江西省師范大學附屬中學2021學年高一數學下學期期中試題（含解析）

1、江西省師范大學附屬中學2018-2019學年高一數學下學期期中試題（含解析）PAGE PAGE - 32 -江西省師范大學附屬中學2018-2019學年高一數學下學期期中試題（含解析）一、選擇題。每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.數列1， ，的一個通項公式為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用排除法，令，對選項中的通項公式逐一驗證排除即可.【詳解】因為所以令選項中的值分別為，不合題意，所以可排除選項，故選D.【點睛】本題主要考查數列通項公式、排除法解選擇題，屬于基礎題. 用特例代替題設所給的一般性條件，得出特殊結論，然后對各個選項進行檢驗，從而做出正

2、確的判斷，這種方法叫做特殊法. 若結果為定值，則可采用此法.2.下列命題中，正確的是( )A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則【答案】D【解析】【分析】令可排除；令可排除；令可排除,從而可得結果.【詳解】時，若，則，排除；時，成立，不成立，排除；時，成立，不成立，排除；故選D.【點睛】本題主要考查不等式的性質以及特值法的應用，屬于基礎題. 特殊法是“小題小做”的重要策略，排除法解答選擇題是高中數學一種常見的解題思路和方法，這種方法即可以提高做題速度和效率，又能提高準確性，這種方法主要適合下列題型:(1)求值問題（可將選項逐個驗證）；（2）求范圍問題（可在選項中取特殊值，逐一排除）；

3、（3）圖象問題（可以用函數性質及特殊點排除）；（4）解方程、求解析式、求通項、求前 項和公式問題等等.3.某班運動隊由足球運動員18人，籃球運動員12人、羽毛球運動員6人組成(每人只參加一項)，現從這些運動員中抽取個容量為的樣本，若分別采用系統抽樣法和分層抽樣法，則都不用剔除個體；當抽取樣本的容量為時，若采用系統抽樣法，則需要剔除一個個體，則樣本容量 ( )A. 6B. 7C. 12D. 18【答案】A【解析】【分析】根據容量為采用系統抽樣法和分層抽樣法，都不用剔除個體可得為6的倍數，再利用樣本容量為時，采用系統抽樣法需要剔除1個個體，驗證排除即可.【詳解】因為采用系統抽樣法和分層抽樣法，不用

4、剔除個體，所以為的正約數，又因為，所以為6的倍數，因此，因為當樣本容量為時，若采用系統抽樣法，則需要剔除1個個體，所以為35的正約數，因此，故選A.【點睛】本題主要考查分層抽樣與系統抽樣的應用，屬于基礎題.分層抽樣適合總體中個體差異明顯，層次清晰的抽樣，其主要性質是，每個層次，抽取的比例相同.4.若的內角滿足，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，由正弦定理可得，由余弦定理可得，故選D.5.的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化簡，利用基本不等式求解即可.【詳解】，當且僅當，即時等號成立，所以最小值是，故選B.【點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別

5、注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件才能應用，否則會出現錯誤.6.已知等差數列的前項和為18.若，則的值為( )A. 27B. 21C. 9D. 36【答案】A【解析】【分析】根據等差數列的前項和為18, ，列出關于首項、公差以及項數的方程組，解方程組即可得結果.【詳解】因為等差數列的前項和為18, ，所以根據等差數列的前項和公式，和等差數列中第項，可得通過第一個方程，可以得到，代入第二個式子，得到，再將代入第三個式子，得到，因為，所以得到,故選A.【點睛】本題主要考查等差數列的通項公

6、式、等差數列的前 項和公式，屬于中檔題. 等差數列基本量的運算是等差數列的一類基本題型，數列中的五個基本量一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解.7.將甲、乙兩個籃球隊5場比賽的得分數據整理成如圖所示的莖葉圖，由圖可知以下結論正確的是( )A. 甲隊平均得分高于乙隊的平均得分中乙B. 甲隊得分的中位數大于乙隊得分的中位數C. 甲隊得分的方差大于乙隊得分的方差D. 甲乙兩隊得分的極差相等【答案】C【解析】【分析】由莖葉圖分別計算甲、乙的平均數，中位數，方差及極差可得答案【詳解】29；30，A錯誤；甲的中位數是29，乙的中位數是30，2930,B錯誤；甲的極差為31265，乙的極差

7、為32284，5D錯誤；排除可得C選項正確，故選：C【點睛】本題考查了由莖葉圖求數據的平均數，極差，中位數，運用了選擇題的做法即排除法的解題技巧，屬于基礎題.8.鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC=，則AC=( )A. 5B. C. 2D. 1【答案】B【解析】由面積公式得：，解得，所以或，當時，由余弦定理得：=1，所以，又因為AB=1，BC=，所以此時為等腰直角三角形，不合題意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故選B.考點：本小題主要考查余弦定理及三角形的面積公式，考查解三角形的基礎知識.9.張邱建算經是中國古代數學史上的杰作，該書中有首古民謠記載了一數列問題：“南山一棵竹，竹尾

