數(shù)值線性代數(shù)習(xí)題解答

1、徐樹(shù)方數(shù)值線性代數(shù)習(xí)題解答習(xí)題11.求下三角陣的逆矩陣的詳細(xì)算法。解設(shè)下三角矩陣L的逆矩陣為T(mén)我們可以使用待定法，求出矩陣T的各列向量。為此我們將T按列分塊如下:丁二氐爲(wèi),衛(wèi)注意到T(k,j)=T(k,j)!T(k,k尸二憶爲(wèi)上爲(wèi),兀=弘旳，用我們只需運(yùn)用算法111,逐一求解方程=閆，i=122便可求得注意考慮到內(nèi)存空間的節(jié)省，我們可以置結(jié)果矩陣T的初始狀態(tài)為單位矩陣。這樣，我們便得到如下具體的算法：算法(求解下三角矩陣L的逆矩陣T,前代法)預(yù)置歩置Tfor/=1:for疋=1:樣一1T(k,r)=T(kJL(kTCI十1:n,j)=冊(cè)十1:+endT(nJ)=wad2.設(shè)為兩個(gè)上三角矩陣，而

2、且線性方程組T=b是非奇異的，試給出一種運(yùn)算量為。3)的算法，求解該方程組。解因(呵一2,r)=-T-v)T，故為求解線性方程組律-巧i，可先求得上三角矩陣T的逆矩陣依照上題的思想我們很容易得到計(jì)算尸的算法。于是對(duì)該問(wèn)題我們有如下解題的步驟：計(jì)算上三角矩陣T的逆矩陣丁,算法如下：(2)計(jì)算上三角矩陣。運(yùn)算量大約為2算法1(求解上三角矩陣的逆矩陣，回代法。該算法的的運(yùn)算量為T(mén)a-k-Vj)=Ta-k-,j-T(k,j)Ta-k-vie)用回代法求解方程組：運(yùn)算量為滬；用回代法求解方程組：運(yùn)算量為滬。算法總運(yùn)算量大約為：3.證明：如果瓦二*一加：是一個(gè)Gauss變換，則加：也是一個(gè)Gauss變換。

3、解按Gauss變換矩陣的定義，易知矩陣+屍是Gauss變換。下面我們只需證明它是Gauss變換=的逆矩陣。事實(shí)上-由;)(+張7)=+總;成成用;-II嵐注意到，則顯然有從而有J=+滋：4.確定一個(gè)Gauss變換L,使解比較比較向量和皆對(duì)可以發(fā)現(xiàn)Gauss變換L應(yīng)具有功能：使向量站尸的第二行加上第一行-2-2-374S的2倍；使向量(2)的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss變換如下5證明：如果有三角分解，并且是非奇異的,證明設(shè)貝二囚1二厶6，其中厶2那么定理112中的L和U都是唯一的。都是單位下三角陣，卩1，2都是上三角陣。因?yàn)閍非奇異的，于是窈厶二注意到，單位下三角陣的逆仍是單位下三角陣

4、，兩個(gè)單位下三角陣的乘積仍是單位下三角陣；上三角陣的逆仍是上三角陣，兩個(gè)上三角陣的乘積仍是上三角陣。因此，上述等將是一個(gè)單位下三角陣與一個(gè)上三角陣相等，故此，它們都必是單位矩陣。即酵厶=/，從而即A的LU分解是唯一的。的定義如下6.設(shè)-1,如果r6其他.證明A有滿(mǎn)足陽(yáng)ER證明令的三角分解。是單位下三角陣，U應(yīng)XxX是上三角陣。定義如下2J_1i=1,2,衛(wèi)；J=旳.=1i=j0其余容易驗(yàn)證：A=7.設(shè)A對(duì)稱(chēng)且旳1=，并假定經(jīng)過(guò)一步Gauss消去之后，A具有如下形式證明山2仍是對(duì)稱(chēng)陣。證明根據(jù)Gauss變換的屬性，顯然做矩陣A的LU分解的第其中尿=（函1，g），將a分塊為那么由A的對(duì)稱(chēng)性，2對(duì)稱(chēng)

5、性則是顯而易見(jiàn)的。8.設(shè)rR步中的Gauss變換為是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，即A滿(mǎn)足又設(shè)經(jīng)過(guò)一步Gauss消去后，A具有如下形式于是山2主對(duì)角線上的元素滿(mǎn)足試證：矩陣川2仍是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣。由此推斷：對(duì)于對(duì)稱(chēng)的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣來(lái)說(shuō)，用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同樣的結(jié)果。證明依上題的分析過(guò)程易知，題中的1）衛(wèi)2非主對(duì)角線上的元素滿(mǎn)足|%|乞|宓快=吆由于A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，即故從而2）綜合（1）和（2）得|為卜乞麻|，JU2即，矩陣山2仍是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣。9.設(shè)有三角分解。指出當(dāng)把Gauss消去法應(yīng)用于梵3+1）矩陣也上時(shí)，怎樣才能不必存儲(chǔ)L而解出Ax=b?需要多少次乘法運(yùn)算？解用

6、Gauss消去法作A的LU分解，實(shí)際上就是對(duì)系數(shù)矩陣A作了一組初等行變換，將其化為上三角矩陣U。而這一組的初等行變換對(duì)應(yīng)的變換矩陣就是Z_1，即I71A=U如果把這一組初等行變換施加于方程右端向量b上，即有這就是說(shuō)，方程組Ax=b和是同解方程。而后者是上三角形方程組，可運(yùn)用本章算法112求解。算法如下：這樣我們就不必存儲(chǔ)L,通求解方程組二就，來(lái)求解原方程組=（1）用初等變換化；Jark=.總一1恥+1:旳北）=衛(wèi)茂+1:旳北）（匕幻川（疋+1:總我+1:=衛(wèi)（氏+1:臥疋+1:起）一川（氏+1:蹟（匕疋+1:巴）b（疋+1:旳）=b（疋+1:旳）一衛(wèi)茂+1:,k）b（k）end（2）利用回代法

7、求解方程組。該算法所需要的加、減、乘、除運(yùn)算次數(shù)為10.A是正定陣，如果對(duì)A執(zhí)行Gauss消去一步產(chǎn)生一個(gè)形式為的矩陣，證明且2仍是正定陣。證明不妨設(shè)從而有由于厶非奇異，故對(duì)vxeAB_1且，構(gòu)造下二070一1),(2)欲使，則應(yīng)有因此，込史應(yīng)滿(mǎn)足抵,便可按上述方法得到兀丹使得NS梢x=下面我們給出利用Gauss-Jordan變換求解方程組的計(jì)算方法。算法如下：假定A的各階主子陣非零，記第1步:假若舞“令滬卜1/琳屐/斜,0所以衛(wèi)是正定的。由方程組，解得，再由方程組，解得丄叮廣24.設(shè)是一個(gè)正定Hermite矩陣，其中證明：矩陣A-B是正定對(duì)稱(chēng)的。試給出一種僅用實(shí)數(shù)運(yùn)算的算法來(lái)求解線性方程組(

