高中數(shù)學(xué)必修2第12章知識點(diǎn)習(xí)題

1、第一章 空間幾何體1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖1 三視圖： 正視圖：從前往后 側(cè)視圖：從左往右 俯視圖：從上往下2 畫三視圖的原則： 長對齊、高對齊、寬相等3直觀圖：斜二測畫法4斜二測畫法的步驟：（1）.平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變；（3）.畫法要寫好。5 用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖1.3 空間幾何體的表面積與體積（一 ）空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積： 各個面面積之和2 圓柱的表面積 3 圓錐的表面積4 圓臺的表面積5 球的表面積（二）空間

2、幾何體的體積1柱體的體積 2錐體的體積 3臺體的體積 4球體的體積 第一章 空間幾何體一、選擇題1有一個幾何體的三視圖如下圖所示，這個幾何體可能是一個( ) 主視圖 左視圖 俯視圖 (第1題)AHYPERLINK /棱臺BHYPERLINK /棱錐CHYPERLINK /棱柱DHYPERLINK /正八面體2如果一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45，腰和上底均為的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是( )A2BCD3棱長都是的三棱錐的表面積為( )AB2C3D44長方體的一個頂點(diǎn)上三條棱長分別是3，4，5，且它的8個頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個球的表面積是( )A25B50C125D

3、都不對5正方體的棱長和外接球的半徑之比為()A1B2C2D36在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120，若使ABC繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積是( )ABCD7若底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長為5，它的對角線的長分別是9和15，則這個棱柱的側(cè)面積是( )A130B140C150D1608如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為3的正方形，EFAB，EF，且EF與平面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為( )AB5 C6D9下列關(guān)于用斜二測畫法畫直觀圖的說法中，錯誤的是( )A用斜二測畫法畫出的直觀圖是在平行投影下畫出的空間圖形B幾何體的直觀圖的長、寬、

4、高與其幾何體的長、寬、高的比例相同C水平放置的矩形的直觀圖是平行四邊形D水平放置的圓的直觀圖是橢圓10如圖是一個物體的三視圖，則此物體的直觀圖是( )(第10題)二、填空題11一個棱柱至少有_個面，面數(shù)最少的一個棱錐有_個頂點(diǎn)，頂點(diǎn)最少的一個棱臺有_條側(cè)棱12若三個球的表面積之比是123，則它們的體積之比是_HYPERLINK /13正方體ABCDA1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方體的棱長為a，則三棱錐OAB1D1的體積為_14如圖，E，F(xiàn)分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是_15已知一個長方體共一頂點(diǎn)的三個面的

5、面積分別是、，則這個長方體的對角線長是_，它的體積為_16一個直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個鐵球，球全部沒入水中后，水面升高9厘米則此球的半徑為_厘米三、解答題17有一個正四棱臺形狀的油槽，可以裝油190 L，假如它的兩底面邊長分別等于60 cm和40 cm，求它的深度18 *已知半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，求這個半球的體積與正方體的體積之比提示：過正方體的對角面作截面19如圖，在四邊形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2，AD2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積(第19題)20養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用)，已建的倉庫的

6、底面直徑為12 m，高4 m，養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽，現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4 m(高不變)；二是高度增加4 m(底面直徑不變)HYPERLINK /(1)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的體積；(2)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；(3)哪個方案更經(jīng)濟(jì)些？第二章 直線與平面的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.11 平面含義：平面是無限延展的2 平面的畫法及表示DCBA（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）（2）平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也

7、可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點(diǎn)或者相對的兩個頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。3 三個公理：（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為ALBL = L AB公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)CBA（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面。符號表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線 = 有且只有一個平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。PL（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號表示為：P =L，且PL公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)2.1.2 空間中直線與直線之間

8、的位置關(guān)系1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。2 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線=acabcb強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)4 注意點(diǎn)： a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為了簡便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角(0， )

9、； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點(diǎn)（2）直線與平面相交 有且只有一個公共點(diǎn)（3）直線在平面平行 沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表示a a=A a2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一

10、條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：a b = aab2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。符號表示：a b ab = P ab2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：aa ab= b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面

11、同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：= a ab = b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面互相垂直，記作L，直線L叫做平面的垂線，平面叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。 L p 2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點(diǎn)： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2平面與平面垂直

