習題圓中的全等與相似

1、圓中的全等和相似一、二、圓中的全等圓中的相似一、圓中的全等1.【易】（西城二模）如圖，等腰ABC 中， AC BC ，O 為ABC 的外接圓， D為 BC 上一點， CE AD 于 E 求證： AE BD DE CDOEAB【證明】如圖，在 AE 上截取 AF BD ，連結CF、CD CDOFEAB在CF、CD ACF 和BCD 中， AC BCCAF CBD AF BD ACF BCD CF CD CE AD 于 E ， EF DE AE AF EF BD DE 2.【易】已知點 A 、 B 、C 、 D 順次在O 上， AB BD ， BM AC 于點 M ，求證：AM DC CM 【】證

2、法一：如圖a ，作 BN DC 交 D 延長線于 N ，1/41BNCOMDAa先證Rt ABM Rt DBN ，得 AM DN ， BM BN 再由Rt BMC Rt BNC ，得CM CN ，故 AM MC CD證法二：如圖b ，延長 AC 至 N ，使 MN MA ，BNCOMADb而 BM AC ，則 BN BA BD ，得BDN BND ，且BAM BNM ，而BAC BDC ，故CDN CND ，則CD CN ，最后可證得： AM MC CD 證法三：如圖c ，利用對稱性把條件轉移，仍用”接”的辦法證明在 AB 上取一點C ，使 AC CD 則 AC CD 過 B 作 BN AC

3、交 AC 延長線于 N ，BNCCOMADc先證明Rt ABM Rt ABN ，則 AM AN ，且 BM BN 再證明Rt BMC Rt BNC ，則C N CM ，故有 AM MC CD證法四：上截取 AE DC ，如圖d ，在 AM2/41BCOMEDAd則易證BAE BDC ，得 BC BE ，故BEC BCE ，又 BM AC 于 M ，得CM EM ，即 AM MC CD【易】如圖，過O 的直徑 AB 上兩點 M ，N ，分別作弦CD ，EF ，若CDEF ，AC BF 求證： BEC ADF ； AM BN EC3.NABMOFD】 AC BF ， AC BF ， AB 是直徑，

4、 AEB ADB ， AEB AC ADB BF ，即 BEC ADF 可知CAM FBN ， CD EF ， CMA DMB FNB ，又 AC BF ， ACM BFN ， AM BN 【4.【易】如圖，已知 AB 是半圓O 的直徑， C 為半圓周上一點， M 是 AC 的中點，MN AB 于 N ，則 MN 與 AC 的關系是CCMMDB ABANNOO】連結OM ，交 AC 于 D【 M 是 AC 的中點， OM AC ，即ADO 90 ， AD 1 AC ，2 OA OM ，AOD MON ， AOD MON ， AD MN ， MN 1 AC 2【中】如圖， ABC 是O 的內接三

5、角形， AC BC ， D 為O 中 AB 上一點，延長5.DA 至點 E ，使CE、CD 是關于 x 的方程 1 x2 2m 3 x 4m2 12m 9 0 的兩根4求證： AE BD ；若 AC BC ，求證： AD BD 2CD 3/41CEOBAD【】 AC BC ， AC BC ， BAC ABC ADC CDB ， CE、CD 是關于 x 的方程 1 x2 2m 3 x 4m2 12m 9 0 的兩根，4又此方程 2m 32 4 1 4m2 12m 9 0 ，4 CE CD ， E CDE ，等腰CDE 和等腰ABC 的底角相等，則它們的頂角DCE ACB ， ECA DCB ，

6、ACE BCD ， AE BD AC BC ， ACB 90 ，由可知ECD 90 ，又由 AE BD 可知： DE AD BD ，在CDE 中， DCE 90 ，CE CD ， DE 2CD ，即 AD BD 2CD 【中】在ABC 中， AC BC ， M 是它的外接圓上包含點C 的弧 AB 的中點， AC 上的點 X 使得 MX AC ，求證： AX XC CB 6.【】解法一：如圖，在 XA 上取一點 D ，使得 XD XC ，連接MA、MB、MC、MD ，ADXOMCB由 XC XD ， XM CD MD MC ，又 M 是圓上包含點C 的弧 AB 的中點， MA MB ，又 MBC

7、 MAD ， MAD MBC ， AD BC ， AX AD DX ， AX XC BC 解法二：如圖，過 M 點作 ME BC 交 BC 延長線于 E ，連結 MA、MB、MC ，4/41AOXMECB M 是圓上包含點C 的弧 AB 的中點， MA MB ， MX AC ，ME BC ， AXM BEM 90 ，又 MAX MBE ， AMX BME ， MX ME ，AX BE MCE MAB MBA MCA ， MCX MCE ， CX CE ， AX BE BC CE BC CX （類似此方法還可以”延長 BC 到 E ，使CE CX ，連結 ME “）解法三：如圖，延長 AC 到

8、F ，使 FX AX ，連結 MA、MB、MC、MF ，AOXMCBF M 是圓上包含點C 的弧 AB 的中點， MA MB ， MAB MBA ， MX AC ，AX FX ， MA MF ， MB MF ， MAF MFA ， MAC MBC ， MBC MFC ， MCA MFC CMF ， MCA MBA MAB ， MAB MFC CMF ， BAC BMC ，CBM CAM ， MAB BAC CAM BMC CBM ， MFC CMF BMC CBM ， BMC CMF ， MBC MFC ， CF BC ， AX FX XC CF XC BC 7.【中】如圖，四邊形 ABCD