8、風割斷，剩下三十節(jié)，一節(jié)一個圈，頭節(jié)高五寸，頭圈一尺三，逐節(jié)多三分，逐圈少分三，一蟻往上爬，遇圈則繞圈。爬到竹子頂，行程是多遠?”(注釋：第節(jié)的高度為0.5尺；第一圈的周長為1.3尺；每節(jié)比其下面的一節(jié)多0.03尺；每圈周長比其下面的一圈少0.013尺)，問：此民謠提出的問題的答案是( )A. 61.395尺B. 61.905尺C. 72.705尺D. 73.995尺【答案】A【解析】【分析】先判斷竹節(jié)長成等差數列，竹節(jié)圈長成等差數列，然后利用等差數列求和公式求解即可.【詳解】每節(jié)竹節(jié)間的長相差尺，設從地面往長,每節(jié)竹長為 ,是以為首項，以為公差的等差數列,由題意知竹節(jié)圈長,后一圏比前一圏細1

9、分3厘,即尺，設從地面往上,每節(jié)節(jié)圈長為，可得是以為首項，為公差的等差數列,一蟻往上爬,遇圈則繞圈.爬到竹子頂,行程是:，故選A.【點睛】本題主要考查閱讀能力、數學建模能力和化歸思想以及等差數列的求和公式的應用，屬于難題.與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.10.已知，則最小值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由得,可得且，分類討論，分別將原不等式去掉絕對值符號，利用基本不等式求其最小值，綜合兩種情況可得結果.【詳解】由得,

10、計算得出且.當時，,當且僅當,即時取等號,此時的最小值.當時,，當且僅當,即,即,計算得出或時(舍)取等號,此時最小值為,綜上，最小值為,故選C.【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是，首先要判斷參數是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數是否在定義域內，二是多次用或時等號能否同時成立）.11.在各項均為正數的等比數列中，公比，若，數列的前項和為，則取最大值時， 的值為( )A. 8B. 8或9C. 9D.

11、 17【答案】B【解析】【分析】由公比， ，列出關于首項 ，公比 的方程組，解得、的值，求出等比數列的通項公式,代入,得到數列為等差數列,可得, 利用時,取最大值，從而可得結果.【詳解】是等比數列且，公比,，解得，,則，則，由.數列是以4為首項,以為公差的等差數列.則數列的前項和，令，時,，當或9時,取最大值.故選B.【點睛】本題主要考查對數的運算、等比數列的性質與通項公式以及等差數列的前項和的最值，屬于難題.求等差數列前項和的最大值的方法通常有兩種：將前項和表示成關于的二次函數，當時有最大值（若不是整數，等于離它較近的一個或兩個整數時最大）；可根據且確定最大時的值.12.已知正實數滿足，若對

12、任意滿足條件的，都有恒成立，則實數的最大值為( )A. B. 7C. D. 8【答案】B【解析】【分析】由 ，利用，求得，恒成立，等價于恒成立，令，利用單調性求出的最小值，進而可得結果.【詳解】 ，且，故，整理即，又均為正實數，故，又對于任意滿足的正實數，均有恒成立，整理可得恒成立，令，令，時所以在上遞增，因此，實數的最大值為7，故選B.【點睛】本題主要考查基本不等式的應用，利用導數求函數的最值以及不等式恒成立問題，屬于難題不等式恒成立問題常見方法： 分離參數恒成立(即可)或恒成立（即可）； 數形結合( 圖象在 上方即可)； 討論最值或恒成立.二、填空題。13.若不等式對一切成立，則的取值范圍

13、是 _ _ .【答案】【解析】當，時不等式即為 ，對一切恒成立 當時，則須 ，由得實數的取值范圍是，故答案為.點睛：本題考查不等式恒成立的參數取值范圍，考查二次函數的性質，注意對二次項系數是否為0進行討論；當，時不等式即為，對一切恒成立，當時 利用二次函數的性質列出滿足的條件并計算，最后兩部分的合并即為所求范圍.14.若等比數列的前n項和為，且，則_?！敬鸢浮?7【解析】試題分析：設，則，.考點：1.等比數列的性質.15.設正實數滿足，則當取得最大值時，的最大值為_.【答案】1【解析】【分析】利用基本不等式可得時取最大值，此時可得，換元后利用配方法可得結果.【詳解】，當且僅當時，等號成立，此時