8、山+適)0+/)二+記)，x,y,b,ce.解既然是正定的，又對(duì)，有，且忑二一且zh0或x豐0,或jv豐0.注意到z*Hz=(xT-iyT)(4+zy)=Ax+yTAy)+i(xTBx+yTBy)顯然H正等價(jià)于A、B正定。對(duì)，則有，且V-Bl=AxyrAy由前面的討論，知道若H是正定的，則A是正定的,由于故矩陣C是正定的。(A+iB)(x+iy)=(Ax-By)+i(Ay+Bx)于是求解原復(fù)數(shù)方程組，等價(jià)于求解下列實(shí)方程組(Ax-By=b令+玄=c其矩陣形式為：由(1)得知系數(shù)矩陣正定，故該方程可采用平方根算法求解。習(xí)題2h2.1設(shè)，豈，耳是起個(gè)正數(shù)。證明：由卩(疋)=工務(wù)冷V-1)定義的函數(shù)

9、是一個(gè)范數(shù)。證明只需驗(yàn)證滿(mǎn)足定義2.1.1的三個(gè)條件。其中(1)和(2)，即正定性和齊次性顯然成立，下面給出(3)三角不等式的證明。像2范數(shù)的證明一樣，要證明三角不等式，需要用到Cauchy-Schwartz不等式M/M/ME,3eRM.欲證明這個(gè)不等式，只需證明：對(duì)任意的“eN，有下列等式成立|K1八VKJi-lJ2i-1j-1用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)起=1時(shí)，等式顯然成立。不妨歸納假設(shè)當(dāng)k時(shí)，等式仍然成立，即有S=SVJ.7V-1E2.1）現(xiàn)在來(lái)考慮=k+1時(shí)的情形，注意到1Ad-1A+1瓦貝卜3乞乞（也-/）J-lJZi-1J-1fJfc+1Xi-LJfc+1恵、恵ft+1A+1Ez2+九1

10、-乞乞（利廠”尸-云另氐+1兒-加勺）.2-1丿i-11j-1/ftfg、+卅+】乞近+墻+瘟品J-1/2-172JJ丄丘1.恵一穆工工（為凡-”勺尸-牙為（疋必+1-”忑J-石乞（陥刁-畑勺）2占2-1/JJ2；+洸i-12-11丘27-lj-ii-lIf丄XIJCJC心;-疽乞-“）!-17乙1-1J-1k、（k、i-1）2-1722（饒識(shí)-為”耳+k%4+兀1忑；尸+忑21九12-1必+2忑+護(hù)乞召”+總”；+1二另嗎x2-17!-1）2-1+xJt+l心+1至此，我們便證明了前述等式。亦即證明了Cauchy-Schwartz不等式。又因?yàn)闀A是起個(gè)正數(shù)，因此有11Ii-1=v（x）vtx

11、），我們有v（x+y）=為笑（嗎+”）j-i丿Z務(wù)xi+2Z召”+Z的対J-1Z2-1金o）+2咻）.心+/防=v（x）+v0）.2.2證明：當(dāng)且僅當(dāng)*和/線性相關(guān)且心工。時(shí)，才有卜+班日機(jī)+処證明因?yàn)閷?duì)任意的“已丈=（疋+/）（忑+7）=XTx+xTy+yTx+yTy胡：+2y+|惻；于是，當(dāng)且僅當(dāng)由等式（E2.1）可知，八惻川2當(dāng)且僅當(dāng)工工（-”y=0!-1J-1即，對(duì)任意的，此式成立不外乎二種情形：或x=0;或;或創(chuàng);Tb；+b；+即線性相關(guān)。叫是按列分塊的，那么2.3證明：如果川=血宀，衛(wèi)證明因?yàn)镮L=00ll=zkl=zzK2J-1J-12-12.4證明：|冷嘰回和嗣|八|嘰|%&=

12、魅屁，,跳,那么，根據(jù)第3題的結(jié)果我們有=shl證明記初廠制嚴(yán)岡“皿于是根據(jù)Frobenius范數(shù)定義易知，對(duì)2.5設(shè)化疋TR是由，且則，且-2_,ab=-，則。于是,AeRKXK定義的。證明耳二即是矩陣范數(shù)，并且舉例說(shuō)明卩不滿(mǎn)足矩陣范數(shù)的相容性。證明（1）證明耳二卩是矩陣范數(shù)。因?yàn)轱@然嗆滿(mǎn)足矩陣范數(shù)定義中的前三條：正定性、齊次性、三角不等式。下面我們證明還滿(mǎn)足“相容性”。對(duì)任意，記（2）一個(gè)卩不滿(mǎn)足矩陣范數(shù)的相容性的例子。取，從而戲“2.6證明：在艮”上，當(dāng)且僅當(dāng)山是正定矩陣時(shí)，函數(shù)是一個(gè)向量范數(shù)。是其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向證明由于A是正定矩陣，不妨設(shè)是A的特征值，2量，即也MJ2禺蘭即二7八

13、Zz命題的充分性是很顯然的。因?yàn)槭浅呱系南蛄糠稊?shù)，則由其正定性可知a必為正定矩陣?，F(xiàn)在我們來(lái)證明命題的必要性。即假設(shè)山是正定矩陣,滿(mǎn)足向量范數(shù)定義的三條性質(zhì)正定性。由a的正定性，正定性顯然成立。齊次性。對(duì)任意的，因?yàn)?，故有川?如(X).三角不等式。對(duì)于任意給定的丿，吏貝0+尹)=骯+刃aqg+刃應(yīng)用習(xí)題2.1的結(jié)果，得=7rAx+7XA.y證明首先用反證法，證明有非零解且x=Ax，TUI舶給旦而rb白右木堂二曲衛(wèi)忑+W母=/W+f(y)即有2.7設(shè)是腐上的一個(gè)向量范數(shù)，并且設(shè)仁卅：證明：若皿則虬塹闔是用上的一個(gè)向量范數(shù)。證明當(dāng)時(shí)，仏=0當(dāng)且僅當(dāng)x是尺上的零向量。再由假設(shè)是尺1上的一個(gè)向量范數(shù)