9、為正方形， O 過正方形的頂點 A 和對角線的交點 P ，分別交 AB ，AD 于點 F ，E （1）求證： DE AFAE2 1 ，求的值3 ， AB （2）若 O 的半徑為ED25/41AEDFBC】（1）如圖，連接 PE，PF ，EF 【AEDFCB因為EAF 90 ，所以 EF 為 O 的直徑于是， FPE 90 又APD 90 ，所以， EPD APF 顯然， PD PA ，PAF PDE 45 因此， PDE PAF 故 DE AF （2）因為 DE AF ，所以 AE AF AD 2 1又 AE2 AF 2 EF2 ，即 AE AF 2 2AE AF 3故 AE AF 2 于是

10、AE ，AF 是一元二次方程x2 2 1x 2 0 的兩個根解得 AE 2 ， AF 1或 AE 1，AE2 所以 2 或2 2AF ED【中】如圖， O 外接于正方形 ABCD ， P 為 AD 上一點，且 AP 1 ， PB 2PC 的長8.2 ，求DCPBA延長 PC 到 P，使CP AP ，連接 BPP【】CDPAB圓內接四邊形 PABC 對角互補，則PAB PCB 180又PCB PCB 180則PAB PCB容易證明CBP ABP， PC PA 1 ， PB PB 2 PP 2PB 4 PC 32 ， PBP 906/41OPOP【中】如圖，四邊形 ABCD 內接于圓， AB AD

11、 ，且其對角線交于點 E ，點 F9.段AC 上，使得BFC BAD 若BAD 2DFC ，求 BE 的值DEAFEBDC】由 AB AD ，知ABD ADB 由等弧對等圓周角知ACD ACB 令DFC 則BAD BFC 2 故ABD ADB BAD 2 180 于是， 90 ， CDF 90 另一方面，由FBC 180 2 FCB FB FC ，設邊 BC 的中點為 M ，聯(lián)結 FM A【FCD FCM ，F(xiàn)EBDMCBEBC由角平分線定理得 2 DECD10.【中】圓內接四邊形兩條對角線互相垂直，則一邊的弦心距等于它的對邊的一半DCAOFB【】證法一：如圖，設四邊形 ABCD 內接于圓O

12、，且 AC BD ， OF 為 AB 之弦心距作CD 的弦心距OE ，連接OB 、OC 7/41DECAOFB顯然OCE 90 EOC 90 1 DC 的度數(shù)2 AC BD ， AB DC 180 ， OCE 1 AB 2又BOF 1 AB ，2 OCE BOF OC BO ， RtOCE RtBOF CE OF ，即OF 1 DC 2證法二：如圖，作直徑 AE ，連接 BE 、CE DACEOFB O 、 F 為中點， BE 2OF CE AC ， BD AC ， CE BD ， BE DC ， BE DC 即 2OF DC ， OF 1 DC 2證法三：如圖，設 AC 、 BD 交于 P

13、， E 為 DC 之中點連接 EP 延長垂直AB 于G 連接 FP 延長必垂直 DC 于 H 連接OE DHEPCAGOFB OE DC ， FH DC ， FH OE ，同理 EGOF PFOE 為平行四邊形， OF EP 8/41而 EP 1 DC （ EP 是RtCDP 斜邊上的中線），2 OF 1 DC 2【中】當 AB ，CD 是OE PA DO 的直徑，弦CF AP ， BF ，PD 相交于點 E ，求證：11.OABECPF】連接 PB ，OP ，【DOABECPF PACF ， AC PF ， AOC BOD ， BD AC ， PF BD ， PBE BPE ， BE PE

14、又 OB OP ，OE OE ， BOE POE BOE POE 1 BOP ， A 1 BOP ，2 BOE A ， OE PA 2【中】（1）如圖 1，圓內接ABC 中， AB BC CA ， OD 、OE 為O 的半徑，OD BC 于點 F ， OE AC 于點G ，12.求證：陰影部分四邊形OFCG 的面積是ABC 的面積的 1 3（2）如圖 2，若DOE 保持120角度不變，求證：當DOE 繞著O 點旋轉時，由兩條半徑和ABC 的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是ABC 的面積的 3 1AAEEGOGOBCFBCFDD【】（1）如圖 1，連結OA，OC ，9/41AEGOBC

15、FD因為點O 是等邊三角形 ABC 的外心，所以RtOFC RtOGC RtOGA SOFCG 2SOFC SOAC ， 1 S 1 S因為 S，所以 SOAC ABCOFCG ABC33（2）解法一：連結OA，OB 和OC ，則AOC COBBOA ， 1 2不妨設OD 交 BC 于點 F ， OE 交 AC 于點G ，AE23OG45 1FBCDAOC 3 4 120，DOE 5 4 120， 3 5 在OAG 和OCF 中，1 2，OA OC，3 5， OAG OCF ， SOAG SOCF 1 S SSOFCC ABC3解法二：不妨設OD 交 BC 于點 F ， OE 交 AC 于點G