14、，令，則原式，的最大值為1，故答案為1.【點睛】本題主要考查基本不等式的應用以及配方法求最值，意在考查綜合應用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題.16.的內角所對的邊分別，則下列命題正確的是_.若，則若，則若，則是銳角三角形若，則【答案】【解析】【分析】由,利用正弦定理可知，由余弦定理，結合基本不等式整理可得，從而可判斷；由余弦定理，結合基本不等式可得，從而可判斷；由先證明，從而可判斷；取可判斷.【詳解】由,利用正弦定理可知：，由余弦定理可得，整理可得：，,正確；，從而，從而，正確；， ，即，則，最大角為銳角，即是銳角三角形，正確；取滿足，此時， ，不正確，故答案為.【點睛】本題通過對多個命題

15、真假的判斷，綜合考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的應用，屬于難題.這種題型綜合性較強，也是高考的命題熱點，同學們往往因為某一處知識點掌握不好而導致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經掌握的知識點入手，然后集中精力突破較難的命題.三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.某校高一(1)班的一次數學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如圖.(1)求分數在的頻數及全班人數；(2)求分數在之間的頻數，并計算頻率分布直方圖中間矩形的高.【答案】（1）2，25;（2）3,.【解析】【分析】（1）

16、根據頻率分布直方圖可求得分數在之間頻率，由莖葉圖可得分數在之間的頻數，從而可得全班人數；（2）由莖葉圖可得分數在之間的頻數，利用頻數除以組距可得矩形的高.【詳解】（1）根據頻率分布直方圖可得分數在的頻率為，由莖葉圖知分數在之間的成績?yōu)?6與58，即頻數為2，所以全班人數（人）；（2）由（1）可知全班人數為25，由莖葉圖知分數在之外的共22人，所以分數在之間的頻數，頻率分布直方圖中間矩形的高為.【點睛】本題主要考查莖葉圖與頻率分布直方圖的應用，屬于中檔題. 直方圖的主要性質有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為；（2）組距與直方圖縱坐標的乘積為該組數據的頻率.18.(1)求不等式的解集； (2)解

17、關于的不等式.【答案】（1）或或；（2）時，時，；時， 時，時，【解析】【分析】（1）當或時，合題意；當且時，原不等式等價于，分類討論即可得結果；（2）原不等式可化為， 時，解一次不等式即可；時，不等式即為，分四種情況討論，分別利用一元二次不等式的解法求解即可【詳解】（1）當或時，合題意；當且時，因為恒成立，所以原不等式等價于，當時，三個因式都為正，合題意；當時，兩個因式為正，一個為負，不合題意；當時，兩個因式為負，一個為正，合題意；當時，三個因式都為負，不合題意；綜上可得，不等式的解集為或或.（2）原不等式可化為，(i)時，即(ii)時，不等式即為時，不等式化為；因為，不等式解為時，不等式化

18、為，當，即時，不等式解為；當，即時，不等式解為當，即時，不等式解為綜上,時，時，；時，時，時，【點睛】本題主要考查分式不等式與一元二次不等式的解法，考查了分類討論思想的應用，屬于中檔題. 分類討論思想的常見類型問題中的變量或含有需討論的參數的，要進行分類討論的；問題中的條件是分類給出的；解題過程不能統一敘述，必須分類討論的；涉及幾何問題時，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的.19.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，（1）求c的值；（2）求面積S的最大值【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）要求邊，從已知出發(fā)，如能求得角即可，又已知條件是邊角關系，因此我們應用正弦定

19、理把邊轉化為角，從而可很快求得，再正弦定理可得；（2）由（1），而由余弦定理有，可求得的最大值試題解析：（1），由正弦定理化簡得：，即，整理得：，（2），則面積的最大值為考點：正弦定理，余弦定理，基本不等式20.某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數據如下：零件的個數x(個)2345加工的時間y(小時)2.5344.5(1)求出關于x的線性回歸方程；(2)試預測加工10個零件需要的時間。【答案】（1）（2）【解析】試題分析: （1）先根據平均數定義求出，再將數據代入求，利用求，（2）求當時，的值.試題解析:（1），（2）時，點睛：函數關系是一種確定的關

20、系，相關關系是一種非確定的關系.事實上，函數關系是兩個非隨機變量的關系，而相關關系是非隨機變量與隨機變量的關系.如果線性相關，則直接根據用公式求，寫出回歸方程，回歸直線方程恒過點.21.為響應國家擴大內需的政策，某廠家擬在2019年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷量(即該廠的年產量)x萬件與年促銷費用t(t0)萬元滿足(k為常數)。如果不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件。已知2019年生產該產品的固定投入為6萬元，每生產1萬件該產品需要再投入12萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分)。(1)將該廠家2019年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數；(2