§11用Mathematica進(jìn)行廣義積分運(yùn)算

1、 6用進(jìn)行廣義積分運(yùn)算用Mathematica廣義積分的命令和求定積分的命令相同，都是:Integrate,x,下限，上限bf(x)dxa6.1無窮區(qū)間上廣義積分的運(yùn)算例61討論笄二dx的斂散性。xlnxIn1:二Integrate1xlnx,x,2,InfinityOut1=+a所以,Ldx發(fā)散。xlnx例6.2計(jì)算廣義積分厝exdxIn2:=IntegrateExp-x，x，0，+InfinityOut2=1例6.3計(jì)算廣義積分+8gx2dx。先判斷廣義積分0gdx和x2+2x+2,g是否收斂。In3:=Integrate1/(xA2+2x+2)，x，-Infinity，01Out3=2(

2、+i(Log1-i-Log1+i)In4:=Integrate1/(xA2+2x+2)，x，0，+Infinity1Out4=2(-i(Log1-i-Log1+i)即上面兩個(gè)廣義積分收斂，故原廣義積分收斂。下面計(jì)算其值In5:=Integrate1/(xA2+2x+2)，x，-Infinity，+InfinityOut5=6.2瑕積分的運(yùn)算 例6.5計(jì)算廣義積分02dx。(1x)2解In1：=021dx(1x)2 #Outl=，即廣義積分發(fā)散。例6.6計(jì)算廣義積分J6(x一4)3dx。解In:=Jo(x-4)tdxOut6=32l/3-3(-l)l/322/3定積分的收斂或發(fā)散有時(shí)依據(jù)被積分表

3、達(dá)式中的某個(gè)參數(shù)而定。例如兩個(gè)重要廣義積分:(1)J1ldx收斂鷹1)0 xa(2)J亠收斂(若a0時(shí)，積分收斂到占，否則發(fā)散。1In1:=e1=1xaOut1=IfRea1,+,xadx一1+a1例6.8計(jì)算廣義積分J,eaxsinxdx解In2：=e1=j,ea*xSinxdxOut2=IfRea0,eaxSirxdx若積分時(shí)指定參數(shù)Re(a)-1，條件表達(dá)式Re(a)0成立，則求得積分結(jié)果In3：=e1/.a-1Out3=12若指定條件表達(dá)式不成立，則Mathematica會(huì)輸出整個(gè)積分式In4:=el/.a兀Integrate:idiv:Integralof嚴(yán)Sinxdoesnotco

4、nvergeon0,8Out4=,eaxSinxdx我們也可以在Integrate命令中加入作為參數(shù)的假設(shè)條件，或者也可以指定不用條件表達(dá)式的積分結(jié)果,下表列出了Integrate命令的選項(xiàng):選項(xiàng)默認(rèn)值說明Assumptions假設(shè)的積分條件GenerateConditionsTrue是否用條件表達(dá)式的積分結(jié)果比如例6.2中，假設(shè)Re(a)-2因?yàn)榉蟁e(a)0，所以Mathematica能夠求出積分。In5:=Integrateea*xSinx，x，0，8，AssumptionsRea-2Out5=1+a2若假設(shè)的條件不成立，Mathematica會(huì)輸出原式，如例6.1中，若假設(shè)Re(a)

5、1，則假設(shè)的條件不成立，所以Mathematical出原式In6:=Integrate1/xa，（x，1，8），AssumptionsRea1Integrate:idiv:Integralofx-adoesnotconvergeon1，8Out6=Integratex-a，x，1，8，AssumptionsRea1設(shè)GenerateConditions為False則不使用條件表達(dá)式的積分結(jié)果:In7:=Integrate1/xa，（x，1，8），GenerateConditionsFalse1Out7=-1+a練習(xí)12.61、計(jì)算下列廣義積分的值:(l),#e-x2dx；(2),f丄dx； #

6、 #380)3(4)J彳x_1/3e_xdX；(5)3_0 x1dx(6)J8eaxdx； #,1力J+8dx；0ex(10)J1lnxdx0,1力J+8dx;1x2(1+x),+8xe-x2dx；02、討論下列廣義積分的斂散性: # #(1)j+81dx；1-ex(3)10 x1-x4dx;(2)J21dx；o(x-1)2(4)J2ln(tanx)dxo0 練習(xí)12.6答案1、計(jì)算下列廣義積分的值:(1)解In1:=IntegrateExp-xA2,x,0,InfinityOut1=解In2:=Integrate1/xA3,x,1,Infinity1Out2=2解In3:=Integrate

7、1/xA(1/3),x,0,8Out3=6解In4:=IntegratexA(-1/3)Exp-x,x,0,InfinityOut4=Gammx解In5:=Integrate,x,0,3x-1Log1+3Out=-2+23-2(-1+Log2)+2Log2+Log-1+3-(6)解In:=JExpa*xdx0Out6=IfRe(a)0,-1Jageaxdx0 #也可以通過1上式表示，當(dāng)Re(a)0,結(jié)果是-，否則無法計(jì)算，仍輸出原式。a選項(xiàng)指定參數(shù)的取值范圍：In7:=IntegrateExpa*x,x,0,00,AssumptionsTavO1Out7=-af1解In8:=+gdx1x2(1+x)Out8=1-Log2 # (8)解In9:=f+g01ExpxdxOut9=2 解In10:=J+，x*Expx2dx01Out10=2(10)解In11:=JiLogxdx0Out11=-12、討論下列廣義積分的斂散性:解In1:=J+，Xdx11ExpxOut1=所以J+，xdx收斂。11ex(2)解In2:=J2d