三角恒等變換之輔助角公式

1、三角恒等變換之輔助角公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company Onel輔助角公式a sin0 + b cos0 =a2 + b2 sin（0 + 中）在三角函數中，有一種常見而重要的題型，即化asin0+ bcos0為一個角的一個三角函數的形式，進而求原函數的周期、值域、單調區(qū)間等.為了幫助學 生記憶和掌握這種題型的解答方法，教師們總結出公式a sin 0 + b cos0 =a2 + b2 sin（0 + 中）或 a sin 0 + b cos0 =a2 + b2 cos（0 -），讓學生在大量的訓練和考試中加以記憶和活用.但事與愿違，半個學期不到，大部分學生都忘了，教

2、師不得不重推一遍.到了高三一輪復習，再次忘記，教 師還得重推!本文旨在通過輔助角公式的另一種自然的推導,體現(xiàn)一種解決問題的 過程與方法，減輕學生的記憶負擔;同時說明“輔助角”的范圍和常見的取角方法, 幫助學生澄清一些認識;另外通過例子說明輔助角公式的靈活應用，優(yōu)化解題過程 與方法;最后通過例子說明輔助公式在實際中的應用,讓學生把握輔助角與原生角 的范圍關系,以更好地掌握和使用公式.一.教學中常見的的推導方法教學中常見的推導過程與方法如下1.引例例 1 求證：瑚3 sin a +cos a =2sin （ a ）=2cos （ a -）.63其證法是從右往左展開證明，也可以從左往右“湊”，使等式

3、得到證明,并得出 結論：一般地,asin0 +bcos0是否可以化為一個角的三角函數形式呢2.輔助角公式的推導例2化a sin0 + b cos0為一個角的一個三角函數的形式.E sin0 +b cos0 ）,解:asin0 +bcos0 =a2 + b2 （可見，。3sina +cosa可以化為一個角的三角函數形式.頊a 2 + b2 （a2 + b2ab令 ：=cos中，:訂二sin中,則 asin0 +bcos0 = a2 + b2 （sin0 cos中 +cos 0 sin中）=Va2 + b2 sin（0 + 中）,（其中 tan中=一）aab 令 ：=sin中，:訂 二cos中，則

4、asin +bcos = a2 + b2 (sin sin中 +cos cos中)=；a2 + b2 cos( -中),(其中tan中=三)其中中的大小可以由sin中、cos中的符號確定中的象限，再由tan中的值求出.或由tan中=b和(a,b)所在的象限來確定.a推導之后，是配套的例題和大量的練習.但是這種推導方法有兩個問題:一是為什么要令ab:2 + b2 =cos中,：2 + b2二sin中讓學生費解.二是這種“規(guī)定”式的推導，學生難記易忘、易錯！二.讓輔助角公式a sin 0 + b cos 0 =(a2 + b2 sin(0 +中)來得更自然能否讓讓輔助角公式來得更自然些這是我多少年

5、來一直思考的問題.2009年 春.我又一次代2008級學生時,終于想出一種與三角函數的定義銜接又通俗易懂 的教學推導方法.首先要說明，若a=0或b=0時，asin0 + bcos0已經是一個角的一個三角函數的形式，無需化簡.故有ab尹0.1.在平面直角坐標系中，以a為橫坐標,b 為縱坐標描一點P(a,b)如圖1所示,則總有一個角中，它的終邊經過點P.設OP=r,r=(a2 + b2，由三角函數的定義知b bsin中二二=,r a2 + b2aaco抑=r=T0K.所以 asin0 +bcos0 = wa2 + b2 cos中 sin0 +寸a2 + b2 sin中 cos0=a2 + b2 s

6、in(0 +中).(其中 tan中=) ayO中的終邊P（b,a）r圖2 x2.若在平面直角坐標系中，以b為 橫坐標，以a為縱坐標可以描點P(b,a),如 圖2所示,則總有一個角中的終邊經過點P(b,a)，設 OP=r，則 r= (a2 + b2 .由三角函 數的定義知a asin 中=一=,r a2+ b2b bcos中二一二一.r yla 2 + b 2asin0 +bcos6 = va2 + b2 sin sin0 + a2 + b2 cos中 cos0=a2 + b2co s（0 一中）.（其中 tan中=例3化3sin 0 + cos0為一個角的一個三角函數的形式.解:在坐標系中描點

7、P(x/3,1)，設角中的終邊過點P,則OPr=(，3) +12 =中=2 ,cos中=.K 八八八八八.j3sin 0+ cos0=2cos中 sin0 +2sin中cos0=2sin(0+ 中).tan中=-g = ； + 2k兀，. 3sin 0 + cos0 =2sin(0 + 二).66經過多次的運用,同學們可以在教師的指導下，總結出輔助角公式asin0 +bcos0 =0 hcc0 =、：a2 + b2 (sin0 + ,= cos0 )=cos0 ）=asin0 +bcos0 = a2 + b2 （我想這樣的推導，學生理解起來會容易得多，而且也更容易理解八 八, abasin0

