江西省師范大學(xué)附屬中學(xué)2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）

1、江西省師范大學(xué)附屬中學(xué)2018-2019學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）PAGE PAGE - 32 -江西省師范大學(xué)附屬中學(xué)2018-2019學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.數(shù)列1， ，的一個(gè)通項(xiàng)公式為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用排除法，令，對(duì)選項(xiàng)中的通項(xiàng)公式逐一驗(yàn)證排除即可.【詳解】因?yàn)樗粤钸x項(xiàng)中的值分別為，不合題意，所以可排除選項(xiàng)，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式、排除法解選擇題，屬于基礎(chǔ)題. 用特例代替題設(shè)所給的一般性條件，得出特殊結(jié)論，然后對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而做出正

2、確的判斷，這種方法叫做特殊法. 若結(jié)果為定值，則可采用此法.2.下列命題中，正確的是( )A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則【答案】D【解析】【分析】令可排除；令可排除；令可排除,從而可得結(jié)果.【詳解】時(shí)，若，則，排除；時(shí)，成立，不成立，排除；時(shí)，成立，不成立，排除；故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)以及特值法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 特殊法是“小題小做”的重要策略，排除法解答選擇題是高中數(shù)學(xué)一種常見的解題思路和方法，這種方法即可以提高做題速度和效率，又能提高準(zhǔn)確性，這種方法主要適合下列題型:(1)求值問題（可將選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證）；（2）求范圍問題（可在選項(xiàng)中取特殊值，逐一排除）；

3、（3）圖象問題（可以用函數(shù)性質(zhì)及特殊點(diǎn)排除）；（4）解方程、求解析式、求通項(xiàng)、求前 項(xiàng)和公式問題等等.3.某班運(yùn)動(dòng)隊(duì)由足球運(yùn)動(dòng)員18人，籃球運(yùn)動(dòng)員12人、羽毛球運(yùn)動(dòng)員6人組成(每人只參加一項(xiàng))，現(xiàn)從這些運(yùn)動(dòng)員中抽取個(gè)容量為的樣本，若分別采用系統(tǒng)抽樣法和分層抽樣法，則都不用剔除個(gè)體；當(dāng)抽取樣本的容量為時(shí)，若采用系統(tǒng)抽樣法，則需要剔除一個(gè)個(gè)體，則樣本容量 ( )A. 6B. 7C. 12D. 18【答案】A【解析】【分析】根據(jù)容量為采用系統(tǒng)抽樣法和分層抽樣法，都不用剔除個(gè)體可得為6的倍數(shù)，再利用樣本容量為時(shí)，采用系統(tǒng)抽樣法需要剔除1個(gè)個(gè)體，驗(yàn)證排除即可.【詳解】因?yàn)椴捎孟到y(tǒng)抽樣法和分層抽樣法，不用

4、剔除個(gè)體，所以為的正約數(shù)，又因?yàn)?，所以?的倍數(shù)，因此，因?yàn)楫?dāng)樣本容量為時(shí)，若采用系統(tǒng)抽樣法，則需要剔除1個(gè)個(gè)體，所以為35的正約數(shù)，因此，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣與系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.分層抽樣適合總體中個(gè)體差異明顯，層次清晰的抽樣，其主要性質(zhì)是，每個(gè)層次，抽取的比例相同.4.若的內(nèi)角滿足，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，由正弦定理可得，由余弦定理可得，故選D.5.的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)，利用基本不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以最小值是，故選B.【點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別

5、注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為18.若，則的值為( )A. 27B. 21C. 9D. 36【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為18, ，列出關(guān)于首項(xiàng)、公差以及項(xiàng)數(shù)的方程組，解方程組即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為18, ，所以根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，和等差數(shù)列中第項(xiàng)，可得通過第一個(gè)方程，可以得到，代入第二個(gè)式子，得到，再將代入第三個(gè)式子，得到，因?yàn)?，所以得?故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公

