數(shù)學(xué)的精神思想方法

1、數(shù)學(xué)的精神、思想、方法 2010-6-21如何使觀察更具有普適性分蛋糕的方法:找圓心（120度）分、稱重量分、一個人先切三份，另兩個協(xié)商拿走兩份，切的人拿走一份，另兩人按“我分你選”策略再分，找中間人切，抓鬮決定拿塊(或者先后順序),先按中心法四等份,三等份無忌妒,另一份再分.2公平分配問題:一塊蛋糕公平分配給2、3、n個人的問題？ 兩個人分蛋糕時，采用“我分你選”的算法，可以實現(xiàn)公平分配。（權(quán)力平衡亦或權(quán)力制約） 60年代初，John Sclfridgc 和 John H.Conway首先發(fā)現(xiàn)了三個人分蛋糕時的一種無妒忌算法： 3第一步，甲把蛋糕分成他認為具有等值的3塊。第二步，乙可以采取下

2、列兩個行動之一：(a)若有兩塊蛋糕份量同為最大，他可以什么也不做；(b) 若有一塊蛋糕最大，他可以對其修整，使之達到(a)所說的情況。修整下來的剩余蛋糕放到一邊。4 第三步，丙，甲和乙依次選一塊蛋糕，選他們認為最大的一塊。若乙在上面第二步中修整了一塊蛋糕，那么他必須選修理過的蛋糕，除非丙已經(jīng)先選這一塊蛋糕。至此，蛋糕的一部分已無妒忌方式分完了。5 第四步，如果乙在第二步什么也沒有做，那么不再存在剩余蛋糕，因此蛋糕已被分完。否則，被修理過的那塊蛋糕將由乙或丙選去。由乙或丙將剩余蛋糕分為相等的三份。 剩下的事情就是讓丙，甲和乙或乙，甲和丙從剩余蛋糕中各取一份。 6 按以上分法，由于丙是第一個選，因

3、此他沒有理由眼紅。無論剩余蛋糕怎么分，甲都不會妒忌丙,因為丙充其量也只能選到一份甲認為是1/3塊的蛋糕。甲也不會對乙眼紅，因為他比乙先選。乙也沒有理由抱怨，因為剩余蛋糕本來就是他自己分的。 7 n個人分蛋糕情形，是否有無妒忌的分法呢？此問題讓人困惑了30年。1995年，紐約大學(xué)的steven J.Brains以及聯(lián)盟學(xué)院的Alan D.Taylor發(fā)現(xiàn)了適于任意多個人的無妒忌分法。這一方法很復(fù)雜(從略)。從分蛋糕問題可看出數(shù)學(xué)技術(shù)也能解決社會科學(xué)中的公平、合理等難題。8 (第四學(xué)習(xí)主題中)函數(shù)是核心 函數(shù)就是一種數(shù)學(xué)模型，需要我們建立。最簡單最重要的模型之一就是線性模型，即一次函數(shù)。 數(shù)學(xué)建模

4、和數(shù)學(xué)應(yīng)用被證明是學(xué)生理解數(shù)學(xué)的一條有效途徑。從數(shù)學(xué)模型的角度看待數(shù)與代數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)和現(xiàn)實世界的聯(lián)系，也體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)去刻畫和解決實際問題的方法。 數(shù)學(xué)建模思想須借助于代數(shù)（一種表達式、方程式、不等式、矩陣、行列式、向量等）才能完成建模過程，并用建立的模型去解釋現(xiàn)實世界中存在的一些現(xiàn)象。 9基本的函數(shù)模型：一次函數(shù)案例 1870年，英國人類學(xué)家、生物統(tǒng)計學(xué)的奠基人高爾頓（1822年2月6日生于伯明翰，1911年1月17日卒于薩里郡黑斯爾米爾）在研究遺傳現(xiàn)象中提出了“相關(guān)”和“回歸”的概念。高爾頓在研究父母身高與子女身高的相關(guān)性時，發(fā)現(xiàn)下列關(guān)系：高個子父母的子女，其身高有低于其父母身高的趨勢，而

5、矮個子父母的子女，其身高有高于其父母的趨勢，即有“回歸”到平均數(shù)去的趨勢，這就是統(tǒng)計學(xué)上最初出現(xiàn)“回歸”時的涵義。高爾頓應(yīng)用統(tǒng)計的方法刻畫他所遇到的的遺傳現(xiàn)象，揭示了統(tǒng)計方法在生物學(xué)研究中是有用的，并引進了回歸直線、相關(guān)系數(shù)等概念，創(chuàng)建了回歸分析。對于上述現(xiàn)象，他具體是這樣做的：收集了205對夫婦的928個成年子女的身高資料，分別以X和Y記父母二人的平均身高與其子女的平均身高，高爾頓建立了這樣一個公式：10 Y6825=08（X6825）這里是以英寸為單位。6825是父代也是子代的平均身高，超過這個數(shù)的就是高個子，低于這個數(shù)的就是矮個子。我們現(xiàn)在來考察高爾頓建立的方程。不妨設(shè)父母的身高為702

6、5英寸，這比總平均6825英寸高了2英寸，屬于高個子之列；但按上屬公式計算，其子女的平均身高為： Y=6825+082=6985英寸。 子女的身高大于6825英寸，仍屬高個子之列；但只高出16英寸，不如其父代（比平均值高出2英寸）這么多。高爾頓把這個現(xiàn)象說成是“子代身高向中心（6825）回歸”，他的解釋是：大自然具有一種約束力，使人類身高的分布在一定時期內(nèi)相對穩(wěn)定而不產(chǎn)生兩極分化，這就是所謂的回歸效應(yīng)。 11 由于這個特例，后人就把反映變量之間的關(guān)系的方程稱為“回歸方程”，而統(tǒng)計學(xué)中有關(guān)的這一部分內(nèi)容通過數(shù)據(jù)建立方程，對其誤差進行估計等，叫做回歸分析。 你認為現(xiàn)實生活中，特別是教育世界里真的存

