單因素試驗的方差分析

1、單因素試驗的方差分析第1頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科研活動中，我們經(jīng)常遇到這樣的問題：影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多，例如影響農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量有品種、施肥種類、施肥量等許多因素。我們要了解這些因素中哪些因素對產(chǎn)量有顯著影響，就要先做試驗，然后對測試結(jié)果進(jìn)行分析，作出判斷。方差分析就是分析測試結(jié)果的一種方法。引 言第2頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二基 本 概 念 試驗指標(biāo)試驗結(jié)果。 可控因素在影響試驗結(jié)果的眾多因素中，可人為 控制的因素。水平可控因素所處的各種各種不同的狀態(tài)。每個 水平又稱為試驗的一個處理。單因素試驗如果在

2、一項試驗中只有一個因素改變， 其它的可控因素不變，則該類試驗稱為 單因素試驗。第3頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二引例 例1 （燈絲的配料方案優(yōu)選）某燈泡廠用四種配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，在每批燈泡中作隨機(jī)抽樣，測量其使用壽命（單位：小時），數(shù)據(jù)如下： 燈泡壽命燈絲12345678甲1600 161016501680170017201800乙15801640164017001750丙14601550160016201640174016601820丁151015201530157016801600第4頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二燈泡的使

3、用壽命試驗指標(biāo) 燈絲的配料方案試驗因素（唯一的一個） 四種配料方案（甲乙丙?。┧膫€水平 因此，本例是一個四水平的單因素試驗。 引 例 用X1，X2，X3，X4分別表示四種燈泡的使用壽命，即為四個總體。假設(shè)X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，且服從方差相同的正態(tài)分布，即XiN（i，2）（i=1，2，3，4）本例問題歸結(jié)為檢驗假設(shè) H0：1= 2= 3= 4 是否成立 第5頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二 我們的目的是通過試驗數(shù)據(jù)來判斷因素 A 的不同水平對試驗指標(biāo)是否有影響。 設(shè) A 表示欲考察的因素，它的 個不同水平，對應(yīng)的指標(biāo)視作 個總體 每個水平下,我們作若干次重復(fù)試驗

4、： （可等重復(fù)也可不等重復(fù)），同一水平的 個結(jié)果，就是這個總體 的一個樣本： 單因素試驗的方差分析因此，相互獨(dú)立，且與 同分布。 第6頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二單因素試驗資料表其中諸 可以不一樣，水平重復(fù) 1. ni（水平組內(nèi)平均值）（總平均值）試驗結(jié)果第7頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二 縱向個體間的差異稱為隨機(jī)誤差（組內(nèi)差異），由試驗造成；橫向個體間的差異稱為系統(tǒng)誤差（組間差異），由因素的不同水平造成。品種重復(fù)123例：五個水稻品種單位產(chǎn)量的觀測值P165第8頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二 由于同一水平下重復(fù)試

5、驗的個體差異是隨機(jī)誤差，所以設(shè)：其中 為試驗誤差，相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布線性統(tǒng)計模型 單因素試驗的方差分析的數(shù)學(xué)模型具有方差齊性。相互獨(dú)立，從而各子樣也相互獨(dú)立。首先，我們作如下假設(shè)： 即 第9頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二令 （其中 ）稱為一般平均值。稱為因素A的第 個水平 的效應(yīng)。則線性統(tǒng)計模型變成于是檢驗假設(shè)： 等價于檢驗假設(shè)： 顯然有： 整個試驗的均值 第10頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二考察統(tǒng)計量經(jīng)恒等變形，可分解為：其中組間平方和（系統(tǒng)離差平方和）反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。如果H0 成立，則SSA 較小。若H0成

6、立，則總離差平方和 見書P168 其中 第11頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二組內(nèi)平方和誤差平方和這里反映的是重復(fù)試驗種隨機(jī)誤差的大小。表示水平Ai的隨機(jī)誤差； 表示整個試驗的隨機(jī)誤差第12頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二若假設(shè) 成立，則 由P106定理5.1可推得：將 的自由度分別記作則（記 ，稱作均方和）（各子樣同分布） 第13頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二則（記 ，稱作均方和）對給定的檢驗水平 ，由得H0 的拒絕域為：F 單側(cè)檢驗 結(jié)論：方差分析實質(zhì)上是假設(shè)檢驗，從分析離差平方和入手，找到F統(tǒng)計量，對同方差的多個正

7、態(tài)總體的均值是否相等進(jìn)行假設(shè)檢驗。單因素試驗中兩個水平的均值檢驗可用第七章的T檢驗法。思考：為什么此處只做單側(cè)檢驗？ 第14頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二（1）若 ，則稱因素的差異極顯著（極有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響高度顯著，這時作標(biāo)記 ；約 定 （2）若 ，則稱因素的差異顯著（差異有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響顯著，作標(biāo)記 ；（3）若 ，則稱因素A有一定影響，作標(biāo)記（ ）；（4）若 ，則稱因素A無顯著影響（差異無統(tǒng)計意義）。注意：在方差分析表中，習(xí)慣于作如下規(guī)定：第15頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二單因素試驗方差分析表方差來源組間組內(nèi)總

8、和平方和自由度均方和F 值F 值臨介值簡便計算公式：其中同一水平下觀測值之和 所以觀測值之和第16頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二 例2 P195 2 以 A、B、C 三種飼料喂豬，得一個月后每豬所增體重（單位：500g）于下表，試作方差分析。飼料ABC增重51 40 43 4823 25 2623 28解：第17頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二解：第18頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計意義。列方差分析表方差來源組間組內(nèi)總和平方和自由度均方和F 值F 值臨介值第19頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二例2的上機(jī)實現(xiàn)步驟1、輸入原始數(shù)據(jù)列，并存到A，B，C列； 第20頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二各水平數(shù)據(jù)放同一列各水平數(shù)據(jù)放在不同列2、選擇StatANOVAone-way(unstacked) 第21頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二第22頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期二不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計意義。第23頁，共25頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星