高中數(shù)學(xué)必修二 (教案)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、 14/14空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【第一課時(shí)】【教學(xué)目標(biāo)】1了解平面的概念，會(huì)用圖形與字母表示平面2能用符號(hào)語言描述空間中的點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系3能用圖形、文字、符號(hào)三種語言描述三個(gè)基本事實(shí)，理解三個(gè)基本事實(shí)的地位與作用【教學(xué)重難點(diǎn)】1平面的概念2點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系3三個(gè)基本事實(shí)及推論【教學(xué)過程】一、問題導(dǎo)入預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：1教材中是如何定義平面的？2平面的表示方法有哪些？3點(diǎn)、線、面之間有哪些關(guān)系？如何用符號(hào)表示？4三個(gè)基本事實(shí)及推論的內(nèi)容是什么？各有什么作用？二、基礎(chǔ)知識(shí)1平面（1）平面的概念幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象

2、出來的平面是向四周無限延展的（2）平面的畫法我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面當(dāng)水平放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫成豎向（3）平面的表示方法我們常用希臘字母，等表示平面，如平面、平面、平面等，并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角內(nèi)；也可以用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個(gè)平面的名稱如圖中的平面，也可以表示為平面ABCD、平面AC或者平面BD名師點(diǎn)撥：（1）平面和點(diǎn)、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進(jìn)行度量（2）平面無厚薄、無大小，是無限延展的2點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系及符號(hào)表示A是點(diǎn)，l，

3、m是直線，是平面文字語言符號(hào)語言圖形語言A在l上AlA在l外AlA在內(nèi)AA在外Al在內(nèi)ll在外ll，m相交于AlmAl，相交于AlA，相交于ll名師點(diǎn)撥從集合的角度理解點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系（1）直線可以看成無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“”或“ ”表示（2）平面也可以看成點(diǎn)集，故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“”或“ ”表示（3）直線與平面都是點(diǎn)集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“”或“”表示3平面的性質(zhì)基本事實(shí)文字語言圖形語言符號(hào)語言基本事實(shí)1過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線存在唯一的平面使A，B，C基本事實(shí)2如果

4、一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)Al，Bl，且A，Bl基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P，且Pl，且Pl名師點(diǎn)撥 在畫兩個(gè)相交平面時(shí)，如果其中一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面擋住，通常把被擋住的部分畫成虛線或不畫，這樣可使畫出的圖形立體感更強(qiáng)一些如下圖，圖所示：4平面性質(zhì)的三個(gè)推論推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面如圖（1）推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面如圖（2）推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面如圖（3）三、合作探究圖形、文字、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化例1：（1）用符號(hào)語言表示下面的語句，并畫出圖

5、形平面ABD與平面BDC交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC.（2）將下面用符號(hào)語言表示的關(guān)系用文字語言予以敘述，并用圖形語言予以表示l，Al，AB，AC.【解】（1）符號(hào)語言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC.用圖形表示如圖所示（2）文字語言敘述為：點(diǎn)A在平面與平面的交線l上，直線AB，AC分別在平面，內(nèi)，圖形語言表示如圖所示eq avs4al()規(guī)律方法三種語言的轉(zhuǎn)換方法（1）用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言敘述，再用符號(hào)語言表示（2）根據(jù)符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和

6、虛線的區(qū)別 點(diǎn)、線共面問題例2：證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)【解】已知：如圖所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)證明：法一：（納入平面法）因?yàn)閘1l2A，所以l1和l2確定一個(gè)平面.因?yàn)閘2l3B，所以Bl2.又因?yàn)閘2，所以B.同理可證C.又因?yàn)锽l3，Cl3，所以l3.所以直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)法二：（輔助平面法）因?yàn)閘1l2A，所以l1，l2確定一個(gè)平面.因?yàn)閘2l3B，所以l2，l3確定一個(gè)平面.因?yàn)锳l2，l2，所以A.因?yàn)锳l2，l2，所以A.同理可證B，B，C，C.所以不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面內(nèi)，又在平面

7、內(nèi)所以平面和重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)規(guī)律方法eq avs4al()證明點(diǎn)、線共面的常用方法（1）納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)（2）輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面，重合 三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)問題例3：如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為AB、AA1的中點(diǎn)求證：CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)【證明】連接EF，D1C，A1B，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，所以EFeq o(sdo3(),sup3()eq f(1,2)A1B.又因?yàn)锳1Beq o(sdo3(),sup3()D1C，所以E