6、式、等差數(shù)列的前 項(xiàng)和公式，屬于中檔題. 等差數(shù)列基本量的運(yùn)算是等差數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個(gè)基本量一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解.7.將甲、乙兩個(gè)籃球隊(duì)5場(chǎng)比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)整理成如圖所示的莖葉圖，由圖可知以下結(jié)論正確的是( )A. 甲隊(duì)平均得分高于乙隊(duì)的平均得分中乙B. 甲隊(duì)得分的中位數(shù)大于乙隊(duì)得分的中位數(shù)C. 甲隊(duì)得分的方差大于乙隊(duì)得分的方差D. 甲乙兩隊(duì)得分的極差相等【答案】C【解析】【分析】由莖葉圖分別計(jì)算甲、乙的平均數(shù)，中位數(shù)，方差及極差可得答案【詳解】29；30，A錯(cuò)誤；甲的中位數(shù)是29，乙的中位數(shù)是30，2930,B錯(cuò)誤；甲的極差為31265，乙的極差

7、為32284，5D錯(cuò)誤；排除可得C選項(xiàng)正確，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了由莖葉圖求數(shù)據(jù)的平均數(shù)，極差，中位數(shù)，運(yùn)用了選擇題的做法即排除法的解題技巧，屬于基礎(chǔ)題.8.鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC=，則AC=( )A. 5B. C. 2D. 1【答案】B【解析】由面積公式得：，解得，所以或，當(dāng)時(shí)，由余弦定理得：=1，所以，又因?yàn)锳B=1，BC=，所以此時(shí)為等腰直角三角形，不合題意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故選B.考點(diǎn)：本小題主要考查余弦定理及三角形的面積公式，考查解三角形的基礎(chǔ)知識(shí).9.張邱建算經(jīng)是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上的杰作，該書中有首古民謠記載了一數(shù)列問題：“南山一棵竹，竹尾

8、風(fēng)割斷，剩下三十節(jié)，一節(jié)一個(gè)圈，頭節(jié)高五寸，頭圈一尺三，逐節(jié)多三分，逐圈少分三，一蟻往上爬，遇圈則繞圈。爬到竹子頂，行程是多遠(yuǎn)?”(注釋：第節(jié)的高度為0.5尺；第一圈的周長(zhǎng)為1.3尺；每節(jié)比其下面的一節(jié)多0.03尺；每圈周長(zhǎng)比其下面的一圈少0.013尺)，問：此民謠提出的問題的答案是( )A. 61.395尺B. 61.905尺C. 72.705尺D. 73.995尺【答案】A【解析】【分析】先判斷竹節(jié)長(zhǎng)成等差數(shù)列，竹節(jié)圈長(zhǎng)成等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】每節(jié)竹節(jié)間的長(zhǎng)相差尺，設(shè)從地面往長(zhǎng),每節(jié)竹長(zhǎng)為 ,是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列,由題意知竹節(jié)圈長(zhǎng),后一圏比前一圏細(xì)1

9、分3厘,即尺，設(shè)從地面往上,每節(jié)節(jié)圈長(zhǎng)為，可得是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列,一蟻往上爬,遇圈則繞圈.爬到竹子頂,行程是:，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀能力、數(shù)學(xué)建模能力和化歸思想以及等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于難題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.10.已知，則最小值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由得,可得且，分類討論，分別將原不等式去掉絕對(duì)值符號(hào)，利用基本不等式求其最小值，綜合兩種情況可得結(jié)果.【詳解】由得,

10、計(jì)算得出且.當(dāng)時(shí)，,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),此時(shí)的最小值.當(dāng)時(shí),，當(dāng)且僅當(dāng),即,即,計(jì)算得出或時(shí)(舍)取等號(hào),此時(shí)最小值為,綜上，最小值為,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.11.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比，若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則取最大值時(shí)， 的值為( )A. 8B. 8或9C. 9D.

