數(shù)學的思想方法

1、數(shù)學的思想方法數(shù)學思想是指人們對數(shù)學理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認識，數(shù)學方法是數(shù)學思想的具體化形式，實際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通常混稱為“數(shù)學思想方法”。常見的數(shù)學四大思想為：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合。 函數(shù)與方程函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型（方程、不等式、或方程與數(shù)學思想方法、不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的。 函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想

2、通過提出問題的數(shù)學特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學模型，從而進行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。 函數(shù)知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有

3、關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點加以分析；含有多個變量的數(shù)學問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實際應用問題，翻譯成數(shù)學語言，建立數(shù)學模型和函數(shù)關(guān)系式，應用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識解答；等差、等比數(shù)列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。等價轉(zhuǎn)化等價轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓練自覺的轉(zhuǎn)化意識，將有利于強化解決數(shù)學問題中的應變能力，提高思維

4、能力和技能、技巧。 轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化。等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果。非等價轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的，要對結(jié)論進行 數(shù)學思想領(lǐng)悟必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗根），它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。我們在應用時一定要注意轉(zhuǎn)化的等價性與非等價性的不同要求，實施等價轉(zhuǎn)化時確保其等價性，保證邏輯上的正確。 著名的數(shù)學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學奧林匹克參賽者發(fā)表什么叫解題的演講時提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”。數(shù)學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程。 等價轉(zhuǎn)化思想方

5、法的特點是具有靈活性和多樣性。在應用等價轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學問題時，沒有一個統(tǒng)一的模式去進行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀上進行等價轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數(shù)學語言的翻譯；它可以在符號系統(tǒng)內(nèi)部實施轉(zhuǎn)換，即所說的恒等變形。消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問題等等，都體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進行等價轉(zhuǎn)化?？梢哉f，等價轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。 在數(shù)學操作中實施等價轉(zhuǎn)化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、

6、直觀化、標準化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式等；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，以便準確把握問題的求解過程，比如數(shù)形結(jié)合法；或者從非標準型向標準型進行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進行數(shù)學操作，轉(zhuǎn)化過程省時省力，有如順水推舟，經(jīng)常滲透等價轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力。分類討論在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重

7、要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。 引起分類討論的原因主要是以下幾個方面： 問題所涉及到的數(shù)學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a0、a=0、a2時分a0、a=0和a0三種情況討論。這稱為含參型。 另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。 進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重

8、要的一條是“不漏不重”。 解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結(jié)果；最后進行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。數(shù)形結(jié)合中學數(shù)學的基本知識分三類：一類是純粹數(shù)的知識，如實數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識，主要體現(xiàn)是解析幾何。 數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性

9、來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。 恩格斯曾說過：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學。”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。“數(shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少

10、直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。 ”數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。 數(shù)學中的知識，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標系或單位圓

11、來定義的。數(shù)學思想在人類文明中的作用 1、數(shù)學與自然科學：在天文學領(lǐng)域里，在第谷布拉埃觀察的基礎(chǔ)上，開普勒提出了天體運動三定律： （a）行星在橢圓軌道上繞太陽運動，太陽在此橢圓的一個焦點上。（b）從太陽到行星的向徑在相等的時間內(nèi)掃過的面積是F(如圖)。（c）行星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期的平方與橢圓軌道C的半長軸的立方成正比。開普勒是世界上第一個用數(shù)學公式描述天體運動的人，他使天文學從古希臘的靜態(tài)幾何學轉(zhuǎn)化為動力學。這一定律出色地證明了畢達哥拉斯主義核心的數(shù)學原理。的確是，現(xiàn)象的數(shù)學結(jié)構(gòu)提供了理解現(xiàn)象的鑰匙。愛因斯坦的相對論是物理學中，乃至整個宇宙的一次偉大革命。其核心內(nèi)容是時空觀的改變。牛頓力學的時空

12、觀認為時間與空間不相干。愛因斯坦的時空觀卻認為時間和空間是相互聯(lián)系的。促使愛因斯坦做出這一偉大貢獻的仍是數(shù)學的思維方式。愛因斯坦的空間概念是相對論誕生50年前德國數(shù)學家里曼為他準備好的概念。在生物學中，數(shù)學使生物學從經(jīng)驗科學上升為理論科學，由定性科學轉(zhuǎn)變?yōu)槎靠茖W。它們的結(jié)合與相互促進已經(jīng)產(chǎn)生并將繼續(xù)產(chǎn)生許多奇妙的結(jié)果。生物學的問題促成了數(shù)學的一大分支生物數(shù)學的誕生與發(fā)展，到今天生物數(shù)學已經(jīng)成為一門完整的學科。它對生物學的新應用有以下三個方面：生命科學、生理學、腦科學。 2、數(shù)學與社會科學如果說在自然科學中，更多的是運用數(shù)學的計算公式及計算能力；那么在社會科學的領(lǐng)域中，就更能體現(xiàn)出數(shù)學思想的作