16、 ，作OH BC，OK AC ，垂足分別為 H、KAEGK32O1HBCFD在四邊形 HOKC 中， OHC OKC 90，C 60 ， HOK 360 90 90 60 12010/41即1 2 120又 GOF 2 3 120， 1 3 AC BC ， OH OK ， OGK OFH ， S 1 S SOFCGOHCKABC313. 【中】（順義 2011）已知：如圖， ABC 內接于 O ， AB 為 O 的直徑，2 ，點 D 是 AC 上一個動點，連結 AD 、CD 和 BD ， BD 與 AC 相交于點AC BC=5E ，過點C 作 PC CD 于C ， PC 與 BD 相交于點 P

17、 ，連結OP 和 AP （1）求證： AD BP ；（2）如圖 1，若 tan ACD 1 ，求證： DC AP ；2（3）如圖 2，設 AD x ，四邊形 APCD 的面積為 y ，求 y 與 x 之間的關系式CCDDEEPPBABAOO圖1圖2】（1） PC CD ， AB 為 O 的直徑 DCP ACB ADB 90 DCP ACD ACP ， ACB ACP BCP ACD BCP AC BC ABC 是等腰直角三角形 BAC 45 BDC BAC 45 DCP 是等腰直角三角形 DC PC ADC BPC AD BP（2）證明： ABD ACD【 tan ABD tan ACD 12

18、AD1BD2PB1BD2 P 是 BD 的中點B PD是等腰直角三角形 APD 45 APD BDC DC AP= 25 1 x2 （ 0 x 5（3） y SS SS SS2 ）ACPACDACPBCPABCABP211/4114.【中】（2011 年廣州中考）如圖 1，O 中， AB 是直徑， C 是O 上一點，ABC 45 ，等腰RtDCE 中DCE 是直角，點 D證明： B、C、E 三點共線；段 AC 上若 M 是線段 BE 的中點， N 是線段 AD 的中點，證明： MN 2OM ；將DCE 繞點C 逆時針旋轉 0 90 后，記為D1CE1 （圖 2），若 M1 是線段 BE1 的中

19、點， N1 是線段 AD1 的中點， M1N1 2OM1 是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由圖 1】 AB 是直徑 ACB 90又 DCE 90 BCE 180即 B、C、E 三點共線圖 2【，連接ON 、 AE ，連接 BD 并延長交 AE 于點 F AC BC ， CD CE ， DCB ECA 90 DCB ECA AE BD ， DBC DAE又 DAE AEC 90 DBC AEC 90 BFE 90 ，即 BF AE O 為 AB 的中點， N 為 AD 的中點 ON 為ABD 的中位線，所以ON BD ，且ON 1 BD2 ON AE同理OM AE ，且OM 1 AE2 O

20、M ON ， ON OM OMN 是等腰直角三角形 MN 2OM成立，連接ON1 ，連接 AE1 并延長交 BC 的延長線于點G ，連接 BD1 并延長交 AE1 于點 F 12/41 D1CE1 BCA 90 BCD1 ACE1 AC BC ， CD1 CE1 ， BCD1 ACE1 BCD1 ACE1 AE1 BD1 ， D1BC CAE1又 CAE1 G 90 D1BC G 90 BFG 90 ，即 BF AG O 為 AB 的中點， N1 為 AD1 的中點 1 BD ON 為ABD 的中位線，所以ON BD ，且ON1111112 ON1 AG 1 AE同理OM AG ，且OM111

21、2 OM1 ON1 ， OM1 ON1 OM1N1 是等腰直角三角形 M1N1 2OM1 ， MN 2OM15.【中】如圖，已知 AB 是O 的直徑， BC 是和O 相切于點 B 的切線，O 的弦 AD平行于OC ，若OA 2 ，且 AD OC 6 ，求CD 的長CDBAO【】連結OD、BD CDABO BC 是O 的切線， AB 是直徑， AB BC ，ADB 90 OA OD ， OAD ODA ， AD OC ， OAD BOC ，ODA COD ， BOC COD ， COB CODSAS ，13/41 ODC OBC 90 ， OD CD CD 與O 相切 CD BC又OAD BOC

22、 ，ODC OBC 90 ， ABD OCB AD AD 2，OC 4 AB ，即 AD OC OB AB 2 4 8OBOC在 Rt BOC 中， OBC 90 ， BC CD 的長為2 3 OC2 OB2 2 316.【中】如圖，已知以直角梯形 ABCD 中，以 AB 為直徑的圓與CD 相切，求證：以CD為直徑的圓與 AB 相切DAOBC【】設 O 切 CD 于O ，由切線的性質及平行線等分線段定理可知O 為CD 中點，過O 作OE AB 于 E ，A DE13OO2BC由弦切角定理可知1 2 ，同時在Rt AOB 中， OE AB ，易證得2 3 1 3AOE ，于是可證得 OE OD

23、， CD 為直徑的圓與 AB 相切在Rt ABC 中， B 90 ， A 的平分線交 BC 于 D ， E 為 AB 上一點，17.【中】DE DC ，以 D 為圓心，以 DB 的長為半徑畫圓求證：（1） AC 是D 的切線；（2） AB EB AC AEBDC，過點 D 作 DF AC 于 F 【】（1）14/41AEFBDC AB 為D 的切線， AD 平分BAC ， BD DF AC 是D 的切線；（2）在Rt BDE 和Rt DCF 中， BD DF ， DE DC ， BDE FDC EB FC又 AB AF AB EB AC 18.【中】兩個圓相交于點 A 和 B ，由點 A 作兩