11、 17【答案】B【解析】【分析】由公比， ，列出關(guān)于首項(xiàng) ，公比 的方程組，解得、的值，求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,代入,得到數(shù)列為等差數(shù)列,可得, 利用時(shí),取最大值，從而可得結(jié)果.【詳解】是等比數(shù)列且，公比,，解得，,則，則，由.數(shù)列是以4為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列.則數(shù)列的前項(xiàng)和，令，時(shí),，當(dāng)或9時(shí),取最大值.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算、等比數(shù)列的性質(zhì)與通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值，屬于難題.求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最大值的方法通常有兩種：將前項(xiàng)和表示成關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)有最大值（若不是整數(shù)，等于離它較近的一個(gè)或兩個(gè)整數(shù)時(shí)最大）；可根據(jù)且確定最大時(shí)的值.12.已知正實(shí)數(shù)滿足，若對(duì)

12、任意滿足條件的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為( )A. B. 7C. D. 8【答案】B【解析】【分析】由 ，利用，求得，恒成立，等價(jià)于恒成立，令，利用單調(diào)性求出的最小值，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】 ，且，故，整理即，又均為正實(shí)數(shù)，故，又對(duì)于任意滿足的正實(shí)數(shù)，均有恒成立，整理可得恒成立，令，令，時(shí)所以在上遞增，因此，實(shí)數(shù)的最大值為7，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問題，屬于難題不等式恒成立問題常見方法： 分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）； 數(shù)形結(jié)合( 圖象在 上方即可)； 討論最值或恒成立.二、填空題。13.若不等式對(duì)一切成立，則的取值范圍

13、是 _ _ .【答案】【解析】當(dāng)，時(shí)不等式即為 ，對(duì)一切恒成立 當(dāng)時(shí)，則須 ，由得實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立的參數(shù)取值范圍，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0進(jìn)行討論；當(dāng)，時(shí)不等式即為，對(duì)一切恒成立，當(dāng)時(shí) 利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出滿足的條件并計(jì)算，最后兩部分的合并即為所求范圍.14.若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則_?！敬鸢浮?7【解析】試題分析：設(shè)，則，.考點(diǎn)：1.等比數(shù)列的性質(zhì).15.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為_.【答案】1【解析】【分析】利用基本不等式可得時(shí)取最大值，此時(shí)可得，換元后利用配方法可得結(jié)果.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)

14、，令，則原式，的最大值為1，故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用以及配方法求最值，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，屬于中檔題.16.的內(nèi)角所對(duì)的邊分別，則下列命題正確的是_.若，則若，則若，則是銳角三角形若，則【答案】【解析】【分析】由,利用正弦定理可知，由余弦定理，結(jié)合基本不等式整理可得，從而可判斷；由余弦定理，結(jié)合基本不等式可得，從而可判斷；由先證明，從而可判斷；取可判斷.【詳解】由,利用正弦定理可知：，由余弦定理可得，整理可得：，,正確；，從而，從而，正確；， ，即，則，最大角為銳角，即是銳角三角形，正確；取滿足，此時(shí)， ，不正確，故答案為.【點(diǎn)睛】本題通過對(duì)多個(gè)命題

15、真假的判斷，綜合考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，屬于難題.這種題型綜合性較強(qiáng)，也是高考的命題熱點(diǎn)，同學(xué)們往往因?yàn)槟骋惶幹R(shí)點(diǎn)掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡(jiǎn)單的自己已經(jīng)掌握的知識(shí)點(diǎn)入手，然后集中精力突破較難的命題.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.某校高一(1)班的一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如圖.(1)求分?jǐn)?shù)在的頻數(shù)及全班人數(shù)；(2)求分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)，并計(jì)算頻率分布直方圖中間矩形的高.【答案】（1）2，25;（2）3,.【解析】【分析】（1）

