2022-2023學(xué)年人教A版必修第一冊 第三章 3.4函數(shù)的應(yīng)用（一） 學(xué)案

1、第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)素養(yǎng)導(dǎo)引1.理解函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具(數(shù)學(xué)抽象)2.通過實例理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本過程(數(shù)學(xué)建模)學(xué)習(xí)任務(wù)一利用函數(shù)模型解決實際問題(數(shù)學(xué)建模)1(多選題)(2022金華高一檢測)通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述所用的時間若用f(x)表示學(xué)生掌握和接受概念的能力(f(x)越大，表示學(xué)生的接受能力越強)，x表示提出和講授概念的時間(單位：min)，長期的實驗和分析表明，f(x)與x有以下關(guān)系：f(x) eq blc(avs4alco1(0.1x22.6x43，0 x1

2、0，,59，10 x16，,3x107，16x30，) 則下列說法正確的是()A講授開始時，學(xué)生的興趣遞增；中間有段時間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學(xué)生的注意力開始分散B講課開始后第5 min比講課開始后第20 min，學(xué)生的接受能力更強一點C講課開始后第10 min到第16 min，學(xué)生的接受能力最強D需要13 min講解的復(fù)雜問題，老師可以在學(xué)生的注意力至少達到55以上的情況下完成【解析】選ABC.由題意，f(x) eq blc(avs4alco1(0.1x22.6x43，0 x10，,59，10 x16，,3x107，16x30，) 當(dāng)0 x10時，f(x)0.1x22.6x430

3、.1(x13)259.9，故函數(shù)f(x)在(0，10上單調(diào)遞增，最大值為f(10)59；當(dāng)10 x16時，f(x)59，故f(x)為常數(shù)函數(shù)；當(dāng)16x30時，f(x)3x107，故f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)f(16)59.則講授開始時，學(xué)生的興趣遞增；中間有段時間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學(xué)生的注意力開始分散故選項A正確因為f(5)0.1(513)259.953.5，f(20)3201074753.5，所以講課開始后第5 min比講課開始后第20 min，學(xué)生的接受能力更強一點，故選項B正確由選項A的分析可知，講課開始后第10 min到第16 min，學(xué)生的接受能力最強，故選項C正

4、確當(dāng)0 x10時，令f(x)55，則0.1(x13)24.9，所以(x13)249，解得x20或x6.又0 x10，故x6.當(dāng)16x30時，令f(x)55，則3x10755，解得x17 eq f(1,3) .因此，學(xué)生達到(或超過)55的接受能力的時間為17 eq f(1,3) 611 eq f(1,3) 13.所以需要13 min講解的復(fù)雜問題，老師不可以在學(xué)生的注意力至少達到55以上的情況下完成，故選項D錯誤2某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬元，并且生產(chǎn)量每增加一單位產(chǎn)品，成本就增加1萬元，又知總收入R是單位產(chǎn)量Q的函數(shù)：R(Q)4Q eq f(1,200) Q2，那么總利潤L(Q)

5、的最大值是_萬元，這時產(chǎn)品的產(chǎn)量為_(總利潤總收入成本)【解析】L(Q)4Q eq f(1,200) Q2(200Q) eq f(1,200) (Q300)2250，則當(dāng)Q300時，總利潤L(Q)取最大值250萬元答案：250300利用函數(shù)模型解決實際問題(1)分析函數(shù)類型，一般常見的函數(shù)模型有一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)等，根據(jù)不同函數(shù)的性質(zhì)解題；(2)常見的解決問題的方法有通過解不等式求范圍，利用單調(diào)性、配方法求最值學(xué)習(xí)任務(wù)二建立函數(shù)模型解決實際問題(數(shù)學(xué)建模)【典例】某種物資實行階梯價格制度，具體見表：階梯年用量(千克)價格(元/千克)第一階梯不超過10的部分6第二階梯超過10而不超過20

6、的部分8第三階梯超過20的部分10則一戶居民使用該物資的年花費y元關(guān)于年用量x千克的函數(shù)關(guān)系式為_；若某居民使用該物資的年花費為100元，則該戶居民的年用量為_千克【解析】(1)當(dāng)0 x10時，y6x；當(dāng)10 x20時，y6108(x10)8x20；當(dāng)x20時，y61081010(x20)10 x60.所以函數(shù)的解析式為y eq blc(avs4alco1(6x，0 x10，,8x20，10 x20，,10 x60，x20.) (2)通過分析函數(shù)的解析式可得，只有8x20100，解得x15.故該戶居民的年用量為15千克答案：y eq blc(avs4alco1(6x，0 x10，,8x20，1

