱為熱應(yīng)力，或溫度應(yīng)力。 忽略變溫對(duì)材料性能的影響，為了求得溫度應(yīng)力，需要進(jìn)行兩方面的計(jì)算：（1）由問題的初始條件、邊界條件，按熱傳導(dǎo)方程求解彈性體的溫度場，而前后兩個(gè)溫度場之差就是彈性體的變溫。（2）按熱彈性力學(xué)的基本方程求解彈性體的溫度應(yīng)力。本章將對(duì)這兩方面的計(jì)算進(jìn)行簡單的介紹。第六章 溫度應(yīng)力問題的基本解法溫度應(yīng)力問題的基本解法第二張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作

2、于2022年6月溫度應(yīng)力問題的基本解法第六章 溫度應(yīng)力問題的基本解法6-4 按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題6-3 溫度場的邊界條件6-2 熱傳導(dǎo)微分方程6-1 溫度場和熱傳導(dǎo)的基本概念6-5 位移勢函數(shù)的引用6-6 軸對(duì)稱溫度場平面熱應(yīng)力問題第三張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月6-1 溫度場和熱傳導(dǎo)的基本概念1.溫度場：在任一瞬時(shí)，彈性體內(nèi)所有各點(diǎn)的溫度值的總體。用T表示。 不穩(wěn)定溫度場或非定常溫度場：溫度場的溫度隨時(shí)間而變化。 即 T=T（x，y，z，t） 穩(wěn)定溫度場或定常溫度場：溫度場的溫度只是位置坐標(biāo)的函數(shù)。 即 T=T（x，y，z） 平面溫度場：溫度場的溫度只隨平面內(nèi)的兩個(gè)位置

3、坐標(biāo)而變。 即 T=T（x，y，t）2.等溫面：在任一瞬時(shí)，連接溫度場內(nèi)溫度相同各點(diǎn)的曲面。顯然，沿著等溫面，溫度不變；沿著等溫面的法線方向，溫度的變化率最大。T+2TT+TTT-Txoy溫度應(yīng)力問題的基本解法第四張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3.溫度梯度：沿等溫面的法線方向，指向溫度增大方向的矢量。用T表示，其大小用 表示。其中n為等溫面的法線方向。溫度梯度在各坐標(biāo)軸的分量為溫度應(yīng)力問題的基本解法取 為等溫面法線方向且指向增溫方向的單位矢量，則有T（1）第五張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月4.熱流速度：在單位時(shí)間內(nèi)通過等溫面面積S 的熱量。用 表示。 熱流密度：通過等溫

4、面單位面積的熱流速度。用 表示，則有 溫度應(yīng)力問題的基本解法其大小為(2)第六張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月溫度應(yīng)力問題的基本解法5.熱傳導(dǎo)基本定理：熱流密度與溫度梯度成正比而方向相反。即 (3)由（1）和（3）可見，熱流密度的大小可見，導(dǎo)熱系數(shù)表示“在單位溫度梯度下通過等溫面單位面積的熱流速度”。稱為導(dǎo)熱系數(shù)。由（1）、（2）、（3）式得T第七張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月熱流密度在坐標(biāo)軸上的投影可見：熱流密度在任一方向的分量，等于導(dǎo)熱系數(shù)乘以溫度在該方向的遞減率。溫度應(yīng)力問題的基本解法第八張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 熱量平衡原理：在任意一段時(shí)間內(nèi)，物

5、體的任一微小部分所積蓄的熱量，等于傳入該微小部分的熱量加上內(nèi)部熱源所供給的熱量。6-2 熱傳導(dǎo)微分方程xyz 取圖示微小六面體dxdydz。假定該六面體的溫度在dt時(shí)間內(nèi)由T 升高到 。由溫度所積蓄的熱量是 ，其中 是物體的密度，C 是單位質(zhì)量的物體升高一度時(shí)所需的熱量比熱容。溫度應(yīng)力問題的基本解法第九張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月溫度應(yīng)力問題的基本解法 在同一段時(shí)間dt內(nèi)，由六面體左面?zhèn)魅霟崃縬xdydzdt，由右面?zhèn)鞒鰺崃?。因此，傳入的凈熱量為將 代入可見：由左右兩面?zhèn)魅氲膬魺崃繛椋河缮舷聝擅鎮(zhèn)魅氲膬魺崃繛椋河汕昂髢擅鎮(zhèn)魅氲膬魺崃繛椋阂虼?，傳入六面體的總凈熱量為：簡記為：第十

