數(shù)值分析 第7章

1、 7.1 Newton Cotes 公式 7.2 復(fù)化求積公式 7.3 Romberg求積法 7.4 Gauss型求積公式 第七章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 7.5 數(shù)值微分 7.0 數(shù)值積分概述7.0 數(shù)值積分概述由積分學(xué)基本定理知 但應(yīng)用中常碰到如下情況： f(x)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)給出f(x)用表格形式給出雖然f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示,但表達(dá)式過于復(fù)雜。這時(shí)積分與求導(dǎo)都必須使用數(shù)值的方法。在積分區(qū)間a,b上取一系列點(diǎn) ，設(shè) 用被積函數(shù)在這些點(diǎn)的函數(shù)值的線性組合作為積分近似值其中Rf稱為求積公式的余項(xiàng)。 稱為求積節(jié)點(diǎn) 。 稱為求積系數(shù)。 的具體形式。積節(jié)點(diǎn) 的選取有關(guān)，而不依賴與被積

2、函數(shù)f(x)僅與求7.1 Newton Cotes 公式一、.NewtonCotes求積公式（P207）將a，b分為n等份， 常用的構(gòu)造數(shù)值求積公式的一種方法是利用插值多項(xiàng)式Pn(x)來構(gòu)造求積公式稱為插值型求積公式。，選取節(jié)點(diǎn)，作n次Lagrange插值多項(xiàng)式系數(shù) 還可以進(jìn)一步表示： 由Lagrange插值公式，可得顯然系數(shù) 與f(x)無關(guān)，只與節(jié)點(diǎn)有關(guān)。 令x=a+th即有 dx=hdt ，故 故故求積公式可寫為稱為柯特斯系數(shù)，上式稱Newton-Cotes公式。稱為NewtonCotes公式的截?cái)嗾`差。其中:當(dāng)n=1時(shí)， 該公式稱為梯形公式。n=2可計(jì)算得到它稱為辛浦生（Simpson）

3、公式或拋物線公式。故有：n=4 NewtonCotes公式為其中， 這個(gè)公式特別稱為柯特斯公式。 類似地我們可以求出n=5,6,時(shí)的柯特斯系數(shù)，從而建立相應(yīng)的求積公式(見P207表)。 二、求積公式的代數(shù)精確度(P214)定義：如果 對(duì)于一切不高于m次的代數(shù)多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立， 而對(duì)于某個(gè)m+1次多項(xiàng)式并不準(zhǔn)確成立，則稱上述求積公式具有m次代數(shù)精確度，簡(jiǎn)稱代數(shù)精度。 若某個(gè)求積公式對(duì)盡可能多的被積函數(shù)都準(zhǔn)確成立，那么這個(gè)公式就具有比較好的使用價(jià)值。對(duì)此，有如下定義：都能準(zhǔn)確成立，而對(duì)于Remark1：求積公式具有m次代數(shù)精確度的充要條件是它對(duì)于不準(zhǔn)確成立。Remark2：梯形公式、辛浦生公式、柯特

4、斯公式分別具有1，3，5次代數(shù)精度。Remark3：牛頓柯特斯公式是基于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值公式導(dǎo)出的，因而其代數(shù)精度不低于n次。Remark4：n為偶數(shù)的牛頓柯特斯公式至少具有n+1次代數(shù)精度， n為奇數(shù)的牛頓柯特斯公式具有n次代數(shù)精度。三、求積公式的截?cái)嗾`差(P208)引理（積分第二中值定理）：如果f(x),g(x)在區(qū)間a,b連續(xù)，且g(x)在區(qū)間(a,b)不變號(hào)，則存在(a,b),使得定理7.1：若f(x)在a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則梯形求積公式的截?cái)嗾`差為： 由于 是依賴于x的函數(shù)，且在a,b上連續(xù)， 故運(yùn)用積分 中值定理，在 a,b上存在一點(diǎn) 使得：證： 證畢定理7.2：若f(x)在

