【數(shù)學(xué)建模】第5講-無約束優(yōu)化模型

1、無約束優(yōu)化模型數(shù)學(xué)建模實驗內(nèi)容1. 無約束優(yōu)化基本思想及基本算法.4. 實驗作業(yè).3. 用MATLAB求解無約束優(yōu)化問題.2. MATLAB優(yōu)化工具箱簡介. 無約束最優(yōu)化問題求解無約束最優(yōu)化問題的的基本思想*無約束最優(yōu)化問題的基本算法返回標準形式：求解無約束最優(yōu)化問題的基本思想求解的基本思想 ( 以二元函數(shù)為例 )531連續(xù)可微多局部極小 唯一極小(全局極小)搜索過程最優(yōu)點 (1 1)初始點 (-1 1)-114.00-0.790.583.39-0.530.232.60-0.180.001.500.09-0.030.980.370.110.470.590.330.200.800.630.050

2、.950.900.0030.990.991E-40.9990.9981E-50.99970.99981E-8返回?zé)o約束優(yōu)化問題的基本算法 最速下降法是一種最基本的算法，它在最優(yōu)化方法中占有重要地位.最速下降法的優(yōu)點是工作量小，存儲變量較少,初始點要求不高；缺點是收斂慢，最速下降法適用于尋優(yōu)過程的前期迭代或作為間插步驟，當(dāng)接近極值點時，宜選用別種收斂快的算法. 1最速下降法（共軛梯度法）算法步驟：2牛頓法算法步驟： 如果f是對稱正定矩陣A的二次函數(shù)，則用牛頓法，經(jīng)過一次迭代就可達到最優(yōu)點,如不是二次函數(shù)，則牛頓法不能一步達到極值點，但由于這種函數(shù)在極值點附近和二次函數(shù)很近似,因此牛頓法的收斂速度

3、還是很快的. 牛頓法的收斂速度雖然較快，但要求黑塞矩陣可逆，要計算二階導(dǎo)數(shù)和逆矩陣，就加大了計算機的計算量和存儲量.3擬牛頓法返回MATLAB優(yōu)化工具箱簡介1.MATLAB求解優(yōu)化問題的主要函數(shù)2.優(yōu)化函數(shù)的輸入變量 使用優(yōu)化函數(shù)或優(yōu)化工具箱中其他優(yōu)化函數(shù)時, 輸入變量見下表:3.優(yōu)化函數(shù)的輸出變量見下表:用MATLAB解無約束優(yōu)化問題 其中等式（3）、（4）、（5）的右邊可選用（1）或（2）的等式右邊. 函數(shù)fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解. 常用格式如下：（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)（2）x= fmi

4、nbnd (fun,x1,x2 ，options)（3）x，fval= fminbnd（）（4）x，fval，exitflag= fminbnd（）（5）x，fval，exitflag，output= fminbnd（） 主程序為wliti1.m: f=2*exp(-x).*sin(x); fplot(f,0,8); %作圖語句 xmin,ymin=fminbnd (f, 0,8) f1=-2*exp(-x).*sin (x); xmax,ymax=fminbnd (f1, 0,8)例2 有邊長為3m的正方形鐵板，在四個角剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？解先編寫

5、M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).2*x;主程序為wliti2.m: x,fval=fminbnd(fun0,0,1.5); xmax=x fmax=-fval運算結(jié)果為: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的邊長為0.5m時水槽的容積最大,最大容積為2m3. 命令格式為:（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ）（2）x= fminunc（fun,X0 ，options）； 或x=fminsearch（fun,X0 ，options）（3）x，fval= fm

6、inunc（.）； 或x，fval= fminsearch（.）（4）x，fval，exitflag= fminunc（.）； 或x，fval，exitflag= fminsearch（5）x，fval，exitflag，output= fminunc（.）； 或x，fval，exitflag，output= fminsearch（.） 2.多元函數(shù)無約束優(yōu)化問題標準型為：min例3 min 1.編寫M文件 fun1.m:function f = fun1 (x)f = exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 2.輸入M文件wliti3

7、.m如下: x0 = -1, 1; x=fminunc(fun1,x0); y=fun1(x) 3.運行結(jié)果: x= 0.5000 -1.0000 y = 1.3029e-102. 畫出Rosenbrock 函數(shù)的等高線圖,輸入命令：contour(x,y,z,20) hold on plot(-1.2,2, o ); text(-1.2,2, start point) plot(1,1, o) text(1,1, solution)3.用fminsearch函數(shù)求解輸入命令:（不能用函數(shù)文件形式） f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2;x,fval,exitflag,ou

8、tput=fminsearch(f,-1.2 2)運行結(jié)果: x =1.0000 1.0000fval =1.9151e-010exitflag = 1output= iterations: 108 funcCount: 202 algorthm: Nelder-Mead simplex direct search 4.用fminunc 函數(shù)(1)建立M文件fun2.m function f=fun2(x) f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2(2)主程序wliti44.mX=fminunc(fun2,X0)例 產(chǎn)銷量的最佳安排 某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品有甲、乙兩個牌號，討論在產(chǎn)銷

9、平衡的情況下如何確定各自的產(chǎn)量，使總利潤最大.所謂產(chǎn)銷平衡指工廠的產(chǎn)量等于市場上的銷量.基本假設(shè)1價格與銷量成線性關(guān)系2成本與產(chǎn)量成負指數(shù)關(guān)系 模型建立 若根據(jù)大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù),求出系數(shù)b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,1=0.015,c1=20, r2=100,2=0.02,c2=30,則問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題：求甲,乙兩個牌號的產(chǎn)量x1，x2，使總利潤z最大. 為簡化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,問題轉(zhuǎn)化求z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2的極值.顯然其解為x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,我們把它作為原問題的初始值.總利潤為： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2 模型求解 1.建立M文件fun.m: function f = fun (x) y1=(100-x(1)- 0.1*x(2)-(30*exp(-0.015*x(1)+20)*x(1); y2=(280-0.2*x(1)- 2*x(2)-(100*exp(-0.02*x(2)+3