24、個圓的切線，分別與兩個圓相交于點M 和N 直線 BM 和 BN 分別與兩個圓交于另外兩點 P 和Q （ P 在 BM 上， Q 在 BN上）求證： MP NQ APQBMN】連結 AP 和 AQ ，【APNQBM為證 MP NQ ，只要證APM ANQ APB ANB ， AQB AMB ， APM ANQ ，且 PM 與 NQ 為對應邊連結 PN ，并設 A 、 P 、 N 所在圓的圓心為O ，可證直線 AO 垂直平分 PN ，這表明 AP AN APQBMN綜上可知， APM ANQ 于是有 PM NQ 15/41【難】如圖， O 為ABC 外接圓， BAC 60 ， H 為邊 AC、AB

25、 上高 BD、CE 的交19.點，在 BD 上取點 M ，使 BM CH 求 MH 的值OHAEOHDMBC【】 A 60 BOC 120又 AB、AC 的高 BD、CE 交于 H BHC 120 B、O、H、C 四點共圓 OBM OCH(另：若不用四點共圓的方法，此處可作如下證明：由BOC 120 ，則OBC OCB 30，OBC OCB 60 ，由BHC 120 ，則HBC HCB 60 ， OBC OCB HBC HCB ， OBC HBC HCB OCB ，即OBM OCH ) BOM COH SAS OM OH ， BOM COH MOH BOC 120 MOH 是頂角為120的等腰

26、三角形MHOH3 20. 【難】在等腰ABC 中， AB BC ， BH 是高，點 M 是邊 AB 的中點，而經(jīng)過點 B ，M 于C 的圓同 BH 的交點是 K ，求證 BK 3 R ，其中 R 是ABC 的外接圓半徑2BMOKHAC【】設過點 M ，B ，C 的圓的圓心是O ， ABC 的外接圓為BM 的中點是 N ，O1 ，半徑為 R ，連接OB ，ON ，OO1 ，O1M ，OK ，O1C ， ON 與 BH 交于 L BNLMOO 1KHAC16/41 O1M AB ， ON BM ， BN MN BL LO 1 O B 1 R ，1122OO1B O1BC 90 OO1 BC ， O

27、LO1 O1BN BLN O1BN 90 ， O1BC O1BN ， OO1B OLO1 ，又OB OK ，OBO1 OKL ， OBO OLK ， BO LK R ，從而得知， O K BL 1 R1112故 BK 3 R 221.【難】如圖，在以O 為圓心的兩個同心圓中， AB 經(jīng)過圓心O ，且與小圓相交于點 A 、與大圓相交于點 B 小圓的切線 AC 與大圓相交于點 D ，且CO 平分ACB 試判斷 BC 所在直線與小圓的位置關系，并說明理由；試判斷線段 AC、AD、BC 之間的數(shù)量關系，并說明理由；若 AB 8cm，BC 10cm ，求大圓與小圓圍成的圓環(huán)的面積CDABO】 BC 與小

28、圓相切過O 點作OE BC 于 E ，C【DEABO AC 與O 相切， OA AC ， CO 平分ACB ， OA OE ， BC 與O 相切于 E 點 AC AD BC連結 DO ，由 OA OE 可知 AC CE ，又 DO BO， BEO 90 ， RtAOD RtEOB ， AD BE ， AC AD CE BE BC BAC 90 ， AC BC2 AB2 6cm ，由可知CE 6cm ，則 BE 4cm ，設大圓與小圓圍成的圓環(huán)的面積為 S ，則 S R2 r2 OD2 OA2 AD2 BE2=16cm2 17/4122.【難】半徑為 R 的兩圓之一過平行四邊形 ABCD 的頂點

29、 A 和 B ，而另一圓過頂點 D 和C ，點 M 是兩圓除 B 外的另一個交點，求證： AMD 的外接圓半徑長也為 R MO 2O 1CBAD】設兩圓分別為 O1 、 O2 ，又設 P 為 BM 的中點， K 是C 關于點 P 的對稱點，【MKO 2O 1PCBAD顯然 K 在 O1 上，且 KM BC AD ， KM BC AD ，四邊形 AKMD 為平行四邊形， AMD MAK ， AMD 的外接圓半徑等于MAK 的外接圓半徑，即 O1 的半徑 R 二、 圓中的相似【易】（市第十三中學 2010-2011 九年級數(shù)學期中）如圖，已知 BC 為求證： AE AB AC AF A23.O 的

30、直徑，EFBCO】連結 BF、CE【AEFBCO BC 是直徑， BEC BFC 90 ， AEC AFB ， ABF ACE ， AE AB AC AF 18/41【易】如圖，半圓的直徑 AB 10 ，點C 在半圓上， BC 6 求弦 AC 的長；若 P 為 AB 的中點， PE AB 交 AC 于點 E ，求 PE 的長CE24.ABP】 AB 是直徑， C 在半圓上， ACB 90 ， AB 10 ，BC 6 ， AC 8 【 PE AB ， PAE CAB ， 90 ，ACB ，10 1APPE，即2PE ，ACBC86 PE 15 4【易】如圖， AB 為 O 的直徑， AC 交 O