14、，于是可證得闊虛鬧滿(mǎn)足:正定性。事實(shí)上，對(duì)任意xeRB，而且當(dāng)且僅當(dāng)齊次性。事實(shí)上，對(duì)所有的史和有，因此三角不等式。事實(shí)上，對(duì)所有的有，因此有11+-HL+HL-2.8若且，證明現(xiàn)在來(lái)證明命題中的不等譏.1=(1-A)1-A(I-A)1故有即2.9設(shè)H.H是由向量范數(shù)|.|誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)。證明：若AeRnn非奇異，則mIIaxii證明因?yàn)閨.|是向量范數(shù)誘導(dǎo)的矩陣范數(shù)，故|l|=l,且對(duì)VGeRnn和xeR，有IGxIGIIx于是對(duì)xeRn，有IIx11=A-1AxA-|axE2.2)且當(dāng)|x|=1時(shí)，有-1L=846377iiil/ihl選取:，則可計(jì)算得1),=(0.749,1.502)

15、rn闔|胭|(zhì)=0.001/阪*忙血血圖|L/|亂=132.|J|HL=846377hUJUL.2.12證明對(duì)任意的矩陣范數(shù)都有-1，并由此導(dǎo)出k(A)1證明由定理2.1.6(1)可知，對(duì)任意矩陣范數(shù)都有鳳刈蘭洌，而Q三1,于是加,從而疋&=|嚴(yán)制制屮衛(wèi)卜ipix2.13若川和山+總都是非奇異的，證明|（工+場(chǎng)一*一1證明因?yàn)閮H+E)Jfl二(衛(wèi)+E)-1(7-(.4+丑)才1)二(衛(wèi)+總尸EA-1所以，根據(jù)矩陣范數(shù)的相容性可得2.14估計(jì)連乘1解假定JWM+站-鬥匸卜+礦護(hù)III鬥中忙的上界.創(chuàng)3那么加01耳）=口召（1+爲(wèi)）二口召口（1+爲(wèi)）=（1+）口疋,2-12-1iLid1+二口(1+

16、爲(wèi))iJ由定理2.3.3，若假定wu-001，則口(1+迓)蘭1+1.05112-1,從而衛(wèi)+譏IZJi-1其中IJ-l)u?I7J2).證明由定理23.2得7?（花+乜）=（X+也）（1+占2）=卞1（1+占1）（1+爲(wèi)）+花1+爲(wèi)），y?（心+也+吃）=貳（貳（疋1+也）+心）二可（1+兀）（1+玄）（1+亀）+也（1+爲(wèi)）（1+爲(wèi)）+心（1+爲(wèi)）,以此類(lèi)推，我們有fM-l2-l=2口（1+兮），i-lj-i其中：闔=o；禹卜亠一總n（i+）=i+哄令，那么fl=2碼o+譏再由定理2.3.3知2.16設(shè)恥宀“I7J-l)u,I7J2).，而且0.01.證明：其中霸的元素滿(mǎn)足代a=1,用；j

17、二乙）鬧01沖訂卜=1,屈忖|0血J十2）證明因?yàn)橛衫?.3.1的結(jié)果我們可以得到其中1+引=(1+F討匚(1+爲(wèi))隊(duì)卜1101=o.I再由定理2.3.3得|x|1.01u?Q=1,，？3).|y|1j-i-i從而得到曲加）二乞叫g(shù)工r3=(A+)x,其中2.17證明：若x是起維向量，則，其中證明由定理2.3.2可知，對(duì)一切二人用|cs|wu+0(u2).，有曲:才）=卅（1+即，圈s下面對(duì)用用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)用=1時(shí)，命題顯然成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題仍然成立，即有啟）=ji=(1+%)乞才，Whi+O(i?).vJ.丿Z那么當(dāng)氐+1時(shí)，我們有/+1fl2-1）flfli-l7其中，氐0J乞加+

18、OE），閥“于是+衛(wèi)(琉+j-(i+%)22兀+(1+瓦+1)心+11+7)從而(Jt+!flj-l/Jt+!王(1-u)(l-hi-O(u2)2x32+(l-u)x4.1 HYPERLINK l bookmark92 o Current Document i-1Jfl乞才%/Jt+!fl2：v-l)工(1-u)(l-hi-0(1?)氐才=(1-3+l)ii-。農(nóng))氐彳iJi(1+u)(1+O(u2)憶Xi=(1+(疋+l)u+0(u)22Xi HYPERLINK l bookmark166 o Current Document i-1i-1由介值定理顯然存在Kil-+I）u+0（u2），使J

19、t+l、上+1啟乞淚=（i+2L卅即當(dāng)用=氐+1時(shí)，命題亦成立。用正則化方法求對(duì)應(yīng)的LS問(wèn)題的解.解由定理3.1.4可知,2.設(shè)習(xí)題32A=34,b=156_丄LS問(wèn)題的解就是下列正則化方程組解:求對(duì)應(yīng)的LS問(wèn)題的全部解.解由定理3.1.4可知，LS問(wèn)題的解就是下列正則化方程組解:31f3933313111311丄其中設(shè)解由于2范數(shù)具有正交不變性，故GJ,求一個(gè)Householder變換丹和一個(gè)正數(shù)喘使得Hx=(a4600)r.lkll2=IIM.于是=7?+護(hù)+滬+于+4于是y=Hx=54600)匚令v=x-y=(0-10034)那么，可以驗(yàn)證滿(mǎn)足該題的要求.4確定匕=匚”白和使得解由2范數(shù)

20、具有正交不變性，故于是顯然，在復(fù)數(shù)空間中，2范數(shù)仍然保持著正交不變性。即對(duì)酉矩陣Q有IkIL=lle-IL根據(jù)題意，不妨設(shè)尹=0)從而cs-sc注意到于是C-s32_e0由巧，從而不妨設(shè)c-，即又因即，所以6.假定x和是尺1中的兩個(gè)單位向量，給出一種使用Givens變換的算法，計(jì)算一個(gè)正交陣,使得=$解首先考慮對(duì)指定的一個(gè)二維非零向量=（兀,也）和一個(gè)實(shí)數(shù)，如何構(gòu)造Givens變換c=coss=sin使=辭。注意2范數(shù)的正交不變性，則那么，G應(yīng)滿(mǎn)足（這里我們假定了，稍后對(duì)此于是這樣，我們便可考慮從x的前兩個(gè)分量（兀，花）開(kāi)始，施以Givens變換，便其第一個(gè)分量變換為風(fēng).然后對(duì)施以Givens