12、的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A 梭 l B2、二面角的記法：二面角-l-或-AB-3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3.3 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理： 兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。第二章綜合檢測題一、選擇題1若直線a和b沒有公共點(diǎn)，則a與b的位置關(guān)系是()A相交B平行C異面 D平行或異面2平行六面體ABCDA1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為()A3B4C5D63已知平面和直線l，則內(nèi)

13、至少有一條直線與l()A平行B相交C垂直D異面4長方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線AB，A1D1所成的角等于()A30B45C60D905對兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面，使得()Aa，b Ba，bCa，b Da，b6下面四個命題：若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面；若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交；若ab，則a，b與c所成的角相等；若ab，bc，則ac.其中真命題的個數(shù)為()A4B3C2D17在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段A1B1，B1C1上的不與端點(diǎn)重合的動點(diǎn)，如果A1EB1F，有下面四個結(jié)論：EFAA1；EFAC；EF與AC異面；E

14、F平面ABCD.其中一定正確的有()ABCD8設(shè)a，b為兩條不重合的直線，為兩個不重合的平面，下列命題中為真命題的是()A若a，b與所成的角相等，則abB若a，b，則abC若a，b，ab，則D若a，b，則ab9已知平面平面，l，點(diǎn)A，Al，直線ABl，直線ACl，直線m，n，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是()AABm BACmCAB DAC10(2012大綱版數(shù)學(xué)(文科)已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CC1的中點(diǎn)，那么直線AE與D1F所成角的余弦值為()Aeq f(4,5) B. .eq f(3,5)C.eq f(3,4) Deq f(3,5)11已知三棱錐D

15、ABC的三個側(cè)面與底面全等，且ABACeq r(3)，BC2，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的余弦值為()A.eq f(r(3),3)B.eq f(1,3)C0Deq f(1,2)12如圖所示，點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，則PB與AC所成的角是()A90 B60C45 D30二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在題中的橫線上)13下列圖形可用符號表示為_14正方體ABCDA1B1C1D1中，二面角C1ABC的平面角等于_15設(shè)平面平面，A，C，B，D，直線AB與CD交于點(diǎn)S，且點(diǎn)S位于平面，之間，AS8，BS6，CS12，則S

16、D_.16將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角ABDC，有如下四個結(jié)論：ACBD；ACD是等邊三角形；AB與平面BCD成60的角；AB與CD所成的角是60.其中正確結(jié)論的序號是_三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(10分)如下圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC與A1B1C1都為正三角形且AA1面ABC，F(xiàn)、F1分別是AC，A1C1的中點(diǎn)求證：(1)平面AB1F1平面C1BF；(2)平面AB1F1平面ACC1A1.18(本小題滿分12分)如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD

17、的中點(diǎn)(1)證明：CD平面PAE；(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐PABCD的體積19(12分)如圖所示，邊長為2的等邊PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC2eq r(2)，M為BC的中點(diǎn)(1)證明：AMPM；(2)求二面角PAMD的大小20(本小題滿分12分)(2010遼寧文，19)如圖，棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1CA1B.(1)證明：平面AB1C平面A1BC1；(2)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B平面B1CD，求A1DDC1的值21(12分)如圖，ABC中，ACBCeq f(r(2),2)AB，ABED是

18、邊長為1的正方形，平面ABED底面ABC，若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)(1)求證：GF底面ABC；(2)求證：AC平面EBC；(3)求幾何體ADEBC的體積V.分析(1)轉(zhuǎn)化為證明GF平行于平面ABC內(nèi)的直線AC；(2)轉(zhuǎn)化為證明AC垂直于平面EBC內(nèi)的兩條相交直線BC和BE；(3)幾何體ADEBC是四棱錐CABED.22(12分)如下圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)(1)求證：ACBC1；(2)求證：AC1平面CDB1；(3)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值第一章 空間幾何體參考答案A組一、選擇題1A解析：從俯視圖來看，上、下

19、底面都是正方形，但是大小不一樣，可以判斷可能是棱臺2A解析：原圖形為一直角梯形，其面積S(11)223A解析：因?yàn)樗膫€面是全等的正三角形，則S表面44B解析：長方體的對角線是球的直徑，l5，2R5，R，S4R2505C解析：正方體的對角線是外接球的直徑6D解析：VV大V小r2(11.51)7D解析：設(shè)底面邊長是a，底面的兩條對角線分別為l1，l2，而15252，9252，而4a2，即1525292524a2，a8，S側(cè)面4851608D解析：過點(diǎn)E，F(xiàn)作底面的垂面，得兩個體積相等的四棱錐和一個三棱柱，V232329B解析：斜二測畫法的規(guī)則中，已知圖形中平行于 x 軸的線段，在直觀圖中保持原長度