31、 于 E 點， BC 交 O 于 D 點， CD BD ，C 70 現(xiàn)給出以下四個結論：25. A 45 ； AC AB ；AE BE ； CE AB 2BD2 CEDABO其中正確結論的序號是（）A【】CBCD【易】如圖，在 O 的內接ABC 中， AB AC 12 ， AD BC 于 D ，且 AD 3 ，設 O 的半徑為 y ， AB 的長為 x 求 y 與 x 的函數(shù)關系式當 AB 的長為多少時， O 的面積最大？并求出 O 最大面積26.ABCDO【】（1）作直徑 AE ，連 BE ，19/41ABCDOE由ABE ADC ，得 ABAE，即 x 2 y， y 1 x2 2x ；31

32、2 xADAC6（2）當 x 6 時， y 的最大值為 6， O 的最大面積為36 27.【中】（2010 年二中分初三期中上）如圖 AB 是 O 的直徑， M 是 O 上一點，MN AB ，垂足為 N ，P、Q 分別是 AM、BMMNP MNQ ，下面結論： ANP BNQ ； P Q 180 ； Q PMN ； PM QM ；上一點（不與端點重合），如果MN 2 PN QN ，其中正確的是（）MQP ABNOA【】BBCD28.【中】（市宣武區(qū) 2009-2010 學年度第二學期第二次質量檢測）已知：如圖， BD為 O 的直徑， AB AC ， AD 交 BC 于 E ， AE 2 ， E

33、D 4 求證： ABE ADB ；求 AB 的長；（3）延長 DB 到 F ，使 BF BO ，連接 FA ，試判斷直線 FA 與O 的位置關系，并說明理由AFCBEOD【】（1）證明： AB AC ，ABC C ，C D ，ABC D 又BAE DAB ， ABE ADB AB AE ADAB AB2 AD AE AE ED AE 2 4 2 12 AB 23 （2）直線 FA 與 O 相切，理由如下：20/41連接OA AFCBEOD BD 為 O 的直徑，BAD 9012 2 42 BD AB2 AD2 48 4 3 BF BO 1 BD 1 43 23 223 ， BF BO AB O

34、AF 90 AB 2直線 FA 與 O 相切29. 【中】如圖， ABC 內接于O1 ， AB AC ，O2 與 BC 相切于點 B ，與 AB 相交于點 E ，與O1 相交于點 D ，直線 AD 交O2 于點 F ，交CB 的延長線于點G 求證： G AFE ；ADF O2EO1GCB】連結 BD、CD ，【ADGCB ADC ABC ACG ，ADC ACG ， ACD G ，又 ACD ABD AFE ， G AFE 【中】如圖， AB 為O 的直徑， D 是 BC 的中點， DE AC 交 AC 的延長線于 E ，O 的切線 BF 交 AD 的延長線于點 F 求證： DE 是O 的切線

35、；若 DE 3 ， O 的半徑為5 ，求 BF 的長21/41FEO1O2EFCDABO【】（1）連接OD EFCDBAHO D 為 BC 中點， EAD DAB ， OD OA ， ODA ， ODA EAD ， OD AE ， AE DE ， OD DE ， DE 為O 切線（2）連接 BD ，過 D 作 DH AB 于 F AD 平分EAB ， DE AE ， DH AB ， DE DH 3， AB 為O 直徑 ADB 90由ADH DBH 得 DH 2 AH HB ，設 AH x ，則 HB 10 x ， x(10 x) 9 ，解得 x1 1 ， x2 9 ，由圖可知： AH BH ，

36、 x1 1 舍去， x 9 ，由ADH AFB ，得 DHAH39，解得： BF 10 BF10，即FBAB331. 【中】已知：如圖， C 為O 上一點， DA 交O 于 B ，連結 AC、BC ，且DCB CAB 求證：（1） DC 為O 的切線；（2） CD2 AD BD 【】（1）連結OC 并延長交O 于 E ，連結 BE 22/41COADBE可知CE 是O 的直徑， CBE 90 ， E BCE 90 CAB E ，DCB CAB ， DCB E ， DCB BCE 90 CE 是直徑， CD 是O 的切線（2） DCB CAB ，D 是公共角， BDC CDA ， CD BD ，

37、即CD2 AD BD ADDC，AB 是O 直徑， OD弦 BC 于點 F ，且交32.O 于點 E ，若【中】AEC ODB 判斷直線 BD 和O 的位置關系，并給出證明；當 AB 10，BC 8 時，求 BD 的長DCEFABO】（1）直線 BD 和 O 相切 AEC ODB ， AEC ABC ， ABC ODB OD BC ， DBC ODB 90 DBC ABC 90即 DBO 90直線 BD 和 O 相切（2）連接 AC D【CEFABOAB 是直徑， ACB 90在 RtABC 中， AB 10，BC 8 ， AC AB2 BC2 6 直徑 AB 10 ，23/41 OB 5 由