21、變換，使其首分量變換為乃；這樣一直繼續(xù)起一】次變換，最后使得（忌亠兀廠變換為幾點(diǎn)說(shuō)明：為使算法能一步步正常進(jìn)行，需要首先對(duì)單位向量忑用一組Givens變換進(jìn)行規(guī)范化處理，使其成為標(biāo)準(zhǔn)單位向量旳這樣在接下來(lái)的步的Givens變換中就能保證在規(guī)范化x后，對(duì)其實(shí)施正交變換的每一步中，可以通過(guò)逐次計(jì)算向量7的范數(shù)，當(dāng)其等于1時(shí)，即可結(jié)束算法。因?yàn)榇藭r(shí)，x和/的剩余分量均以為零。算法總結(jié)：算法1（用Givens變換求正交矩陣&使單位向量卞滿(mǎn)足：=si-）voidstandard(double*g,double*x,intn)inti,j;for(i=0;in;i+)for(j=0;j=0;i-)if(x

22、i+1=0)continue;elseif(fabs(xi+1)fabs(xi)t=xi/xi+1;s=1.0/sqrt(1.0+t*t);c=s*t;elset=xi+1/xi;c=1.0/sqrt(1.0+t*t);s=c*t;xi=c*xi+s*xi+1;xi+1=0;for(j=0;jn;j+)a=gij;b=gi+1j;gij=c*a+s*b;gi+1j=c*b-s*a;算法2(計(jì)算Givens變換，其中兒心血已知)voidGetCS(double*g,double*x,doubley)doublea;a=sqrt(x0*x0+x1*x1-y*y);if(a=0)g0=1;g1=0;

23、elseg0=(x0*y+a*x1)/(x0*x0+x1*x1);g1=(x1*y-a*x0)/(x0*x0+x1*x1);x0=y;x1=a;（使用Givens變換，求正交矩陣G使單位向量兀了滿(mǎn)足：）算法3voidXtoY(double*g,double*x,double*y,intn)standard(g,x,n);doublec,s,t;doublecs2;t=0.0;for(inti=0;in-1;i+)GetCS(cs,x+i,yi);for(intj=0;j|Z?)r=b!as=+宀,c=-srelses=-crr=afbc=1/Jl+廣水end算法2：（完成本題中的第一部分計(jì)算）

24、for&=2:挖日=gn呦呂1占1,冊(cè),山&幻戒1,1:加=匚耳占（1,1圖+s*九&1:簡(jiǎn)對(duì)二一&木蟲(chóng)1丄對(duì)十c水川茂,1/）e血.第二部分，也是需要n-1個(gè)Givens變換cs1七Gk=-sc其中從而算法3(計(jì)算Givens變換2)function:c?s=givens2(a;b)if(b=0)c=1?s=0;else現(xiàn)|b|述)r=a/h;s=J1+廣*elser=hfa;end算法4：（完成本題中的第二部分計(jì)算）fork=2.二叮=0誑解&匕1）:Q=嚴(yán)&1,1:起）+嚴(yán)川匕1:K）&匕1:對(duì)二一嚴(yán)衛(wèi)1,1:町+c*衛(wèi)匕1:旳）end.c=sr;s=cr712利用等于|p4（x+ctv

25、v）引|；=|衛(wèi)忑一引+2mvrAr（j4x-+cs2Aw:.證明：如果，那么忑=“證明令泛函如果X，那么對(duì)處必且惻了0）=|禺-礦=匕當(dāng)aeR了任+哪）-了（對(duì)氐一0且充分小時(shí),=2rAr(Ax-b)=1小曲）畑，從而由了連續(xù)性有a由we必的任意性，則必有屮-占）=,即化*屁-22-2;:習(xí)題四設(shè)方程組曲的系數(shù)矩陣為_(kāi)2-14=11證明：對(duì)同來(lái)說(shuō)，Jacobi迭代不收斂，而G-S迭代收斂；而對(duì)地來(lái)說(shuō),Jacobi迭代收斂，而G-S迭代不收斂。解對(duì)于國(guó)，則有1從而，_2于是從而，B=D(L+U)=G=(DLyU=det(27-B)=det(2Z-G)=-12久3)=Jo,2-12212z+iY

26、2丿即有能)=當(dāng)1,由定理4.2.1知，Jacobi迭代法不收斂；G-S迭代收斂。對(duì)于地,從而0-22_0-22_-10-12-3-2-202B進(jìn)而det(2Z=det(G9=2(2-2)2顯然，皿E)=，故由定理4.2.1知，Jacobi迭代法收斂；G-S迭代不收斂。，迭代格式設(shè)毗爐腎足皿月2,證明對(duì)任意的嚴(yán)二汕+g,0丄最多迭代起次就可得方程組的精確解。證明由于p=，故呂的所有特征值均為零。于是存在正交矩陣尸及矩陣使廠加，注意到于是：代另一方面，記：從而，嚴(yán)=珈小二瀘=0,考慮線性代數(shù)方程組Ax=b這里(1)(2)(3)解為何值時(shí)，山是正定的？為何值時(shí)，Jacobi迭代收斂？蟲(chóng)為何值時(shí)，G

27、-S迭代收斂？欲使它們均大于零，則一5=1.(1)對(duì)稱(chēng)矩陣山正定的充分必要條件是其特征值均為正數(shù)。而山的特征多項(xiàng)式為det(2/-A)=(X-T)3-a2(X-l)=(2-1)(2-1-1+g)于是山的特征值為：(2)由于Jacobi迭代矩陣為呂的特征多項(xiàng)式為其特征值為：.從而當(dāng)3)由于G-S迭代矩陣為且僅當(dāng)det(2Z-B)=-ck22=2(2-cs)(2+a)，于是呂譜半徑閥時(shí),Jacobi迭代收斂。.由定理4.2.1可知,Jacobi迭代收斂當(dāng)比t(ZZ-二護(hù)伉一)A=2=0-禺二從而/XG)=0故由定理4.2.1可知，當(dāng)時(shí),G-S迭代收斂。其特征多項(xiàng)式為特征值為：注意：(2)和(3)中