20、不變；平行于 y 軸的線段，長度為原來的一半平行于 z 軸的線段的平行性和長度都不變10D解析：從三視圖看底面為圓，且為組合體，所以選D.二、填空題11參考答案：5，4，3解析：符合條件的幾何體分別是：三棱柱，三棱錐，三棱臺12參考答案：123r1r2r31，13()3()312313參考答案：解析：畫出正方體，平面AB1D1與對角線A1C的交點(diǎn)是對角線的三等分點(diǎn)，三棱錐OAB1D1的高h(yuǎn)a，VSh2a2aa3另法：三棱錐OAB1D1也可以看成三棱錐AOB1D1，它的高為AO，等腰三角形OB1D1為底面14參考答案：平行四邊形或線段15參考答案：，解析：設(shè)ab，bc，ac，則V = abc，c

21、，a，b1，l16參考答案：12解析：VShr2hR3，R12三、解答題17參考答案：V(SS)h，h7518參考答案：如圖是過正方體對角面作的截面設(shè)半球的半徑為R，正方體的棱長為a，則CCa，OCa，OCRCACOA(第18題)在RtCCO中，由勾股定理，得CC 2OC2OC 2，即 a2(a)2R2Ra，V半球a，V正方體aV半球 V正方體219參考答案：S表面S下底面S臺側(cè)面S錐側(cè)面52(25)522(604)VV臺V錐(r1r2)hr2h120 解：(1) 參考答案：如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16 m，則倉庫的體積V1Sh()24(m3)如果按方案二，倉庫的高變成8 m，則倉庫的

22、體積V2Sh()28(m3)(2) 參考答案：如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16 m，半徑為8 m棱錐的母線長為l4，倉庫的表面積S18432(m2)如果按方案二，倉庫的高變成8 m棱錐的母線長為l10，倉庫的表面積S261060(m2)(3) 參考答案：V2V1，S2S1，方案二比方案一更加經(jīng)濟(jì)些詳解答案1答案D2答案C解析AB與CC1為異面直線，故棱中不存在同時與兩者平行的直線，因此只有兩類：第一類與AB平行與CC1相交的有：CD、C1D1與CC1平行且與AB相交的有：BB1、AA1，第二類與兩者都相交的只有BC，故共有5條3答案C解析1直線l與平面斜交時，在平面內(nèi)不存在與l平行的直線，

23、A錯；2l時，在內(nèi)不存在直線與l異面，D錯；3l時，在內(nèi)不存在直線與l相交無論哪種情形在平面內(nèi)都有無數(shù)條直線與l垂直4答案D解析由于ADA1D1，則BAD是異面直線AB，A1D1所成的角，很明顯BAD90.5答案B解析對于選項(xiàng)A，當(dāng)a與b是異面直線時，A錯誤；對于選項(xiàng)B，若a，b不相交，則a與b平行或異面，都存在，使a，b，B正確；對于選項(xiàng)C，a，b，一定有ab，C錯誤；對于選項(xiàng)D，a，b，一定有ab，D錯誤6答案D解析異面、相交關(guān)系在空間中不能傳遞，故錯；根據(jù)等角定理，可知正確；對于，在平面內(nèi)，ac，而在空間中，a與c可以平行，可以相交，也可以異面，故錯誤7答案D解析如圖所示由于AA1平面A

24、1B1C1D1，EF平面A1B1C1D1，則EFAA1，所以正確；當(dāng)E，F(xiàn)分別是線段A1B1，B1C1的中點(diǎn)時，EFA1C1，又ACA1C1，則EFAC，所以不正確；當(dāng)E，F(xiàn)分別不是線段A1B1，B1C1的中點(diǎn)時，EF與AC異面，所以不正確；由于平面A1B1C1D1平面ABCD，EF平面A1B1C1D1，所以EF平面ABCD，所以正確8答案D解析選項(xiàng)A中，a，b還可能相交或異面，所以A是假命題；選項(xiàng)B中，a，b還可能相交或異面，所以B是假命題；選項(xiàng)C中，還可能相交，所以C是假命題；選項(xiàng)D中，由于a，則a或a，則內(nèi)存在直線la，又b，則bl，所以ab.9答案C解析如圖所示：ABlm；ACl，ml