38、（1）， BD 和 O 相切， OBD 90 ACB OBD 90 由（1）得ABC ODB ， ABC ODB AC BC OBBD 6 ，解得 BD 20 85BD333. 【中】如圖， P 是半圓O 的直徑 BC 延長線上一點， PA 切半圓于點 A ， AH BC 于H ，若 PA 1， PB PC aa 2 ，則 PH APBOCH【】連結 AO ，PB PC PC BC PC 2PC CO 2PO ， PO a ，2 PA 是半圓的切線， AO PA ，又 AH BC ， PA2 O ，PA212 PH a a PO2【中】已知，如圖 M ，N 為 O 中劣弧 AB 的三等分點，

39、E ，F(xiàn) 為弦 AB 的三等分點，連接 ME 并延長，交直線 NF 于點 P ，連接 AP ，BP 交 O 于C ，D 兩點，求證：AOB 3APB P34.DCOEFABNM】連接CN ，AN ， ON ，OM ， AM，連接 MN 并延長，交 PA 的延長線于Q 【24/41PDCOEFABQNM M ，N 三等分 AB ， AM BN ，故 MN AB ，由 AE EF ，可證得QM MN ，由 AM MN 得 AM MN ， MA MQ MN ， QAN 為直角， CAN 90 ，故CN 為 O 直徑，點O 在CN 上 AON 2MON MON ACN ，故OM AP ，同理可證： O

40、N PB于是可證得： MON APB ， AOB 3MON ， AOB 3APB 35.【中】如圖，已知 AB 是O 的直徑，點C 是O 上一點，連結 BC、AC ，過點C 作直線CD AB 于點 D ，點 E 是 AB 上一點，直線CE 交O 于點 F ，連結 BF ，與直線CD 交于點G 求證： BC2 BG BF CEDABOGF【】解法一：連結 AF AB 是直徑， ACB AFB 90 ， CD AB ， BC2 BD AB ， BDG 90 BDG BFA ， BD BG ，BFBA BG BF BD BA ， BC2 BG BF CEDABOGF25/41解法二：延長CG 交O

41、于 H ，CEDBAOGFH CG BD ，且 BD 是直徑， BC BH ， F C ，又CBF CBG ， CBG FBC ， CB BG ，即 BC2 BG BF FBBC【中】如圖，已知：在O 中，直徑 AB 4 ，點 E 是OA 上任意一點，過 E 作弦CD AB ，點 F 是 BC 上一點，連接 AF 交CE 于 H ，連接 AC、CF、BD、OD 求證： ACH AFC ；猜想： AH AF 與 AE AB 的數(shù)量關系，并說明你的猜想；探究：當點 E 位于何處時， SAEC : SBOD 1: 4 ？并加以說明A36.CDHEOFB【】 AB 是直徑，且 AB CD ， AC A

42、D ， AFC ACD ， CAH FAC ， ACH AFC AH AF AE AB解法一：由 ACH 連結 BC ，AAFC： AC2 AH AF ，CDHEOFB C 在O 上， ACB 90 ，又CD AB ， AC2 AE AB ， AH AF AE AB 解法二：連結 FB26/41ACDHEOFB F 在O 上， AFB 90 ，又EAH FAB ， AEH AFB ， AE AH，即 AH AF AE AB AFAB S 1 AE CE ， S 1 BO DE ，2AECBOD2AE 1 ， 1: 4 ， S: SAECBOD12SBO4BO DEBOD AB 4 ， OB 1

43、 AB 2 ，2 AE 1 OB 1 ，42當 AE 1 時， S 1: 4 : SAECBOD237. 【中】如圖， AB ， AC ， AD 是圓中的三條弦，點 E 在 AD 上，且AB AC AE 請你說明以下各式成立的理由：（1） CAD 2DBE ；（2）AD2 AB2 BD DC ABCED】（1）如圖，連接 BC ， AB AC AE ，A【1B 2G C3465ED 5 2 ， 2 3 6 又4 5 6 2 3 ， 4 3 而1 4 3 ， 1 24 即CAD 2DBE 27/41（2）設 BC 與 AD 的交點為G ， 2 5 ， BAG DAB ， BAG DAB ， AB

44、2 AG AD AD2 AB2 AD2 AG ADG AD DG A又 5 ADC ， DBG 1 ， BDG ADC DB DG ， AD DG BD DC ADDC AD2 AB2 BD DC 38. 【中】圓內接四邊形 ABCD ， AC BD ， AC 交 BD 于 E ， EF 求證： AF BF C于G ，交 AB 于GBDEFA【】證法一：如圖， CDB GCE 90 ， CEG GCE 90 ， CDB CEG 又EAF CDB ， AEF CEG ， EAF AEF ， AF EF ，同理 BF EF AF BF 證法二：如圖，過 F 作 FH AE 于 H CGBDEHFA

45、 GDE HAF ， GEC HEF ， RtGEC RtHAF ，RtGEC RtHEF AHHFHEHF，DGGEGEGC DG GC AH兩式相除得：HEGE2而GE 是RtDEC 斜邊上的高， GE2 DG GC AH 1 ，即 AH HE HE又 BE AE ， FH AE ， FH BE AF BF 證法三：如圖，過 A 作 AH AE 交 EF 的延長線于 H ，連接 BH 28/41CBDHA RtAEH RtGEC ， EHAE ，ECGE EH AE EC ，GE又 BE ED AE EC ， ED AE EC ， EH BE BE HEB DEG ， BEH GED ，E