28、的喘可以是復(fù)數(shù)。4.證明：若非奇異，則必可找到一個(gè)排列方陣尸使得越的對(duì)角元素均不為零。證明用數(shù)學(xué)歸納法證明。時(shí)，結(jié)論顯然成立。假定對(duì)階非奇異矩陣，結(jié)論也成立。那么對(duì)于起階非奇異矩陣我們來(lái)證明結(jié)論也是成立的。將山按第1列作拉普拉斯展開(kāi)，即有det(j4)=山11+旳i&iI-耳1山沁工從而必存在使如血，即如，嗎工,排列陣能使碣1圧b蟲(chóng)是衛(wèi)的第行，是衛(wèi)的第1列左乘排列陣訂即非奇異。由歸納假設(shè)，則存在一。，使=P(U)A=其中/E必-1,壯必-1，舄已尉，且他1衛(wèi)）后的向量，國(guó)是如的余子式。顯然，加血階排列陣好使R的的對(duì)角元素均不為零。作用階排列陣則將只更換山的后起一1行，且使其右下角的d階子矩陣的

29、對(duì)角線元素非零。令戸叫），則曲的各對(duì)角線元素均非零。注意：本題結(jié)論為使用古典迭代法求解線性方程組奠定了可行性。對(duì)于非奇異線性方程組，完全可以假定其系數(shù)矩陣對(duì)角線元素均不為零，即D非奇異。5.若山是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的或不可約對(duì)角占優(yōu)的，則G-S迭代法收斂。證明若山是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的或不可約對(duì)角占優(yōu)的，則必有務(wù)小，因此D_L非奇異?，F(xiàn)在來(lái)證明：G-S迭代矩陣的譜半徑小于1。假設(shè)囚王I則由山的假設(shè)知,嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約對(duì)角占優(yōu)的，因此d（D-L-U）0比心-礦*0也是而由于這說(shuō)明迭代矩陣不存在模大于等于1的特征值。因此Q（國(guó)，從而G-S迭代收斂。6.設(shè)是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的。試證：證明由Gerschgorin

30、定理知，對(duì)任意起階復(fù)矩陣，其特征值都在復(fù)平面上的起個(gè)圓的和集內(nèi)。從而對(duì)任意一個(gè)特征值均有l(wèi)l-sKI-W-ll+sKI從而虛心）|=跟2心工口042KI2-1沖）7.設(shè)是具有正對(duì)角元素的非奇異對(duì)稱(chēng)矩陣。證明：若求解Ax=b的G-S迭代方法對(duì)任意近似皆收斂，則山必為正定的。證明方程組Ax=b的G-S迭代如下：F=礦】%+D礦切，由山的對(duì)稱(chēng)性可知，即G-S迭代又可寫(xiě)成陥嚴(yán)（）-）忑+（門(mén)-礦切若令方程組的精確解為x，并記九7一兀，則有（D-盼1二若令樂(lè)0-注意到：（口_）=衛(wèi)+廠，則有，t+i=芒仏用和21分別左乘上兩式，并做差得注意到：卯二廠兒，故得犬金丘-元+幾+1=e；D%由題設(shè)可知D是正定

31、的，因此，上式表明誤差向量具有某種“減小性”，即現(xiàn)在來(lái)證明若G-S迭代收斂，則A是正定的。用反證法：設(shè)A不正定，則可找到一個(gè)可，使由題設(shè)知:咖4所以卩一“）非奇異，于是方程組Q-厶）尹=玩有非零解，記為，則Eq=y（）-J7!=H0由假設(shè)知0工:衛(wèi)勺=yAyQ-yAyx于是有yyx工皿必這與的減小性相抵觸。該矛盾說(shuō)明A是正定的。8.若存在對(duì)稱(chēng)正定陣P,使B=P-HrPH為對(duì)稱(chēng)正定陣，試證迭代法收斂。證明設(shè)幾是丹的任一特征值,=Hxk+b,7=0,1,2.是丹關(guān)于久的特征向量，于是vTBv=vTPv-vTHTPHv=（-）vTPv因艮尸都是正定陣，故，即囚弋由久的任意性得知磯碼羽,故迭代法收斂。

32、，即陥1=兀一曲嚴(yán)兀-b）9.對(duì)Jacobi方法引進(jìn)迭代參數(shù)更或者陥1=（-泌“A）叫+oT比稱(chēng)為Jacobi松馳法（簡(jiǎn)稱(chēng)JOR方法）.證明：當(dāng)Ax=b的Jacobi方法收斂時(shí)，JOR方法對(duì)更乞】收斂.證明對(duì)于加=血，-U，則Jac。迭代矩陣月和jor迭代矩陣占凹分別是B=D-1（L+U）=I-D1A,氐=I-afDA.由于Jacobi迭代收斂當(dāng)且僅當(dāng)，即B的任一特征值囚現(xiàn)設(shè)d是Jacobi迭代矩陣月的一個(gè)特征值，非零向量卩是其對(duì)應(yīng)的特征向量，則有=Bv=V-D-1j4v即有進(jìn)而B(niǎo)av=-nj（D-1Av=即若幾是Jacobi迭代矩陣正值.當(dāng)取定：=更蘭1，并假即的所有特征值模小于1，從而成兔

33、）以,即J0R迭代收斂.10證明：若川是具有正對(duì)角元的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則JOR方法收斂的充分必要條件是山及2由貝均為正定對(duì)稱(chēng)矩陣.證明由于衛(wèi)的對(duì)角元都是正數(shù)，故的對(duì)角元為正數(shù)，故顯然，矩陣與月凹相似，兩者有相同的特征值。同時(shí)，它與A有著相同的實(shí)對(duì)稱(chēng)性。因此，兩個(gè)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。必要性。設(shè)JOR迭代收斂，即皿）.那么，矩陣（1-血血7的特征值在區(qū)間（1）內(nèi)，于是得出的特征值位于區(qū)間（2）內(nèi)，這就是說(shuō)皿V是正定的，而它與衛(wèi)具有相同的正定性，因此衛(wèi)也是正定的.另外，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣住一曲的特征值完全由_血的特征值所生成，所以V）的特征值將全部位于區(qū)間（2）內(nèi)，因此是正定的。注意到2I-DAD2=(2D-

34、A)D2?o?0因此矩陣也是正定的。充分性。一方面，因?yàn)閃呂JD2=of)2AD2所以，矩陣Q*呂是正定的，即特征值全部為正數(shù)，即的特征值均大于一1.結(jié)合兩方面的結(jié)果，得知：即JOR迭代收斂.11.證明：若系數(shù)矩陣衛(wèi)是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的或不可約對(duì)角占優(yōu)的，且松馳因子少已（），則SOR收斂。證明若矩陣衛(wèi)是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的或不可約對(duì)角占優(yōu)的，貝y必有血“，因此D非奇異。現(xiàn)假定某個(gè)復(fù)數(shù)囚汁則矩陣3+由-W-遇-価也是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的或不可約對(duì)角占優(yōu)的。不妨假設(shè)乂+炊，且_2|少、1=(Ci+由一1+/Tfl/+/T)二宀2%1-少)+(1-由尸+毋-莎(/+0=(l-fl?2)(c;2+/?2)-2ci(l