16、根據(jù)頻率分布直方圖可求得分?jǐn)?shù)在之間頻率，由莖葉圖可得分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)，從而可得全班人數(shù)；（2）由莖葉圖可得分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)，利用頻數(shù)除以組距可得矩形的高.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在的頻率為，由莖葉圖知分?jǐn)?shù)在之間的成績(jī)?yōu)?6與58，即頻數(shù)為2，所以全班人數(shù)（人）；（2）由（1）可知全班人數(shù)為25，由莖葉圖知分?jǐn)?shù)在之外的共22人，所以分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)，頻率分布直方圖中間矩形的高為.【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖與頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于中檔題. 直方圖的主要性質(zhì)有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為；（2）組距與直方圖縱坐標(biāo)的乘積為該組數(shù)據(jù)的頻率.18.(1)求不等式的解集； (2)解

17、關(guān)于的不等式.【答案】（1）或或；（2）時(shí)，時(shí)，；時(shí)， 時(shí)，時(shí)，【解析】【分析】（1）當(dāng)或時(shí)，合題意；當(dāng)且時(shí)，原不等式等價(jià)于，分類討論即可得結(jié)果；（2）原不等式可化為， 時(shí)，解一次不等式即可；時(shí)，不等式即為，分四種情況討論，分別利用一元二次不等式的解法求解即可【詳解】（1）當(dāng)或時(shí)，合題意；當(dāng)且時(shí)，因?yàn)楹愠闪?，所以原不等式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，三個(gè)因式都為正，合題意；當(dāng)時(shí)，兩個(gè)因式為正，一個(gè)為負(fù)，不合題意；當(dāng)時(shí)，兩個(gè)因式為負(fù)，一個(gè)為正，合題意；當(dāng)時(shí)，三個(gè)因式都為負(fù)，不合題意；綜上可得，不等式的解集為或或.（2）原不等式可化為，(i)時(shí)，即(ii)時(shí)，不等式即為時(shí)，不等式化為；因?yàn)椋坏仁浇鉃闀r(shí)，不等式化

18、為，當(dāng)，即時(shí)，不等式解為；當(dāng)，即時(shí)，不等式解為當(dāng)，即時(shí)，不等式解為綜上,時(shí)，時(shí)，；時(shí)，時(shí)，時(shí)，【點(diǎn)睛】本題主要考查分式不等式與一元二次不等式的解法，考查了分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題. 分類討論思想的常見類型問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進(jìn)行分類討論的；問題中的條件是分類給出的；解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的；涉及幾何問題時(shí)，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的.19.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，（1）求c的值；（2）求面積S的最大值【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）要求邊，從已知出發(fā)，如能求得角即可，又已知條件是邊角關(guān)系，因此我們應(yīng)用正弦定

19、理把邊轉(zhuǎn)化為角，從而可很快求得，再正弦定理可得；（2）由（1），而由余弦定理有，可求得的最大值試題解析：（1），由正弦定理化簡(jiǎn)得：，即，整理得：，（2），則面積的最大值為考點(diǎn)：正弦定理，余弦定理，基本不等式20.某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下：零件的個(gè)數(shù)x(個(gè))2345加工的時(shí)間y(小時(shí))2.5344.5(1)求出關(guān)于x的線性回歸方程；(2)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要的時(shí)間?！敬鸢浮浚?）（2）【解析】試題分析: （1）先根據(jù)平均數(shù)定義求出，再將數(shù)據(jù)代入求，利用求，（2）求當(dāng)時(shí)，的值.試題解析:（1），（2）時(shí)，點(diǎn)睛：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)

20、系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系.如果線性相關(guān)，則直接根據(jù)用公式求，寫出回歸方程，回歸直線方程恒過點(diǎn).21.為響應(yīng)國(guó)家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2019年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用t(t0)萬(wàn)元滿足(k為常數(shù))。如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬(wàn)件。已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入12萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分)。(1)將該廠家2019年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用t萬(wàn)元的函數(shù)；(2