7、在如高爾頓在此例中所顯示的“向中心回歸”的現(xiàn)象嗎？ 請舉例說明。12相關(guān)性的認知：R大于0是正相關(guān)；R小于0是負相關(guān)；R=1是函數(shù)關(guān)系；R=0是不相關(guān)；據(jù)R大小確定強相關(guān)與弱相關(guān)：接近于1時，強相關(guān)；接近于0時是弱相關(guān)。小于03時兩個量幾乎無線性相關(guān)關(guān)系；大于 03時兩個量有線性相關(guān)關(guān)系； 0305時兩個量之間是低度線性相關(guān)關(guān)系； 05-08時兩個量是顯著線性相關(guān)關(guān)系； 08以上時兩個量是高度線性相關(guān)關(guān)系探討問題一：某地區(qū)的氣溫與當天發(fā)生的交通事故數(shù)列表如下：相關(guān)關(guān)系：R=0465氣溫1423162230341927交通事故46368115713形成對客觀存在事物內(nèi)在關(guān)系的刻畫用精確來描述大千

8、世界14具體案例：請同學(xué)們分析思考下面問題，并展示其過程 有一個同學(xué)家開了一個小賣部，為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到了一個熱飲杯數(shù)與當?shù)靥鞖鉁氐膶Ρ缺?、畫出散點圖；2、從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間的關(guān)系的一般規(guī)律；3、求出方程;4、如果某天的氣溫是2度，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)。氣溫-504712151923杯數(shù)1561501321281301161048927313693765415 觀察發(fā)現(xiàn):統(tǒng)計的時間有問題，冬天應(yīng)當是喝茶的高峰期；出現(xiàn)了“異?！睌?shù)據(jù)。 猜測的結(jié)果：R可能是0.4;0.45; 0.7;0.8。 處理問題的方法：中點法、兩端點、角平分線法、距離法等。

9、啟示：如何做有心人，我思了我一定有收獲經(jīng)驗公式 在實際問題中，常常需要根據(jù)兩個變量的幾組實驗數(shù)值實驗數(shù)據(jù)，來找出這兩個變量的函數(shù)關(guān)系的近似表達式通常把這樣得到的函數(shù)的近似表達式叫做經(jīng)驗公式.問題：如何得到經(jīng)驗公式，常用的方法是什么16簡化案例：為了測定刀具的磨損速度，我們做這樣的實驗：經(jīng)過一定時間(如每隔一小時)，測量一次刀具的厚度,得到一組試驗數(shù)據(jù)如下：17如圖，在坐標紙上畫出這些點，因為這些點本來不在一條直線上，我們只能要求選取這樣的 ，使得 在 處的函數(shù)值與實驗數(shù)據(jù) 相差都很小解18就是要使偏差 都很小.因此可以考慮選取常數(shù) ，使得 定義這種根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來選擇常數(shù) 的方法

10、叫做最小二乘法這種確定常數(shù)的方法是通常所采用的.最小來保證每個偏差的絕對值都很小19把看成自變量 和 的一個二元函數(shù)，那么問題就可歸結(jié)為求函數(shù) 在那些點處取得最小值.即20將括號內(nèi)各項進行整理合并，并把未知數(shù) 和 分離出來，便得計算得21代入方程組（1）得解此方程組，得到這樣便得到所求經(jīng)驗公式為由（2）式算出的函數(shù)值 與實測 的有一定的偏差.現(xiàn)列表比較如下：22偏差的平方和 ，它的平方根 我們把 稱為均方誤差，它的大小在一定程度上反映了用經(jīng)驗公式來近似表達原來函數(shù)關(guān)系的近似程度的好壞23最小二乘法的原理：注意：計算機與數(shù)據(jù)擬合（參看高等數(shù)學(xué)實驗課講義）241、相關(guān)關(guān)系的判斷2、線性相關(guān)：尋找一

11、條直線。yXO求最小值最小二乘法25步驟：1、列表求出2、代入公式求 a 、b3、寫出線性回歸方程26例 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出 的維修費用y（萬元）有如下統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0(1) 求回歸直線方程；（2）估計使用10年 時，維修費用約是多少？解：根據(jù)散點圖知 x 與 y 成線性相關(guān)關(guān)系（1）列表27202549162536904.432.511.42242112.3（2）x = 10 , y = 12.3828探索問題：探索數(shù)的規(guī)律（為什么總是1089 ？） 任意寫一個三位數(shù)，要求百位數(shù)的數(shù)字至少比個位數(shù)的數(shù)字大2，比如說783； 顛倒這三個數(shù)字的順序為387； 做減法： 783387396； 顛倒差396的三個數(shù)字的順序為693； 做加法：3966931089。 用不同的三位數(shù)再做幾次，結(jié)果都是1089，你能發(fā)現(xiàn)其中的原因嗎？ 你能提出什么新的問題？特別是對四位數(shù)、五位數(shù)等是否也有一定的數(shù)字規(guī)律可以探究，對數(shù)字世界中的規(guī)律你還有什么想法。 嘗試法、觀察法、一般化的方法 存在規(guī)律的思想、無序到有序的思想。不斷追求、擴大視野29思考題：1有兩個袋子，白袋里裝著2000粒白豆，紅袋里裝著3000粒左右紅豆