專題07 分式的化簡與求值

1、專題07分式的化簡與求值閱讀與思考給出一定的條件，在此條件下求分式的值稱為有條件的分式求值而分式的化簡與求值是緊密相連的，求值之前必須先化簡，化簡的目的是為了求值，先化簡后求值是解有條件的分式的化簡與求值的基本策略解有條件的分式化簡與求值問題時，既要瞄準目標又要抓住條件，既要根據(jù)目標變換條件又要:依據(jù)條件來調(diào)整目標，除了要用到整式化簡求值的知識方法外，還常常用到如下技巧1恰當引入?yún)?shù)；2取倒數(shù)或利用倒數(shù)關(guān)系；3拆項變形或拆分變形；4整體代入；5利用比例性質(zhì)等例題與求解【例l】已知a23a10，則代數(shù)式a3a61的值為解題思路：目前不能求出a的值，但可以求出a（“希望杯”邀請賽試題）113，需要

2、對所求代數(shù)式變形含“a”aa【例2】已知一列數(shù)a,a,a,a,a,a,a,且a8，a5832，123456717a1a2a2a3a3a4a4a5a5a6a6，則a為（）a57A648B832C1168D1944解題思路：引入?yún)?shù)k，把a1【例3】xyz3a(a0)（五城市聯(lián)賽試題）a用k的代數(shù)式表示，這是解決等比問題的基本思路7求(xa)(ya)(ya)(za)(za)(xa)(xa)2(ya)2(za)2（宣州競賽試題）解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)，所求代數(shù)式是關(guān)于xa、ya、za的代數(shù)式，而條件可以拆成aaxa、y、z的等式，因此很自然的想到用換元法來簡化解題過程【例4】已知xyyzzx1,2,3,

3、求x的值xyyzzx（上海市競賽試題）解題思路：注意到聯(lián)立等式得到的方程組是一個復雜的三元一次方程組，考慮取倒數(shù)，將方程組化為簡單的形式1111【例5】不等于0的三個正整數(shù)a,b,c滿足abcabc，求證：a,b,c中至少有兩個互為相反數(shù)解題思路：a,b,c中至少有兩個互為相反數(shù)，即要證明(ab)(bc)(ca)0（北京市競賽試題）【例6】已知a,b,c為正整數(shù)，滿足如下兩個條件：abc32;bcacababc1求證：以a,b,c為三邊長可以構(gòu)成一個直角三角形bcacab4解題思路：本題熟記勾股定理的公式即可解答（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）能力訓練abcdabcd1若，則的值是bcdaabcd（“

4、希望杯”邀請賽試題）2已知xx23x11，則x2x49x213若ax21998,bx21999,cx22000且abc24，則的值為（廣東競賽試題）cab111abbcacabc（“縉云杯”競賽試題）4已知2x3xy2y311，則x2xyy5xy5如果a1111,b1，那么c（）bca11A1B2CD24（“新世紀杯”競賽試題）6設(shè)有理數(shù)a,b,c都不為0，且abc0，則111b2c2a2c2a2b2a2b2c2值為（）A正數(shù)B負數(shù)C零D不能確定的7已知4x3y6z0,x2y7z0(xyz0)，則2x23y26z2x25y27z2的值為（）A0B1C2D不能確定8已知xx2mx11，則x3x6

5、m3x31的值為（）A1B111CDm333m223m219設(shè)abc0，求a2b2c22a2bc2b2ac2c2ab的值10已知x111yz其中x,y,z互不相等，求證x2y2z21yzx（天津市競賽試題）11設(shè)a,b,c滿足1111abcabc，求證1111a2n1b2n1c2n1a2n1b2n1c2n1（n為自然數(shù)）（波蘭競賽試題）12三角形三邊長分別為a,b,c（1）若aabcbcbca，求證：這個三角形是等腰三角形；1111（2）若，判斷這個三角形的形狀并證明abcabc13已知axbycz1，求111111的值1a41b41c41x41y41z4（“華杯賽”試題）（1）x114解下列

6、方程（組）：x8x2x7x2x9x3x8；（江蘇省競賽試題）（2）5x96x84x192x21x19x9x6x8；（“五羊杯”競賽試題）xyz2111111（3）yzx3111zxy4（北京市競賽試題）1設(shè)a,b,c滿足abc0，abc0，若xaB級bc，abc111111ya()b()c()，則x2y3xybccaab2若abc0，且abbcca(ab)(bc)(ca)，則cababc3設(shè)a,b,c均為非零數(shù)，且ab2(ab),bc3(bc),ac4(ac)，則abc4已知x,y,z滿足xyzx2y2z21，則yzxzyxyzxzyx的值為5設(shè)a,b,c是三個互不相同的正數(shù)，已知accb，那

7、么有（）babaA3b2cB3a2bC2bcD2ab1111116如果abc0，4，那么abca2b2c2的值為（）A3B8C16D20(x2)4(x1)217已知x25x19910，則代數(shù)式的值為（）(x1)(x2)A1996B1997C1998D19999xy6x15y4x25xy6y28若，則3y2x5yxx22xy3y2的值為（）A99BC5D624（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）9已知非零實數(shù)a,b,c滿足abc0（1）求證：a3b3c33abc；（2）求(abbccacab)()的值cababbcca（北京市競賽試題）10已知a24a10，且a4ma212a3ma22a3求m的值（北京市競

8、賽試題）11完成同一件工作，甲單獨做所需時間為乙、丙兩人合做所需時間的p倍，乙單獨做所需時間為甲、丙兩人合做所需時間的q倍；丙單獨做所需時間為甲、乙兩人合做所需時間的x倍，求證：xpq2(pq10)pq1（天津市競賽試題）b2c2a2a2c2b2b2a2c2,B,C12設(shè)A，當ABC3時，2bc2ac2ab求證：A2002B2002C20023（天津市競賽試題）13某商場在一樓和二樓之間安裝了一自動扶梯，以均勻的速度向上行駛，一男孩和一女孩同時從自動扶梯上走到二樓（扶梯行駛，兩人也走梯）如果兩人上梯的速度都是勻速的，每次只跨1級，且男孩每分鐘走動的級數(shù)是女孩的2倍已知男孩走了27級到達扶梯頂部，而女孩走了18級到達頂部（1