8、Feq o(sdo3(),sup3()eq f(1,2)D1C，所以E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面，可設(shè)D1FCEP.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，所以點(diǎn)P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn)又因?yàn)槠矫鍭1D1DA平面ABCDDA，所以據(jù)基本事實(shí)3可得PDA，即CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)變條件、變問法若將本例條件中的“E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點(diǎn)”改成“E，F(xiàn)分別為AB，AA1上的點(diǎn)，且D1FCEM”，求證：點(diǎn)D、A、M三點(diǎn)共線證明：因?yàn)镈1FCEM，且D1F平面A1D1DA，所以M平面A1D1DA，同理M平面BCDA，從而M在兩個(gè)平面的交線上，因?yàn)槠矫鍭1D1DA平面BCD

9、AAD，所以MAD成立所以點(diǎn)D、A、M三點(diǎn)共線規(guī)律方法eq avs4al() 【課堂檢測(cè)】1能確定一個(gè)平面的條件是（ ）A空間三個(gè)點(diǎn)B一個(gè)點(diǎn)和一條直線C無數(shù)個(gè)點(diǎn) D兩條相交直線解析：選D.不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面，A，B，C條件不能保證有不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，故不正確2經(jīng)過同一條直線上的3個(gè)點(diǎn)的平面（ ）A有且只有一個(gè) B有且只有3個(gè)C有無數(shù)個(gè) D不存在解析：選C.經(jīng)過共線3個(gè)點(diǎn)的平面有無數(shù)個(gè)，比如：課本中每一頁都過共線的三點(diǎn)3如果直線a平面，直線b平面，Ma，Nb，Ml，Nl，則（ ）Al BlClM DlN解析：選A.因?yàn)镸a，a，所以M，同理，N，又Ml，Nl，故l.4

10、如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面（ ）A沒有其他公共點(diǎn) B僅有這一個(gè)公共點(diǎn)C僅有兩個(gè)公共點(diǎn) D有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)解析：選D.根據(jù)基本事實(shí)3可知，兩個(gè)不重合的平面若有一個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面有且只有一條經(jīng)過該點(diǎn)的公共直線5說明語句“l(fā)，mA，Al”表示的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，并畫出圖形解：直線l在平面 內(nèi)，直線m與平面相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上，圖形如圖所示【第二課時(shí)】【教學(xué)目標(biāo)】1了解空間兩條直線間的位置關(guān)系，理解異面直線的定義2了解直線與平面之間的三種位置關(guān)系，并能判斷直線與平面的位置關(guān)系，會(huì)用符號(hào)語言和圖形語言表示3了解平面與平面之間的兩種位置關(guān)系，并能判斷兩個(gè)平面的位置關(guān)系，會(huì)用

11、符號(hào)語言和圖形語言表示【教學(xué)重難點(diǎn)】1空間兩直線的位置關(guān)系2直線與平面的位置關(guān)系3平面與平面的位置關(guān)系【教學(xué)過程】一、問題導(dǎo)入預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：1空間兩直線有哪幾種位置關(guān)系？2直線與平面的位置關(guān)系有哪幾種？3平面與平面的位置關(guān)系有哪幾種？4如何用符號(hào)和圖形表示直線與平面的位置關(guān)系？5如何用符號(hào)和圖形表示平面與平面的位置關(guān)系？二、基礎(chǔ)知識(shí)1空間中直線與直線的位置關(guān)系（1）異面直線定義：把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線；畫法：（通常用平面襯托）（2）空間兩條直線的位置關(guān)系eq blc(avs4alco1(共面直線blc(avs4alco1(相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)

12、公共點(diǎn)；,平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).)名師點(diǎn)撥 （1）異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件異面直線既不相交，也不平行（2）不能把異面直線誤認(rèn)為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線，如圖中，雖然有a，b，即a，b分別在兩個(gè)不同的平面內(nèi)，但是因?yàn)閍bO，所以a與b不是異面直線2空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面內(nèi)直線a在平面外直線a與平面相交直線a與平面平行公共點(diǎn)無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)符號(hào)表示aaAa圖形表示名師點(diǎn)撥 一般地，直線a在平面內(nèi)時(shí)，應(yīng)把直線a畫在表示平面的平行四邊形內(nèi)；直線a與平面相交時(shí)，應(yīng)畫成直線

13、a與平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，被平面遮住的部分畫成虛線或不畫；直線a與平面平行時(shí)，應(yīng)畫成直線a與表示平面的平行四邊形的一條邊平行，并畫在表示平面的平行四邊形外3空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩個(gè)平面平行兩個(gè)平面相交公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（在一條直線上）符號(hào)表示l圖形表示名師點(diǎn)撥 （1）畫兩個(gè)互相平行的平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊平行（2）以后我們說到“兩條直線”均指不重合的兩條直線，“兩個(gè)平面”均指不重合的兩個(gè)平面三、合作探究空間兩直線位置關(guān)系的判定例1：如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是_；直線A