46、DGE EBH EGD 90 ， AHBE 是矩形 AF BF 39.【中】圓內接矩形CEDF ，過 D 作圓的切線 AB ，分別與CE 、CF 的延長線相交于 A 、3BF BCB ，求證：AECAC3FOEDBA【】如圖，連接CD CFOEADB DF AC ， BF BC DFAC顯然RtBAC 與RtDCF 相似，DFBCCFAC又 DE BC ， DE BC ，AEAC3BF DF DE BCDF CF AEAC3BFBC3而CF DE ，故AEAC329/41GEF【中】已知：如圖， D 是Rt ABC 中直角邊 BC 上的一點，以 BD 為直徑的圓交斜邊AB 于點 E ，連結 E

47、C 交此圓于點 F ， BF 交 AC 于點G 求證： GF CA CF EA A40.EGFBCDO】連結 FD ，則AEC BDF ，A【EGFBCDO BD 是直徑， DBF FDB 90 ， ACB 90 ， CBG BGC 90 ， CGF FDB AEC ， CFG CAE ， CF GF，CAEA即GF CA CF EA 另：該題還可以連結 DE ，由BDE A ， CFG BFE BDE 推導出CFG A ，從而得到相似三角形，也很方便【中】如圖， AB ，CD 是O 的兩條弦，它們相交于點 P ，連結 AD、BD ，已知AD BD 4 ， PC 6 ，求CD 的長C41.OP

48、ABD】連結 AC AD BD ， AD BD ， ACD ABD BAD ，【D，即 APD CAD ， PD CD 16 ，D CD ，CDAD又 PC CD PD 6 ， PD CD 6 ， CD2 6CD 16 0 ，解得CD 8 （舍負）42.【中】 AB 是半圓的直徑， C 點在圓上，過點 A 、 B 分別作過C 點的切線的垂線 AD 、BE ， D 、 E 為垂足，求證： DE2 4AD BE DCEFAOB30/41【】證法一：如圖，設 AD 交圓于 F ，連接 BF ，則AFB 90 DCEFAOB AD DE ， BE DE ， BEDF 為矩形 DE BF ， BE FD

49、 BF 2 AB2 AF 2 AB2 (AD BE)2 AB2 AD2 BE2 2AD BE ， DE2 AB2 AD2 BE2 2AD BE 連接CO ，顯然CO 為梯形 ADEB 的中位線， CO 1 ( AD BE) ，2 AB 2CO AD BE ，有 AB2 AD2 BE2 2AD BE 將式代入式得： DE2 4AD BE 證法二：如圖，連接 AC 、OC 、 BC ，則ACB 90 DCEFAOB ACD BCE 90 EBC BCE 90 ， ACD EBC ， RtACD RtCBE AD CE ，DCBE則 DC CE AD BE 顯然CO 為梯形 ABED 的中位線 DC

50、 CE 1 DE ，2 DC CE 1 DE24 DE2 4AD BE 證法三：如圖，設 AD 交圓于 F ，完成另一半圓，設 EB 之延長線交圓于G ，連接 BF 、 AG ，則四邊形 AFBG 、 FDEB 均為矩形DCEFAOBG FD BE ， AF BG ， AD GE DCE 為圓之切線，31/41 DC2 AD DF AD BE ，CE2 GE BE AD BE DC CE 1 DE ， DE2 4AD BE 243.【中】已知 A、D 是一段圓弧上的兩點，且在直線 l 的同側，分別過這兩點作l 的垂線，垂足為 B、C ， E 是 BC 上一動點，連結 AD、AE、DE ，且AE

51、D 90 如圖，如果 AB 6 ，BC 16 ，且 BE : CE 1: 3 ，求 AD 的長；如圖，若點 E 恰為這段圓弧的圓心，則線段 AB、BC、CD 之間有怎樣的等量關系？請寫出你的結論并予以證明再探究：當 A、D 分別在直線l 兩側且 AB CD ，而其余 條件不變時，線段 AB、BC、CD 之間又有怎樣的等量關系？請直接寫出結論，不必證 明DDAAllCBECBE圖(1)圖(2)AE】 ABE ECD ， AB BE【ECCDDE BC 16 ，BE : CE 1: 3 ， BE 4 ，CE 12 ，ABBEAE 1ECCDDE2在 Rt ABE 中， AE DE 2AE 4 13

52、 ，AB2 BE2 2 13 ，在Rt AED 中， AED 90 ， AD AE2 DE2 2 65 （i）猜想 AB CD BC E 是 AD 的圓心， AE DE ， AED 90 ， AEB CED 90 ， CD BC ， CDE CED 90 ， AEB CDE ， AB BC ， ABE ECD ， AB CE ，BE CD ， AB CD CE BE BC （ii） BC AB CD44.【中】如圖，圓內接四邊形 ABCD ，延長 AB 和 DC 相交于點 P ，連接 BD 、 AC 相交AP AB于Q ，連接 PQ 并延長交 AD 于 R ，求證： AR DRDP DCABR