5、a,b上有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則辛浦生求積公式的截?cái)嗾`差為： 證明：由于辛浦生公式的代數(shù)精度為3，為此構(gòu)造次數(shù)小于等于3的多項(xiàng)式 ，使?jié)M足： 由于 是依賴于x的函數(shù)，在a,b上連續(xù)， 故 可運(yùn)用積分中值定理，在a,b上存在一點(diǎn) ，使 證畢 類似地,若f(x)在a,b上有六階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則柯特斯求積公式的截?cái)嗾`差為： 四、NewtonCotes公式的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)算 有絕對(duì)誤差 ，即 由NewtonCotes公式的代數(shù)精確度及余項(xiàng)的結(jié)果看，n越大越好。而事實(shí)上，n增大時(shí)，計(jì)算量也變大，誤差積累變得越來越嚴(yán)重。另外，求積公式的穩(wěn)定性及收斂性也沒有保證。因?yàn)榕ｎD柯特斯公式對(duì)于f(x)=1必然準(zhǔn)確成立，故有則在實(shí)

6、際中用代替所產(chǎn)生的誤差為如果均為正數(shù)，令，則有用此計(jì)算過程是穩(wěn)定的。如果有正有負(fù)，則此時(shí)誤差得不到控制，因而穩(wěn)定性得不到保證。當(dāng)n很大時(shí)，NewtonCotes求積公式的系數(shù)出現(xiàn)負(fù)值，因此實(shí)際中很少使用。五、待定系數(shù)法 利用待定系數(shù)法可以得出各種求積公式，而且可以具有盡可能高的代數(shù)精度。 定理： 使求積公式至少有n次在區(qū)間a,b上,對(duì)于給定n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，總存在求積系數(shù)事實(shí)上，只要令求積公式對(duì)于都能準(zhǔn)確成立即可得到下式：代數(shù)精度。 則可通過給定的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)得到上述含n+1個(gè)未知數(shù)、n+1個(gè)方程的方程組。若求積節(jié)點(diǎn)互異，則從而可得唯一解 從而構(gòu)造出至少具有n次代數(shù)精度的求積公式。 例：確定求

7、積公式解：求積公式中含有一個(gè)待定參數(shù)，當(dāng)f(x)=1,x 時(shí),有 中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造的求積公式具有的代數(shù)精度。故令求積公式對(duì)f(x)=x2成立,即得令 代入已求得的求積公式，顯然故 具有三次代數(shù)精度。 令7.2 龍貝格求積公式 當(dāng)n7時(shí)，Newton-Cotes系數(shù)均為正，但從n=8開始， Newton-Cotes系數(shù)有正有負(fù)，這會(huì)使計(jì)算誤差得不到控制，穩(wěn)定性得不到保證。 因此，實(shí)際計(jì)算時(shí)，一般不采用n較大的Newton-Cotes公式，而是將區(qū)間a,b等分為N個(gè)小區(qū)間，其長(zhǎng)度為h=(b-a)/N,在每個(gè)小區(qū)間上應(yīng)用低階的公式，然后對(duì)所有小區(qū)間上的計(jì)算結(jié)果求和，這樣

8、得出的 求積公式稱為復(fù)化求積公式。一、常用的幾種復(fù)化求積公式1.復(fù)化梯形公式將a,b等分為N個(gè)子區(qū)間由其中當(dāng)N 時(shí)，即TN收斂于關(guān)于復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)有如下定理：定理7.3 設(shè)f（ x）在區(qū)間a,b上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差為：證明：若f(x)在a,b連續(xù),設(shè)m為f (x)的最小值,M為f (x)的最大值,則故由介值定理,一定在(a,b)有一點(diǎn) 使 Remark：若，則有誤差估計(jì)式證畢2.復(fù)化辛浦生公式 將a,b等份成N個(gè)子區(qū)間xk，xk+1(k0，1，,N-1)，子區(qū)間長(zhǎng)度 由3.復(fù)化柯特斯公式 將a,b等份成N個(gè)子區(qū)間x4k，x4k+4(k0，1，,N-1)，子區(qū)間長(zhǎng)度

9、由例子1若取9個(gè)節(jié)點(diǎn)，用復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛浦生公式和復(fù)化柯特斯公式計(jì)算積分，其步長(zhǎng)以及與9個(gè)節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的求積系數(shù)分別是多少？解：復(fù)化梯形公式：N=8，h=(b-a)/8，對(duì)應(yīng)的求積系數(shù)為1、2、2、2、2、2、2、2、1。復(fù)化辛浦生公式：N=4，h=(b-a)/4，對(duì)應(yīng)的求積系數(shù)為1、4、2、4、2、4、2、4、1。復(fù)化柯特斯公式：N=2，h=(b-a)/2，對(duì)應(yīng)的求積系數(shù)為7、32、12、32、14、32、12、32、7。 #用積分 計(jì)算ln2,要使所得積分近似值具有5位有效數(shù)字。問用復(fù)化梯形公式，復(fù)化Simpson公式時(shí)，至少要取多少個(gè)節(jié)點(diǎn)?例子2解:由 且 故,計(jì)算ln2時(shí)，要使誤差不