35、-fl?)+(l-u)2=(1-Q?)+0?+D(a2+fi2)-2cs+1-a?=(1-歸G-1)2+#2+#2_1)從而|X+fl?1|王乂0.因此得到于是由川的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)可知（幾+田也是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約對(duì)角占優(yōu)的。因此，是非奇異的。而d亡3-.)=det(27-(D-辺珂(1+由)D+価)=det(2?-oZ)J)det(2+o?1)DZoZ一aiU、H0.因此，幾不是SOR迭代矩陣丘的特征值。由幾的任意可知，R的特征值都將滿(mǎn)足囚，于是p3，從而SOR迭代收斂。12證明矩陣-1是具有相容次序的.證明只需按定義驗(yàn)證，取矩陣A符合相容次序的定義.習(xí)題5證明等式（5.

36、1.4）.證明考慮貳x）二”加-在方程組Ax=h的解向量壯處的Taylor展式，則有Tr72jrZ_、f一_、=一2hrxt+(x-x*)rj4(x一x*)注意到：川兀=心，于是上式可寫(xiě)為乜（衛(wèi)）丿如-1）2.設(shè)忑是由最速下降法產(chǎn)生的.證明:證明由Taylor展式易知注意到：圧1社1=(心-Ax)A1(b-貝mJ由山的正定性可知國(guó)“是正定的，因此，于是帆心_1)吒圧,從而，整理可得記：3.試證明當(dāng)最速下降法在有限步求得極小值時(shí)，最后一步迭代的下降方向必是衛(wèi)的一個(gè)特征向量.證明假定在氐+1步迭代后，得到了精確解陥產(chǎn)壯，即從而有即是說(shuō)幾是A的一個(gè)特征值，心是其對(duì)應(yīng)的特征向量.4證明線性方程組(5.

37、2.1)的解存在唯一證明為證明(5.2.1)的解存在唯一，只需證明其系數(shù)矩陣的行列式不為零.注意到:=rjt-i-哦-1母丘-1，/%,其中由定理5.2.1可得為了討論方便，我們引入記號(hào)，則將代入后，得比t=芝5.設(shè)恥加對(duì)稱(chēng)正定的，外SE必是互相共軛正交的，即風(fēng)吧=，心.證明外丑是線性無(wú)關(guān)的.證明若有一組數(shù)乩s滿(mǎn)足則對(duì)一切_匕，歸一定有o=Pi衛(wèi)&1+%A.)=iPiPi，注意到M細(xì)H0,由此得出即所有的購(gòu)=0.因此,P叫化是線性無(wú)關(guān)的.6設(shè)山為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，從方程組的近似解必二忑出發(fā)，依次求X使得其中勺是用階單位矩陣的第列，2屹一然后令驗(yàn)證這樣得到的迭代算法就是GS迭代法.證明在下面的討論中

38、，我們用”表示第迭代的向量，心表示兀的第個(gè)分量.第一步：從必=忑出發(fā)，沿旳方向搜索得新的極小值點(diǎn)乃，則=0+1，其中%=常X/血1=迪_縱了削仏從而址1-另如兀、2-1an戸1=址1-另如兀卩、Z7/戸刀=丹刀，=2,，吃an完成第一步后，可以看出口卩與直接從旳=叫做GS迭代一步所得的第一個(gè)分量相同.現(xiàn)在考慮第朋迭代.假定的前朋一1個(gè)分量符合GS迭代形式，現(xiàn)從$41出發(fā)，沿日理進(jìn)行極小化搜索,得極小值點(diǎn)其中y?H=m-1+CM-ieM,從而兒朋二凡-1聊+切初-相兒-占2-1if兒刀二兒一1刀,j+這里聊二2,用.顯然令，則忑+1恰與對(duì)忑經(jīng)一次G-S迭代后的近似解完全一致.7.設(shè)川是一個(gè)只有氐

39、個(gè)互不相同的特征值的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，廠是任一起維實(shí)向量.證明：子空間spa/f,衛(wèi)匚，衛(wèi)的維數(shù)至多是忒.證明由于山是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，因此存在一個(gè)完全實(shí)特征向量系.,，且設(shè)衛(wèi)關(guān)于入的特征向量為向量系，于是對(duì)任一颶維實(shí)向量廠有不妨設(shè)衛(wèi)的特征值為九人忑其重?cái)?shù)為，八卞是衛(wèi)的單位正交實(shí)特征從而的維數(shù)至多是氐.JtM,心亍亍吟即,a-eR2-11現(xiàn)在用歸納法證明零加0=0i廣+仇山+.+仇AKV知工肉孟12-1+C；在上式兩邊同乘以，則得到當(dāng)忑，假定存在用個(gè)實(shí)數(shù)屈炕使M-lgl?X攔=0=J=1?.7將其看作是弘我的方程，則系數(shù)矩陣為顯然，它是一個(gè)秩不超過(guò)1的矩陣.因此，該方程的解系的自由變量至少有起一1個(gè).這說(shuō)

40、明密心肚的維數(shù)為到多為1.習(xí)題61設(shè)AeRnm矩陣BeRmn矩陣且mn證明：證明令：AB=AB0,BA=BA顯然，欲證本題結(jié)論，只需證明：假設(shè)久已Z(AB)=X(BA).，分兩種情況討論：是久倉(cāng)的一個(gè)特征值，非零朋維向量x是久倉(cāng)關(guān)于幾的特征向量，即有鮎心加，顯然尿H0,于是有，此式表明幾是前的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為民從而有幾已幾幾=,則det()=det(5&二0.2eZ(RA)于是得知：1(AB)cKBA).同理可證：2.(AB)d2.(BA).從而X(AS)=Z(SA).和加的定義知:AB)=X(AB)J0,-,0M-M至此，命題得證.2設(shè)是竝的Schur分解證明：必有收斂的子序列伍J；