53、QODCP【】 PAC PDB ， ABQ DCQ32/41 ABQ DCQ ，ABAQ，DCDQAP ABAP AQ SAPQ，DP DCDP DQSDPQR ， DN PR ，AM DNR ， DN PR ，作SAPQ則SDPQ AM DN ， AMR DNR ， AMARDNDR SAPQAP ABARARAP AB，即DP DRDP DCDRDPQANBR MQODCP45.【中】如圖，半徑為2 5 的O 內有互相垂直的兩條弦 AB、CD 相交于 P 點求證： PA PB PC PD ；設 BC 的中點為 F ，連結 FP 并延長交 AD 于 E ，求證： EF AD ；若 AB 8，

54、CD 6 ，求OP 的長CFPABEOD】 DAP BCP ，APD CPB ，【 APD CPB ， AP PD ，CPPB PA PB PC PD AB CD ， BPD BPC 90 ， F 是 BC 中點， PF 1 BC BF ，2 BPF PBF ， ADC PBC ， BPF DPE BPF 90 ， DPE 90 ， DEP 90 ，即 EF AD 過O 點作OM AB ，ON CD ，垂足分別為 M、N33/41CFPABMEOND由垂徑定理得 AM 4 ，CN 3 ， OM 2 ，ON 11 ，易證得四邊形OMPN 是矩形， OP OM 2 ON 2 15 46. 【中】如

55、圖， AB 是O 的直徑，且 AB 10 ，弦 MN 的長為8 ，若弦 MN 的兩端在圓上滑動時，始終與 AB 相交，記點 A ，B 到 MN 的距離分別為h1 ，h2 ，則 h1 h2等于（）MFh 2ABOh 1NEA 5【B 6C 7D 8】解法一：設 AB、MN 相交于 P ，過O 點作OH MN 于 H ，連結 NO MFh 2HPABOh 1NE由垂徑定理 NH 1 MN 4 ，NO 1 AB 5 ， OH 3 ，22 AE MN ，BF MN ，OH MN ， AE OH BF ，h1 h2 AP BPAE AP ，BF BPh1 APh2 BP，即，OHOPOHOP3OP3OP

56、3OPO OP 2OPO OP 2OP AO AO AP BPAP BP當 P 點在O 點左側時， AP BP ，當 P 點在O 點右側時， AP BP ， h1 h2解法二： 6 假設法當 N 點運動到與 A 點重合時， AE h1 0 ， BF h2 BM ，AB2 MN 2 6 ， h1 h2 6 此時ABM 是直角三角形， BM 當 MN 與 AB 垂直時， AE h1 AP ，BF h2 BP ， MN 8 ，由垂徑定理知 MP NP 4 ， OP 3 ， AP 5 3 2 ，BP 5 3 8 ， h1 h2】B 6 【34/41【中】如圖， AM 是O 的直徑，過O 上一點 B 作

57、 BN AM ，垂足為 N ，其延長線交O 于點C ，弦CD 交 AM 于點 E 如果CD AB ，求證： EN NM ；如果弦CD 交 AB 于點 F ，且CD AB ，求證： CE2 EF ED A47.DFOEBCNM【】連結 MC ， AM BC ， ANC 90 ，則ECN CEN 90 ， CD AB ， AFE 90 ，則A AEF 90 ，又AEF CEN ， A ECN ， A BCM ， ECN BCM ， CEN CMN ， EN NM 解法一：連結 BE 并延長交O 于G ，連結 BD ADGFOEBCNM AM BC ， BE CE ，AB AC ， EBC ECB

58、， BD CG ， AD AG ， ABE ABD ， AB CD ， AB CD ， AD BC ， ABD BDC ， ABE BDC又BEF 是公共角， BEF DEB ，BEEF，即 BE2 EF ED ，DEEB CE2 EF ED 解法二：連結 BE、BD、BM AM 是直徑， ABM 90 ，即ABE EBM 90 ，又 AD DBM ADM ，且 ADM 是半圓， ABD DCM 90 ， AB CD ， AB CD ， AD BC ， ABD BDC ， BDC DCM 90 AM BC ， BE CE ，BM CM ， EBC ECB ，MBC MCB ， EBC MBC

59、ECB MCB ，即EBM ECM ， BDC EBF ， BEF DEB ，BEEF，即 BE2 EF ED ，DEEB CE2 EF ED 35/4148. 【中】如圖， Rt ABC 內接于O ， AC BC ， BAC 的平分線 AD 與O 交于點 D ，與 BC 交于點 E ，延長 BD 與 AC 的延長線交于點 F ，連結CD ， G 是CD 的中點，連結OG 判斷OG 與CD 的位置關系，寫出你的結論并證明；求證： AE BF ；若OG DE 32 2 ，求O 的面積FCGDEABO【】 O連結OC、ODFCG EDABO OC OD ， G 是CD 的中點， O ABC 是直角

60、三角形，且 AC BC ， ACB 90 CAD CBF ， ACE BCF ， AE BF 由可知COG 1 COD ， CGD，2 EBD 1 COD ， EBD COG ，2 BDE OGC 90 ， BDE OGC ，DEBD，即OG DE BD CG ，CGOG AD 是BAC 的平分線， CD BD ， BD CG 1 BD2 ，2 OG DE 32 2 ， 1 BD2 32 2 ， BD2 62 2 2設O 的半徑為r ， AB 是O 的直徑， AB 2r ， AC BC ，ACB 90 ， AC BC 2r ， BAD CAD ，ADB 90 ， ABF 是等腰三角形， AF