8、+bcos0 湊成 x/a2 + b2 (； 廠 sin + , cos。)的道理,以及為什么只有兩種形式的結果.例4化sin a vcosa為一個角的一個三角函數的形式.解法一:點(1,、3)在第四象限.OP=2.設角中過P點.則J3 1sin中七,cos中=2 .滿足條件的最小正角為5_兀3g = 5 兀 + 2k兀,k g Z. ,3. k 1 .、3、.、. sin a - 3 cos a = 2( sin a 2 cos a) = 2(sin a cos g + cos a sin g) =2sin( a +g) = 2sin( a + 3 兀 + 2k 兀)=2sin( a + 3

9、 兀).解法二:點P(- J3,1)在第二象限,OP=2，設角中過P點.則sin g = cos g22 .滿足條件的最小正角為5 兀,g = 5 兀 + 2k兀,k g Z. k1 .3sin a J3 cos a = 2( sin a 2 cos a) = 2(sin a sin g + cos a cos g)=2cos(a g) = 2cos(a 5 兀一2k 兀)=2cos(a 5 兀).三.關于輔助角的范圍問題由 a sin 0 + b cos 0 = a2 + b2 sin(0 +g)中，點66P(a,b)的位置可知，終邊過點P(a,b)的角可能有四種情況(第一象限、第二象限、第

10、三象限、第四象限).設滿足條件的最小正角為中1，則中=氣+ 2冗.由誘導公式(一)知a sin 0 + b cos 0 = Ja 2 + b2 sin(0 + 中)=J a 2 + b2 sin(0 + 中).其 b.中中 (0,2K), tan =一,卬的具體位置由sin中與cos中決定，卬的 ii a 1111大小由taw=：決定.類似地，a sin 0 + b cos 0 = a2 + b2 cos（0 中）, 中的終邊過點P （b,a）,設滿足條件的最小正角為%，則咋%+2kK.由誘導公式有a sin0 + bcos0 = a2 + b2 cos(0 一中)=Ja2 + b2 cos(

11、0 一中), 其中中(0,2兀),tan = a,卬的位置由sin中和cos中確定，卬的大22 b 2222小由tan = -j-確定.2b注意：一般地，g壬卬2 :以后沒有特別說明時，角氣（或卬/是所 求的輔助角.四.關于輔助角公式的靈活應用引入輔助角公式的主要目的是化簡三角函數式.在實際中結果是化為正弦 還是化為余弦要具體問題具體分析，還有一個重要問題是，并不是每次都要化 為a sin0 + b cos0 = a2 + b2 sin（0 + 中）的形式或a sin 0 + b cos 0 = J a2 + b2 cos（0-也）的形式.可以利用兩角和與差的 正、余弦公式靈活處理.例5 化下

12、列三角函數式為一個角的一個三角函數的形式.（1）J3sin a cos a ； TOC o 1-5 h z 2K（2）解：_sin( a) + 二 cos( a)636331v 3 sin a cos a = 2( sin a _ cos a)22(1)=2(sin a cos 一 cos a sin 一) = 2sin( a _)666J2 . z7ix J6z7i、_i_ sm( -ot) + 2r_ cos( -ot) 6363J2 1 . k x J3 z7i v= 2 sm(3- a) + cos% a)(2 )2sin(H-a)cos + cos(里-a)sin J2 . z2k

13、、=_1_ sm( -a)33在本例第（1）小題中，。=必,b = T,我們并沒有取點P （提-1 ）,而取的是點P （夠，1 ）.也就是說，當1、人中至少有一個是負值時.我們可以取p （阡|牛，或者p （阡 叫）.這樣確定的角甲（或 甲2）是銳角，就更加方便.7171 X例 6 已知向量& =(COS(X + _)J)/5 =(COS3 + 3), 2),7US = （sin（x + _）,0），求函數人=a-BB-c + 2的最大值及相應的x的值. TOC o 1-5 h z 7117171解:h(x) = cos2(x +sin(x + _)cos( x + _) + 212 、I +

14、cos(2% + _7i) 23 _ sin(2x + _7i) + _2232-2 、1 . 52 、 c= _cos(2x + _7i) - _ sin(2x + _7i) + 2=豐g cos(2x + 爭)萼 sin(2x + |k) + 2=2/Ecos(2x + 11k ) + 212.c . 1111一這時2x + 兀一2k兀，x k兀兀.k g Z這時1224此處,若轉化為兩角和與差的正弦公式不僅麻繁，而且易錯,請讀者一試.五.與輔助角有關的應用題與輔助角有關的應用題在實際中也比較常見,而且涉及輔角的范圍，在相應范 圍內求三角函數的最值往往是個難點.例7如圖3,記扇OAB的中心角為45 ，半徑為1,矩形PQMN內接于這個扇 形，求矩形的對角線1的最小值.解:連結OM,設ZAOM= .則MQ= sin ,OQ=COS ,OP=PN= sin .PQ=OQ-OP=COS - sin .12