6、張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 假定物體內(nèi)部有正熱源供熱，在單位時(shí)間、單位體積供熱為W，則該熱源在時(shí)間dt內(nèi)所供熱量為Wdxdydzdt。 根據(jù)熱量平衡原理得：溫度應(yīng)力問題的基本解法化簡后得：記則這就是熱傳導(dǎo)微分方程。第十一張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月6-3 溫度場的邊值條件 初始條件： 邊界條件分四種形式： 第一類邊界條件 已知物體表面上任意一點(diǎn)在所有瞬時(shí)的溫度，即 其中Ts 是物體表面溫度。 第二類邊界條件 已知物體表面上任意一點(diǎn)的法向熱流密度，即 其中角碼 s 表示“表面”，角碼n 表示法向。溫度應(yīng)力問題的基本解法 為了能夠求解熱傳導(dǎo)微分方程，從而求得溫度場，必

7、須已知物體在初瞬時(shí)的溫度，即所謂初始條件；同時(shí)還必須已知初瞬時(shí)以后物體表面與周圍介質(zhì)之間熱交換的規(guī)律，即所謂邊界條件。初始條件和邊界條件合稱為初值條件。第十二張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 第三類邊界條件 已知物體邊界上任意一點(diǎn)在所有瞬時(shí)的運(yùn)流（對(duì)流）放熱情況。按照熱量的運(yùn)流定理，在單位時(shí)間內(nèi)從物體表面?zhèn)飨蛑車橘|(zhì)的熱流密度，是和兩者的溫差成正比的，即 溫度應(yīng)力問題的基本解法其中Te是周圍介質(zhì)的溫度； 稱為運(yùn)流放熱系數(shù)，或簡稱熱系數(shù)。 第四類邊界條件 已知兩物體完全接觸，并以熱傳導(dǎo)方式進(jìn)行熱交換。即第十三張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月6-4 按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題

8、 設(shè)彈性體內(nèi)各點(diǎn)的溫變?yōu)門。對(duì)于各向同性體，若不受約束，則彈性體內(nèi)各點(diǎn)的微小長度，都將產(chǎn)生正應(yīng)變 （ 是彈性體的膨脹系數(shù)），這樣，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的形變分量為溫度應(yīng)力問題的基本解法 但是，由于彈性體所受的外在約束以及體內(nèi)各部分之間的相互約束，上述形變并不能自由發(fā)生，于是就產(chǎn)生了應(yīng)力，即所謂溫度應(yīng)力。這個(gè)溫度應(yīng)力又將由于物體的彈性而引起附加的形變，如虎克定理所示。因此，彈性體總的形變分量是：第十四張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)于平面應(yīng)力的變溫問題，上式簡化為溫度應(yīng)力問題的基本解法這就是平面應(yīng)力問題熱彈性力學(xué)的物理方程。第十五張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月溫度應(yīng)力問題的基本解

9、法將應(yīng)力分量用形變分量和變溫T表示的物理方程為：幾何方程仍然為：第十六張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月將幾何方程代入物理方程，得用位移分量和變溫T 表示的應(yīng)力分量將上式代入不計(jì)體力的平衡微分方程溫度應(yīng)力問題的基本解法第十七張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月簡化得：這就是按位移求解溫度應(yīng)力平面應(yīng)力問題的微分方程。 同理，將應(yīng)力分量代入無面力的應(yīng)力邊界條件溫度應(yīng)力問題的基本解法（1）第十八張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月溫度應(yīng)力問題的基本解法簡化后得：這是按位移求解溫度應(yīng)力平面應(yīng)力問題的應(yīng)力邊界條件。 位移邊界條件仍然為： 將式(1)、(2)與第二章2-8中式(1)、(

10、2)對(duì)比，可見（2）第十九張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月代替了體力分量 X 及 Y ，而：則得到在平面應(yīng)變條件下的相應(yīng)方程。代替了面力分量 及 。 對(duì)于溫度應(yīng)力的平面應(yīng)變問題，只須將溫度應(yīng)力的平面應(yīng)力問題的溫度應(yīng)力問題的基本解法第二十張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月6-5 位移勢函數(shù)的引用 由上一節(jié)知：在平面應(yīng)力的情況下按位移求解溫度應(yīng)力問題時(shí)，須使位移分量u 和v 滿足微分方程：并在邊界上滿足位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件。實(shí)際求解時(shí)，宜分兩步進(jìn)行：（1）求出上述微分的任意一組特解，它只需滿足微分方程，而不一定要滿足邊界條件。（2）不計(jì)變溫T，求出微分方程的一組補(bǔ)充解，使它

11、和特解疊加以后，能滿足邊界條件。溫度應(yīng)力問題的基本解法第二十一張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月溫度應(yīng)力問題的基本解法 引用一個(gè)函數(shù) ，將位移特解取為：函數(shù) 稱為位移勢函數(shù)。以 和 分別作為u和v代入微分方程，簡化后得：由于 和 都是常量，所以取：時(shí)， 滿足微分方程。因此 ， 可以作為微分方程的一組特解。將以及代入位移分量和變溫T表示的應(yīng)力分量表達(dá)式第二十二張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月溫度應(yīng)力問題的基本解法可得相應(yīng)位移特解的應(yīng)力分量是：第二十三張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè) ， 為位移的補(bǔ)充解，則 ， 需滿足齊次微分方程：相應(yīng)于位移補(bǔ)充解的應(yīng)力分量為（注意