7、0 x20，,10 x60，x20) 15建立函數(shù)模型解決實際問題(1)理解題意，設(shè)出未知量，結(jié)合未知量的實際意義，確定未知量的范圍；(2)根據(jù)題意求解析式，或設(shè)出解析式，利用待定系數(shù)法求出解析式；(3)如果是分段函數(shù)，那么根據(jù)每一段上函數(shù)的類型求解析式如圖所示，某學(xué)校要在長為8米、寬為6米的一塊矩形地面上進行綠化，計劃四周種花卉，花卉帶的寬度相同，均為x米，中間植草坪則草坪的面積為_，為了美觀，要求草坪的面積大于矩形土地面積的一半，則x的取值范圍為_【解析】花卉帶的寬度為x米(0 x3)，則中間草坪的長為(82x)米，寬為(62x)米根據(jù)題意可得，(82x)(62x) eq f(1,2) 8

8、6，整理得x27x60，即(x6)(x1)0.解得0 x1或x6.x6不符合題意，舍去故所求花卉帶寬度的范圍為(0，1).答案：(82x)(62x)(0，1)【補償訓(xùn)練】 某果蔬批發(fā)市場批發(fā)某種水果，不少于100千克時，批發(fā)價為每千克2.5元小王攜帶現(xiàn)金3 000元到市場采購這種水果，并以此批發(fā)價買進如果購買的水果為x千克，小王付款后剩余現(xiàn)金為y元，那么x與y之間的函數(shù)關(guān)系為_；x的取值范圍是_【解析】由題意可得x與y之間的函數(shù)關(guān)系為y3 0002.5x.由題意可知，最少買100千克，最多買 eq f(3 000,2.5) 1 200(千克)，所以x的取值范圍為100，1 200.答案：y3

9、0002.5x100，1 200學(xué)習(xí)任務(wù)三函數(shù)模型的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)【典例】(2022重慶高一檢測)某企業(yè)自主開發(fā)出一款新產(chǎn)品A，計劃在2022年正式投入生產(chǎn)，已知A產(chǎn)品的前期研發(fā)總花費為50 000元，該企業(yè)每年最多可生產(chǎn)4萬件A產(chǎn)品通過市場分析知，在2022年該企業(yè)每生產(chǎn)x(千件)A產(chǎn)品，需另投入生產(chǎn)成本R(x)(千元)，且R(x) eq blc(avs4alco1(f(1,2)x260 x，0 x10，,70 xf(1 800,x)230，10 x40.) (1)求該企業(yè)生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本p(元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求平均成本p的最小值；(總成本研發(fā)成本生產(chǎn)成本)(2)該企業(yè)

10、欲使生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本p66元，求其年生產(chǎn)量x(千件)的取值區(qū)間【解題思維】觀察函數(shù)的解析式；求最小值；求取值區(qū)間聯(lián)想分段函數(shù)、二次函數(shù)；配方法、基本不等式法；解不等式求范圍轉(zhuǎn)化利用配方、基本不等式求最值；解相應(yīng)的一元二次不等式求范圍【解析】(1)由題意知生產(chǎn)x千件的總成本為(R(x)50)千元，故一件的平均成本為 eq f(R（x）50,x) 元所以p(x) eq blc(avs4alco1(f(1,2)x60f(50,x)，0 x10，,70f(1 800,x2)f(180,x)，10 x40.) 當(dāng)x(0，10時，p(x) eq f(1,2) x60 eq f(50,x) eq f

11、(1,2) (x eq f(100,x) )60 eq f(1,2) 2 eq r(xf(100,x) 6070，當(dāng)且僅當(dāng)x eq f(100,x) ，即x10時，等號成立故最小值為p(10)70.當(dāng)x(10，40時，p(x)1 800( eq f(1,x) eq f(1,20) )265.5，故最小值為p(20)65.5.因為65.570，所以生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本最低為65.5元(2)由(1)知，要使p(x)66，只需考慮x(10，40，即70 eq f(1 800,x2) eq f(180,x) 66.整理得x245x4500，解得15x30.所以，當(dāng)x15，30時，生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平

12、均成本不超過66元關(guān)于函數(shù)模型的綜合應(yīng)用解決此類問題往往涉及分段函數(shù)等幾類函數(shù)模型，多種運算方法，如基本不等式法熟練掌握這些知識是解決問題的關(guān)鍵某跨國公司決定將某種智能產(chǎn)品大量投放中國市場，已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本為30萬元，每生產(chǎn)一臺需另投入90元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入為G(x)萬元，G(x) eq blc(avs4alco1(2503x，0 x25，,80f(3 000,x)f(9 000,x2)，x25.) (1)寫出年利潤S(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬臺)的函數(shù)解析式；(利潤銷售收入成本)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時，該公司獲得的利潤最大？求出最大利潤【解析】(1)年利潤SxG(x)3090 x eq blc(avs4alco1(3x2160 x30，0 x25，,10 xf(9 000,x)2 970，x25.) (2)當(dāng)0 x25時，S3x2160 x303(x eq f(80,3) )2 eq f(6 310,3) ，所以S在(0，25上單調(diào)遞增，所以Smax325216025302 095；當(dāng)x25時，S10 x eq