10、超過 也即計(jì)算2ln2，其誤差不超過 。 即其中故區(qū)間應(yīng)取671個(gè)，節(jié)點(diǎn)至少應(yīng)取672。 其中 由故區(qū)間N應(yīng)取22，即45個(gè)節(jié)點(diǎn) 。 #二、區(qū)間逐次分半求積法（變步長(zhǎng)） 1.誤差的事后估計(jì)法 復(fù)化求積公式是提高精度的一種有效方法，但在使用復(fù)化求積公式之前，必須根據(jù)復(fù)化求積公式的余項(xiàng)進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì)，以確定節(jié)點(diǎn)數(shù)目，從而確定合適的等分步長(zhǎng)。因?yàn)橛囗?xiàng)表達(dá)式中包含了被積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而估計(jì)各階導(dǎo)數(shù)的最大值往往是很困難的，且估計(jì)的誤差上界往往偏大。所以實(shí)際中，常常使用“事后估計(jì)誤差”的方法，通過區(qū)間的逐次分半，在步長(zhǎng)逐次分半的過程中，反復(fù)利用復(fù)化求積公式進(jìn)行計(jì)算，查看相繼兩次計(jì)算結(jié)果的差值是否達(dá)到要求，直到

11、所求得的積分值滿足精度要求。該法也稱為步長(zhǎng)自動(dòng)選擇的變步長(zhǎng)求積法。對(duì)梯形公式，假定區(qū)間分為N等份時(shí)，由公式算出的積分近似值為TN ,因而有 再把各個(gè)小區(qū)間分別對(duì)分，得積分的近似值為T2N，則積分值為其中假定f(x)有a,b上變化不大，即有 ，則上式可改寫為 計(jì)算時(shí)只需檢驗(yàn) 是否滿足？若不滿足，則再把區(qū)間分半進(jìn)行計(jì)算，直到滿足要求為止 。類似的，還可以得到下面的結(jié)論： 對(duì)于辛浦生公式，假定 在a,b上變化不大，則有對(duì)于Cotes公式，假定 在a,b上變化不大，則有 2.區(qū)間逐次分半的梯形公式（P212） 據(jù)此我們得到復(fù)化梯形公式區(qū)間逐次分半時(shí)的遞推計(jì)算公式：計(jì)算時(shí)只需檢驗(yàn) 是否滿足？若不滿足，則

12、再把區(qū)間分半進(jìn)行計(jì)算，直到滿足要求為止 。7.3 Romberg求積法 一、對(duì)低精度公式經(jīng)過組合構(gòu)造高精度公式 從SN及T2N,TN的計(jì)算公式可驗(yàn)證得到： 事實(shí)上， （1）（2）（3）類似地，可以證明： 這個(gè)公式（3）稱為Romberg公式。由（1）（2）（3）組成的方法稱為Romberg算法。 序列TN ,SN ,CN 和RN 分別稱為梯形序列，Simpson序列，Cotes序列和Romberg序列。 上述用若干個(gè)積分近似值推算出更為精確的積分近似值的方法，稱為外推算法。得到Romberg序列后還可以繼續(xù)外推，得到新的求積序列，稱為Richardson外推算法。但由于在新的求積序列中，其線性

13、組合的系數(shù)分別為： 因此，新的求積序列與前一個(gè)序列結(jié)果相差不大，故通常外推到Romberg序列為止。 可以證明，梯形序列，Simpson序列，Cotes序列和Romberg序列均收斂到積分值，且每次外推可使誤差階提高二階。二、Romberg算法的實(shí)現(xiàn) T數(shù)表：R4C8S16T3232R2C4S8T1616R1C2S4T88C1S2T44S1T22T11R2k-3C2k -2S2k-1T2k區(qū)間等分?jǐn)?shù) n=2k 對(duì)上面的T數(shù)表作計(jì)算，一直到Romberg序列中前后兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值不超過給定的誤差限為止。Remark:Romberg算法具有占用內(nèi)存少，精確度高的優(yōu)點(diǎn)，是實(shí)際中最常用的算法之一。7.