12、不計(jì)變溫，即T=0）：溫度應(yīng)力問題的基本解法第二十四張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月總的應(yīng)力分量是：需滿足應(yīng)力邊界條件。在應(yīng)力邊界問題中（沒有位移邊界條件），可以把相應(yīng)于位移補(bǔ)充解的應(yīng)力分量直接用應(yīng)力函數(shù)來表示，即其中的應(yīng)力函數(shù) 可以按照應(yīng)力邊界條件的要求來選取。溫度應(yīng)力問題的基本解法 在平面應(yīng)變條件下，將上述各方程中的這樣總的位移分量是：需滿足位移邊界條件。第二十五張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月溫度應(yīng)力問題的基本解法例1 圖示矩形薄板中發(fā)生如下的變溫：其中的T0 是常量。若 ，試求其溫度應(yīng)力。xyoaabb解：位移勢函數(shù) 所應(yīng)滿足的微分方程為比較兩邊系數(shù)，得代入上式，得

13、取第二十六張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月將A，B回代，得位移勢函數(shù)于是相應(yīng)于位移特解的應(yīng)力分量為 為求補(bǔ)充解，取 可得所需要的相應(yīng)于位移補(bǔ)充解的應(yīng)力分量：溫度應(yīng)力問題的基本解法因此，總的應(yīng)力分量為邊界條件要求第二十七張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月顯然，后三個(gè)條件是滿足的；而第一個(gè)條件不能滿足，但由于 ，可應(yīng)用圣維南原理，把第一個(gè)條件變換為靜力等效條件，即，在 的邊界上， 的主矢量及主矩等于零：將溫度應(yīng)力問題的基本解法代入上式，求得于是矩形板的溫度應(yīng)力為：第二十八張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月6-6 軸對(duì)稱溫度場平面熱應(yīng)力問題 對(duì)于圓形、圓環(huán)及圓筒等這類軸對(duì)稱

14、結(jié)構(gòu)彈性體，若其變溫也是軸對(duì)稱的T=T（r），則可簡化為軸對(duì)稱溫度場平面熱應(yīng)力問題。軸對(duì)稱溫度場平面熱應(yīng)力問題，宜采用極坐標(biāo)求解。 不考慮體積力平面應(yīng)力問題平衡方程 在軸對(duì)稱問題中得到簡化，其第二式自然滿足；而第一式成為溫度應(yīng)力問題的基本解法第二十九張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月溫度應(yīng)力問題的基本解法 幾何方程簡化為 物理方程簡化為 將應(yīng)力用應(yīng)變表示第三十張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 將幾何方程代入上式，然后將其代入平衡方程，得按位移求解軸對(duì)稱熱應(yīng)力的基本方程：或?qū)懗桑?積分兩次可得到軸對(duì)稱問題位移分量：式中A，B為任意常數(shù)，積分下限取為a。由上式可得應(yīng)力分量：溫度應(yīng)

15、力問題的基本解法第三十一張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月其中常數(shù)A，B由邊界條件確定。 在平面應(yīng)變的情況下，只需在以上各式中將例2 設(shè)有一厚壁圓筒，內(nèi)半徑為a，外半徑為b。從一均勻溫度加熱，內(nèi)表面增溫Ta ，外表面增溫Tb，如圖所示。試求筒內(nèi)無熱源，熱流穩(wěn)定后的熱應(yīng)力。abTaTb 得無熱源，熱流穩(wěn)定后的熱傳導(dǎo)微分方程為解：首先求溫度場。由熱傳導(dǎo)微分方程溫度應(yīng)力問題的基本解法第三十二張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)于軸對(duì)稱溫度場有 積分兩次得：或 由邊界條件：求出A，B后回代，得溫度場：溫度應(yīng)力問題的基本解法第三十三張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月積分后得溫度應(yīng)

16、力問題的基本解法將T代入平面應(yīng)變問題應(yīng)力表達(dá)式第三十四張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)6.1 圖示矩形薄板中發(fā)生變溫試求溫度應(yīng)力（假定a遠(yuǎn)大于b）xyoaabb解：取可解得所以溫度應(yīng)力問題的基本解法第三十五張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月由此得取則溫度應(yīng)力問題的基本解法第三十六張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月所以邊界條件顯然滿足由即溫度應(yīng)力問題的基本解法第三十七張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月得而邊界條件恒成立。故溫度應(yīng)力問題的基本解法第三十八張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)6.2 已知半徑為b的均質(zhì)圓盤，置于等溫剛性套箍內(nèi)，圓盤和套箍由相同的材料制成，設(shè)圓盤按如下規(guī)律加熱套箍溫度則保持為