25、ACm；ABlAB.10答案eq f(3,5) 命題意圖本試題考查了正方體中異面直線的所成角的求解的運(yùn)用解析首先根據(jù)已知條件，連接DF，然后則角DFD1即為異面直線所成的角，設(shè)邊長為2，則可以求解得到eq r(5)DFD1F，DD12，結(jié)合余弦定理得到結(jié)論11答案C解析取BC中點(diǎn)E，連AE、DE，可證BCAE，BCDE，AED為二面角ABCD的平面角又AEEDeq r(2)，AD2，AED90，故選C.12答案B解析將其還原成正方體ABCDPQRS，顯見PBSC，ACS為正三角形，ACS60.13答案AB14答案45解析如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，由于BCAB，BC1AB，則C

26、1BC是二面角C1ABC的平面角又BCC1是等腰直角三角形，則C1BC45.15答案9解析如下圖所示，連接AC，BD，則直線AB，CD確定一個平面ACBD.，ACBD，則eq f(AS,SB)eq f(CS,SD)，eq f(8,6)eq f(12,SD)，解得SD9.16答案解析如圖所示，取BD中點(diǎn)，E連接AE，CE，則BDAE，BDCE，而AECEE，BD平面AEC，AC平面AEC，故ACBD，故正確設(shè)正方形的邊長為a，則AECEeq f(r(2),2)a.由知AEC90是直二面角ABDC的平面角，且AEC90，ACa，ACD是等邊三角形，故正確由題意及知，AE平面BCD，故ABE是AB與

27、平面BCD所成的角，而ABE45，所以不正確分別取BC，AC的中點(diǎn)為M，N，連接ME，NE，MN.則MNAB，且MNeq f(1,2)ABeq f(1,2)a，MECD，且MEeq f(1,2)CDeq f(1,2)a，EMN是異面直線AB，CD所成的角在RtAEC中，AECEeq f(r(2),2)a，ACa，NEeq f(1,2)ACeq f(1,2)a.MEN是正三角形，EMN60，故正確17證明(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，F(xiàn)、F1分別是AC、A1C1的中點(diǎn)，B1F1BF，AF1C1F.又B1F1AF1F1，C1FBFF，平面AB1F1平面C1BF.(2)在三棱柱ABCA1B1

28、C1中，AA1平面A1B1C1，B1F1AA1.又B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1，平面AB1F1平面ACC1A1.18解析(1)如圖所示，連接AC，由AB4，BC3，ABC90，得AC5.又AD5，E是CD的中點(diǎn)，所以CDAE.PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.而PA，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD平面PAE.(2)過點(diǎn)B作BGCD，分別與AE，AD相交于F，G，連接PF.由(1)CD平面PAE知，BG平面PAE.于是BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BGAE.由PA平面ABCD知，PBA為直線PB與平

29、面ABCD所成的角AB4，AG2，BGAF，由題意，知PBABPF，因?yàn)閟inPBAeq f(PA,PB)，sinBPFeq f(BF,PB)，所以PABF.由DABABC90知，ADBC，又BGCD，所以四邊形BCDG是平行四邊形，故GDBC3.于是AG2.在RtBAG中，AB4，AG2，BGAF，所以BGeq r(AB2AG2)2eq r(5)，BFeq f(AB2,BG)eq f(16,2r(5)eq f(8r(5),5).于是PABFeq f(8r(5),5).又梯形ABCD的面積為Seq f(1,2)(53)416，所以四棱錐PABCD的體積為Veq f(1,3)SPAeq f(1,3)16eq f(8r(5),5)eq f(128r(5),15).19解析(1)證明：如圖所示，取CD的中點(diǎn)E，連接PE，EM，EA，PCD為正三角形，PECD，PEPDsinPDE2sin60eq r(3).平面PCD平面ABCD，PE平面ABCD，而AM平面ABCD，PEAM.四邊形ABCD是矩形，ADE，ECM，ABM均為直角三角形，由勾股定理可求得EMeq r(3)，AMeq r(6)，AE3，EM2