14、4 Gauss型求積公式我們能否通過節(jié)點(diǎn)的選擇將求積公式的代數(shù)精度從n 或者n+1提高到2n+1？問題：若求積公式中含有2n+2個(gè)待定參數(shù)一、Gauss型求積公式定義：把具有n1個(gè)節(jié)點(diǎn)的具有2n+1次代數(shù)精確度的插值型求積公式 稱為Gauss型求積公式，其求積節(jié)點(diǎn) （k=0，1，n）稱為高斯點(diǎn)，系數(shù) 稱為高斯系數(shù)。 Remark：構(gòu)造Gauss型求積公式的關(guān)鍵在于確定高斯點(diǎn)，再由n1個(gè)高斯點(diǎn)構(gòu)造基函數(shù)，從而得到高斯系數(shù)。定理：插值型求積公式中的節(jié)點(diǎn) 是高斯點(diǎn)的充要條件是，在a,b上，以這些點(diǎn)為零點(diǎn)的n+1次多項(xiàng)式 與任意次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式P(x)正交，即證明： 必要性 ：設(shè) 是高斯點(diǎn)，于是對(duì)

15、任意次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式P(x) ，的次數(shù)不超過2n+1。 故有 充分性 ： 設(shè) 對(duì)于任意次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式 設(shè) 除f(x)的商為p(x),余項(xiàng)為q(x)。所給的求積公式是插值型的，其代數(shù)精度至少為n。 所以求積公式至少具有2n1次代數(shù)精確度。對(duì)于2n+2次多項(xiàng)式有而故求積公式的代數(shù)精確度是2n+1。證畢兩條結(jié)論： 高斯型求積公式一定是插值型求積公式，其系數(shù)由高斯點(diǎn)唯一確定。高斯型求積公式是代數(shù)精度最高的求積公式（2n1次）。 當(dāng)高斯點(diǎn)確定以后，高斯系數(shù)也可以由插值型求積公式中的系數(shù)公式確定.即可由線性方程組確定。二、Legendre多項(xiàng)式n1次Legendre多項(xiàng)式為：其性質(zhì)有1、n

16、+1次Legendre多項(xiàng)式與任意不超過n次的多項(xiàng)式在區(qū)間-1,1上正交。2、n+1次Legendre多項(xiàng)式的n+1個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間-1,1內(nèi)。例： 一次Legendre多項(xiàng)式及其零點(diǎn)為： 二次Legendre多項(xiàng)式及其零點(diǎn)為： 三次Legendre多項(xiàng)式及其零點(diǎn)為：三、Gauss-Legendre求積公式 為 的零點(diǎn) 。一點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式為：兩點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式為： 實(shí)際上我們可以給出任意次Gauss-Legendre求積公式在任意區(qū)間上的節(jié)點(diǎn)與系數(shù)，從而得到任意區(qū)間上的Gauss-Legendre求積公式。三點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式為：

17、事實(shí)上，作變換即可將區(qū)間a,b變換到-1,1上：四、Gauss型求積公式的截?cái)嗾`差定理： 設(shè) 在 內(nèi)只有2n+2階導(dǎo)數(shù)，則高斯型求積公式的余項(xiàng)為：證明： 的Hermite插值多項(xiàng)式，則 的次數(shù) 。設(shè) 為滿足由于高斯型求積公式的代數(shù)精度為2n+1，故 證畢 高斯型求積公式具有代數(shù)精度高、且總是收斂、穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)。但當(dāng)求積節(jié)點(diǎn)數(shù)增加時(shí)，前面的函數(shù)值不能在后面利用。因此，有時(shí)也可以將區(qū)間分化成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上應(yīng)用低階的Gauss型求積公式，即復(fù)化高斯求積公式。7.5 數(shù)值微分 以離散數(shù)據(jù) 近似表達(dá) 在節(jié)點(diǎn) 處的微分,通常稱這類問題為數(shù)值微分。一、Taylor展開法根據(jù)Taylor展開式可得 則有：類似地，由可得下面的中點(diǎn)公式：中點(diǎn)公式：展開到3階可