41、若記72則有是上三角矩陣.證明由于血_Q疋是4的Schur分解，因此耳一242是上三角矩陣，因此，仍上上三角矩陣.3.設(shè)沒(méi)有重特征值，8已嚴(yán)滿(mǎn)足血二曲.證明：若4QTQ是山的Schur分解，則BQ是上三角矩陣.證明根據(jù)題設(shè)，既然山?jīng)]有重特征值，不妨設(shè)山的特征值如下排列|.|0再由Schur分解定理，不妨設(shè)定,鳳H非奇畀，“嚴(yán)再將a=Qtq代入AB=BA中,整理可得QBQT=TQAQ為敘述方便，記X=Q呃.至此我們只需證明：對(duì)于一個(gè)起階矩陣X,如果7X=XT，則X必是上三角矩陣.用歸納法證明.當(dāng)ra=2時(shí)，設(shè)于是有由于，則對(duì)應(yīng)地有：忑衍1=乃1血，又因入5，故得乃1=0.即X是上三角矩陣.歸納假

42、設(shè)，當(dāng)丁和疋為階矩陣時(shí)結(jié)論成立.現(xiàn)在來(lái)證明起階的情況，我們將X寫(xiě)成如下塊形狀如X21其中X已CH,X12ecX21已C*XMMeCTX=1tI_0X21于是便有因tx=xt，故應(yīng)有忑存21=乜巨，于是(心-巧坊=0,禺1X12心，進(jìn)而得知XT=由題設(shè)不難清楚億一於)非奇異，因此乃1=0從而-掐迄=EZX1由歸納假設(shè)知疋11是上三角矩陣.從而證得*是上三角矩陣.4設(shè)AGCnn，對(duì)于給定的非零向量xGCn定義R(x)=x*Ax/x*x，稱(chēng)之為*對(duì)且的Rayleigh商.證明對(duì)任意的“已(兀芒。)有|Ax一R(x)x=inf|ax-Xx|，即Rayleigh商有極小剩余性.證明證明使|ax-Xx達(dá)到

43、極小的問(wèn)題是一個(gè)關(guān)于未知量X的線性最小二乘問(wèn)題.它的正規(guī)方程即是2x*xX=x*Ax，2XgC2其解為X=R(x).x*x從而|Ax一R(x)x=inf|ax一Xx|求山的特征值問(wèn)的條件數(shù).2卞-廠25.設(shè)解顯然旳都是單特征值.對(duì)于來(lái)說(shuō)，顯然”是山關(guān)于的一個(gè)模1特征向量同時(shí)，容易求得是山關(guān)于的滿(mǎn)足幾=1的左特征向量，故由特征值條件數(shù)的定義得知cond(cs)=1.對(duì)于&來(lái)說(shuō)，解方程得到山關(guān)于0的特征向量IkIL=1時(shí)，當(dāng)ft品二喬孑再由方程宀=臚可解得衛(wèi)關(guān)于0的左特征向量畀=(,令宀=i,則得出從而由特征值條件數(shù)的定義知7.分別應(yīng)用幕法于矩陣即初始向量一般地，顯然對(duì)于矩陣取初始向量，則迭代得到

44、y2=Z-并考察所得序列的特性.解我們不妨設(shè).對(duì)于矩陣，迭代如下1廠L阻max（乃）乂+u3=乂|2+2L+3由此我們可以看出，迭代數(shù)列：枕，和向量序列：姝均不收斂.但它們都各對(duì)應(yīng)地存在兩個(gè)收斂子列.即當(dāng)腳標(biāo)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)腳標(biāo)為偶數(shù)時(shí)，8.在幕法中，取得到一個(gè)精確到5位數(shù)字的特征向量需要多少次迭代？解分析幕法可知，由算法得到的向量序列他J滿(mǎn)足:于是得知只需欲使計(jì)算結(jié)果精確到5位數(shù)字,注意到：解之得：比2x12+19.設(shè)AGCnn有實(shí)特征值滿(mǎn)足X1九.X2n一1n九.現(xiàn)應(yīng)用幕法于矩陣A-RI.試證：選擇卩=的向量序列收斂到屬于X的特征向量的速度最快。證明由于特征值滿(mǎn)足XX.XX，因此不論卩如何，X

45、-卩的按模最大的特征值為泊衛(wèi)或12n一1n1X一卩，當(dāng)我們希望計(jì)算鬲和的時(shí)，首先就選擇卩使陽(yáng)一川K一h且使收斂速度的比值=nnnfl?二max顯然，當(dāng)，即=瓠心+忑時(shí)，收斂速度的比值最小，即收斂速度最快.10應(yīng)用幕法給出求多項(xiàng)式p(z)=zK+氣HFaYz+a0之模最大根的一種算法。解根據(jù)拉普拉斯展開(kāi)公式得知若令則有。這樣,11.利用反幕法計(jì)算矩陣我們就可以針對(duì)矩陣A利用幕法求得多項(xiàng)式的一個(gè)模最大特征值。（精確特征值中2=3-解取初始向量：弘丄，位移取為對(duì)應(yīng)于近似特征值久=1-26791朽）的近似特征向量.2=12679，用反幕法迭代一次，即先求解方程組0.732110_11.73211101

46、2.7321丄解得：扇=6力&孫賽一4恥0001為乙3=1815.81992；單位化得島=1.0000,=-0.7320,=0.2680.12.設(shè)恥并假定幾EU和盤(pán)皿論*0）已給定，且?guī)撞皇切l(wèi)的特征值.證明：可選擇滿(mǎn)足使得向量是山+總的一個(gè)特征向量.證明根據(jù)題設(shè)可知，曲都是非零向量，因此存在Householder變換豆使由于日是正交的，故，因此同時(shí)有(A=Av+Ev=Avu=Av+Xv-Av=Xv即向量是A+E關(guān)于其特征值幾的一個(gè)特征向量.13.設(shè)山衛(wèi)E：并假定幾是山+總的特征值但不是山的特征值.證明：存在向量嚇Eb使得v=(XI-A)-1u而且證明設(shè)非零向量*2為山+E關(guān)于幾的特征向量，即(

47、A+E)v=加再?。罕P(pán)=幾卩_百卩，貝yEv=u，從而14.應(yīng)用基本的QR迭代于矩陣第1步:V272_V|A第2步:并考察所得的矩陣序列的特點(diǎn)，并判斷該矩陣序列是否收斂？解用Givens正交變換實(shí)現(xiàn)QR迭代：即已說(shuō)明對(duì)該矩陣進(jìn)行QR迭代，其矩陣序列由兩個(gè)矩陣構(gòu)成其奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，因此該矩由上面的兩步迭代陣序列不收斂.15設(shè)山丘氏桿證明：存在初等置換矩陣尸和初等下三角矩陣皿使得有如下形式量外，至少還有一個(gè)分量非零，并設(shè)円1證明若山的第一列除第一個(gè)非分量外，其余各分量為零，則結(jié)論顯然成立.不妨假品的第一列除第一個(gè)分工叫T),那么我們?nèi)亩衅渲?繼而構(gòu)造Gauss變換苴中：2=（Q的1衛(wèi)泌/住21