14、1B與直線B1C的位置關(guān)系是_；直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是_；直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是_【解析】經(jīng)探究可知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點(diǎn)，則兩直線平行，所以應(yīng)該填“平行”；點(diǎn)A1、B、B1在平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C異面同理，直線AB與直線B1C異面所以應(yīng)該填“異面”；直線D1D與直線D1C相交于D1點(diǎn)，所以應(yīng)該填“相交”【答案】平行異面相交異面規(guī)律方法eq avs4al() （1）判定兩條直線平行或相交的方法判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用基本事實(shí)4（下節(jié)學(xué)習(xí)）判斷 （2）

15、判定兩條直線是異面直線的方法定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)；重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線用符號(hào)語言可表示為A，B，l，BlAB與l是異面直線（如圖）直線與平面的位置關(guān)系例2：下列命題：直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則l；若直線a在平面外，則a；若直線ab，直線b，則a；若直線ab，b，那么直線a就平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）A1B2C3 D4【解析】因?yàn)橹本€l雖與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，但l有可能在平面內(nèi)，所以l不一定平行于，所以是假命題因?yàn)橹本€a在平面外包括兩種情況：a和a與相交，所以a和不一定平行，所以是

16、假命題因?yàn)橹本€ab，b，則只能說明a和b無公共點(diǎn)，但a可能在平面內(nèi)，所以a不一定平行于，所以是假命題因?yàn)閍b，b，所以a或a，所以a可以與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，所以是真命題綜上，真命題的個(gè)數(shù)為1.【答案】A歸納反思eq avs4al()判斷直線與平面的位置關(guān)系應(yīng)注意的問題（1）在判斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí)，直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行，這三種情況都要考慮到，避免疏忽或遺漏（2）解決此類問題時(shí)，可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，以便于正確作出判斷，避免憑空臆斷 平面與平面的位置關(guān)系例3：已知在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，并且這兩條直線互相平行

17、，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是（ ）A平行 B相交C平行或相交 D以上都不對(duì)【解析】如圖，可能會(huì)出現(xiàn)以下兩種情況：【答案】C1變條件在本例中，若將條件“這兩條直線互相平行”改為“這兩條直線是異面直線”，則兩平面的位置關(guān)系如何？解：如圖，a，b，a，b異面，則兩平面平行或相交2變條件在本例中，若將條件改為平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平面平行，那么平面與平面的關(guān)系是什么？解：如圖，內(nèi)都有無數(shù)條直線與平面平行由圖知，平面與平面可能平行或相交3變條件在本例中，若將條件改為平面內(nèi)的任意一條直線與平面平行，那么平面與平面的關(guān)系是什么？解：因?yàn)槠矫鎯?nèi)的任意一條直線與平面平行，所以只有這兩個(gè)平面平行才能做到，所以平

18、面與平面平行規(guī)律方法eq avs4al() （1）平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實(shí)3為依據(jù)找出一個(gè)交點(diǎn)；平面與平面平行的判斷，主要是說明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)（2）常見的平面和平面平行的模型棱柱、棱臺(tái)、圓柱、圓臺(tái)的上下底面平行；長方體的六個(gè)面中，三組相對(duì)面平行 點(diǎn)、線、面位置關(guān)系圖形的畫法例4：如圖所示，G是正方體ABCDA1B1C1D1的棱DD1延長線上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)是棱AB，BC的中點(diǎn)，試分別畫出過下列各點(diǎn)、直線的平面與正方體表面的交線（1）過點(diǎn)G及AC.（2）過三點(diǎn)E，F(xiàn)，D1.【解】（1）畫法：連接GA交A1D1于點(diǎn)M，連接GC交C1D1于點(diǎn)N；連接MN，AC，則MA，CN，MN，AC為所求平面與正方體表面的交線如圖所示（2）畫法：連接EF交DC的延長線于點(diǎn)P，交DA的延長線于點(diǎn)Q；連接D1P交CC1于點(diǎn)M，連接D1Q交AA1于點(diǎn)N；連接MF，NE，則D1M，MF，F(xiàn)E，EN，ND1為所求平面與正方體表面的交線如圖所示規(guī)律方法eq avs4al()直線與平面位置關(guān)系的圖形的畫法（1）畫直線a在平面內(nèi)時(shí)，表示直線a的線段只能在表示平面的平行四邊形內(nèi)，而不能有部分在這個(gè)平行四邊形外（2）畫直線a與平面相交時(shí)，表示直線a的線段必須有部分在表示平面的平行四邊形之外，這樣既能與表