48、）依照15即可完成.設(shè)，丁，矩陣.M=1-1,.則不難驗(yàn)證（叫川（倔i具有題中的形式.*=兀加,，少證明：如果乂是非奇異的，則X曲是上Hessenberg則證明由假設(shè)可知，疋的颶個(gè)列向量兀川兀是線性無(wú)關(guān)的我們令A(yù)X=XM現(xiàn)在我們來(lái)考察上式兩邊矩陣的前起一1列AXs=XMei,i=1,2,.,?31則有A1x=x+m2iAx+.+由于兀山兀忑是線性無(wú)關(guān)的，因此mi=輕i-強(qiáng)+2-mni=，輕+U=1從而得知18.證明：若円是一個(gè)非虧損的上Hessenberg矩陣.則丹沒(méi)有重特征值.證明設(shè)入是H的一個(gè)特征值，則由于H是不可約的，即次對(duì)角線上的各元素也，故A1的秩為，因此方程組（A-r）x=o的基礎(chǔ)

49、解系的秩為1,即H對(duì)應(yīng)于叫的特征向量都是線性相關(guān)的又H是非虧損的，因此，H將有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.而每個(gè)特征值只對(duì)應(yīng)存在一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此H必具有個(gè)互不相等的特征值.即丹沒(méi)有重特征值.19.設(shè)日是一個(gè)為可約的上Hessenberg矩陣.證明存在一個(gè)對(duì)角矩陣使得口“口的次對(duì)角元素均為證明令，D加鳳1）.貝y由矩陣乘積的定義可知的次對(duì)角元素依次為是多少？.令其均等于1，則可得到日2=d3=應(yīng)#21血,，=爲(wèi)_1札_氐_2應(yīng)21珀令dx=則血=血1，鳥(niǎo)=處2血1，必=松川-1血21從而D曲曲32應(yīng)21，札，皆1應(yīng)21），D1二出昭（1，曲2：,腫扌曲2；,.,虬；_1.為2：）.記険二噸

50、1離1忽血1，花-I/，M=垃麹1花21代2血1，您宀1血J，貝y魁（）=禮m20.設(shè)耳電心是一個(gè)上Hessenberg矩陣，并假定是丹的對(duì)應(yīng)于實(shí)特征值幾的一個(gè)特征向量.試給出一個(gè)算法計(jì)算正交矩陣。使得其中日1是用-1階上Hessenberg矩陣.解不妨假定惻2=1，以忑作為第一列構(gòu)造正交矩陣ae腫7，從而便有TOC o 1-5 h zxtH-1L-0Qhqq其中翱代於m.rn將算法6.4.1用于颶一1階矩陣，得H=Qp：HQ&,再令為本題所求的正交矩陣，即21.設(shè)丹是一個(gè)奇異的不可約上Hessenberg矩陣.證明：進(jìn)行一次基本的QR迭代后，丹的零特征值將出現(xiàn).證明由于丹是奇異的不可約上He

51、ssenberg矩陣，所以它的秩為.且由定理3.3.1可知，日的QR分解如下H=QR=其中RE進(jìn)曲是上三角矩陣，其對(duì)角元素均為正數(shù).于是H=RQ=H仍是上Hessenberg矩陣，這樣零特征值便出現(xiàn)了日的右下角.22.證明：若給定H=H并由比禺=點(diǎn)丘和丹jt+i=RJr+“討產(chǎn)生矩陣序列則仏片）（嶺.熱）=（豆-處0.（丹-氣）證明先來(lái)證明下面的等式關(guān)系：%（H#一氣Q=（丹沖一屮兀,qP事實(shí)上，應(yīng)侶-氣1=坷耳只八嚀-活=（坷耳+呼-氣）坷=（Hp+i旳）坷時(shí)，也（旦一片+占=巴問(wèn)兀+1兀下面我們用歸納法證明本題結(jié)論.當(dāng)7=0時(shí)，結(jié)論顯然成立.現(xiàn)歸納假設(shè)J=k時(shí)，結(jié)論仍然成立，即有（%.耳）

52、（鬆.&）二（舊-旳）（日-現(xiàn)在來(lái)證明對(duì)于=疋+1時(shí)，結(jié)論仍然成立.事實(shí)上，理一處。.（丹一冷）（丹一）二如S）（A&）（丹-思=（%.耳）鍥.禺）（駕-禺+）&=（SS）應(yīng)丘（禺-冷+pO應(yīng)I&=0玨耳+i）（&+i傀耳）23.設(shè)恥肝是一具有互不相同對(duì)角元素的上三角矩陣，給出計(jì)算山的全部特征向量的詳細(xì)算法.解根據(jù)題設(shè)，山的對(duì)角元素恰是起個(gè)互不相等的特征值.下面給出計(jì)算山關(guān)于特征值的特征向量方法.記山關(guān)于特征值抵的特征向量為，它是下列方程組的非零解向量?jī)H一6=0為討論其算法，我們記我們將M一曲和X做如下分塊這里1E尹1是一個(gè)非奇異的氐一1階上三角矩陣；v=k恥.是一個(gè)非奇異矩陣；從而，方程=等

53、價(jià)于顯然，乃=0,廿弘醞卩.根據(jù)以上的分析，我們得到計(jì)算山關(guān)于特征值的特征向量耳=1鼻疋2，乩)的算法步驟如下:任取弘H依次計(jì)算:取:首加=-=弘=o.證明：對(duì)任意的血曠7有QL分解：貝=創(chuàng)，其中。是酉矩陣，是下三角矩陣.利用這一分解給出對(duì)于24.求矩陣特征值的QL算法，并給出QL算法類(lèi)似于定理6.4.1的收斂性定理.證明對(duì)照定理3.3.1及定理6.4.1的證明.25.設(shè)日是上Hessenberg矩陣，并且假定已經(jīng)用列主元Gauss消去法求得分解=LU，其中尸是排列矩陣，/是下三角矩陣，是上三角矩陣.證明：仍是上Hessenberg矩陣，并且相似于豆.證明由于丹是上Hessenberg矩陣，故舊的三角分解中的具有如下形式：根據(jù)尸的形成，可知尸丄呈三對(duì)角形，即從而對(duì)于丿=1，閃_2及Aj+2，及，我們有這說(shuō)明用是上Hesse