13、用。要借助數(shù)學的思想，首先，必須發(fā)明一些基本公理，然后通過嚴密的數(shù)學推導證明，從這些公理中得出人類行為的定理。而公理又是如何產(chǎn)生的呢？借助經(jīng)驗和思考。而在社會學的領(lǐng)域中，公理自身應該有足夠的證據(jù)說明他們合乎人性，這樣人們才會接受。說到社會科學，就不免提一下數(shù)學在政治領(lǐng)域中的作用。休謨1曾說：“政治可以轉(zhuǎn)化為一門科學”。而在政治學公理中，洛克的社會契約論具有非常重要的意義，它不僅僅是文藝復興時期的代表，也推動了整個社會的進步。西方的資產(chǎn)階級的文明比起封建社會的文明是進步了許多，但它必將被社會主義、共產(chǎn)主義文明所取代。共產(chǎn)黨人提出的“解放全人類”為人民謀幸福、“為人民服務(wù)”和“三個代表”應當也必將

14、成為政府的基本公理。在政治中不能不提的便是民主，而民主最為直接的表現(xiàn)形式就是選舉。而數(shù)學在選票分配問題上發(fā)揮著重要作用。選票分配首先就是要公平，而如何才能做到公平呢？1952年數(shù)學家阿羅證明了一個令人吃驚的定理阿羅不可能定理，即不可能找到一個公平合理的選舉系統(tǒng)。這就是說，只有相對合理，沒有絕對合理。原來世上本無“公平”！阿羅不可能定理是數(shù)學應用于社會科學的一個里程碑。在經(jīng)濟學中，數(shù)學的廣泛而深入的應用是當前經(jīng)濟學最為深刻的變革之一?，F(xiàn)代經(jīng)濟學的發(fā)展對其自身的邏輯和嚴密性提出了更高的要求，這就使得經(jīng)濟學與數(shù)學的結(jié)合成為必然。首先，嚴密的數(shù)學方法可以保證經(jīng)濟學中推理的可靠性，提高討論問題的效率。其

15、次，具有客觀性與嚴密性的數(shù)學方法可以抵制經(jīng)濟學研究中先入為主的偏見。第三，經(jīng)濟學中的數(shù)據(jù)分析需要數(shù)學工具，數(shù)學方法可以解決經(jīng)濟生活中的定量分析。在人口學、倫理學、哲學等其他社會科學中也滲透著數(shù)學思想如何尋找數(shù)學的思想方法數(shù)學認識的一般性與特殊性數(shù)學作為對客觀事物的一種認識，與其他科學認識一樣，其認識的發(fā)生和發(fā)展過程遵循實踐認識再實踐的認識路線。但是，數(shù)學對象（量）的特殊性和抽象性，又產(chǎn)生與其他科學不同的、特有的認識方法和理論形式。由此產(chǎn)生數(shù)學認識論的特有問題。 數(shù)學認識的一般性 認識論是研究認識的本質(zhì)以及認識發(fā)生、發(fā)展一般規(guī)律的學說，它涉及認識的來源、感性認識與理性認識的關(guān)系、認識的真理性等問

16、題。數(shù)學作為對客觀事物的一種認識，其認識論也同樣需要探討這些問題；其認識過程，與其他科學認識一樣，也必然遵循實踐認識再實踐這一辯證唯物論的認識路線。事實上，數(shù)學史上的許多新學科都是在解決現(xiàn)實問題的實踐中產(chǎn)生的。最古老的算術(shù)和幾何學產(chǎn)生于日常生活、生產(chǎn)中的計數(shù)和測量，這已是不爭的歷史事實。數(shù)學家應用已有的數(shù)學知識在解決生產(chǎn)和科學技術(shù)提出的新的數(shù)學問題的過程中，通過試探或試驗，發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出解決新問題的具體方法，歸納或概括出新的公式、概念和原理；當新的數(shù)學問題積累到一定程度后，便形成數(shù)學研究的新問題（對象）類或新領(lǐng)域，產(chǎn)生解決這類新問題的一般方法、公式、概念、原理和思想，形成一套經(jīng)驗知識。這樣，有了

17、新的問題類及其解決問題的新概念、新方法等經(jīng)驗知識后，就標志著一門新的數(shù)學分支學科的產(chǎn)生，例如，17世紀的微積分。由此可見，數(shù)學知識是通過實踐而獲得的，表現(xiàn)為一種經(jīng)驗知識的積累。這時的數(shù)學經(jīng)驗知識是零散的感性認識，概念尚不精確，有時甚至導致推理上的矛盾。因此，它需要經(jīng)過去偽存真、去粗取精的加工制作，以便上升為有條理的、系統(tǒng)的理論知識。數(shù)學知識由經(jīng)驗知識形態(tài)上升為理論形態(tài)后，數(shù)學家又把它應用于實踐，解決實踐中的問題，在應用中檢驗理論自身的真理性，并且加以完善和發(fā)展。同時，社會實踐的發(fā)展，又會提出新的數(shù)學問題，迫使數(shù)學家創(chuàng)造新的方法和思想，產(chǎn)生新的數(shù)學經(jīng)驗知識，即新的數(shù)學分支學科。由此可見，數(shù)學作為

18、一種認識，與其他科學認識一樣，遵循著感性具體理性抽象理性具體的辯證認識過程。這就是數(shù)學認識的一般性。數(shù)學認識的特殊性 科學的區(qū)分在于研究對象的特殊性。數(shù)學研究對象的特殊性就在于，它是研究事物的量的規(guī)定性，而不研究事物的質(zhì)的規(guī)定性；而“量”是抽象地存在于事物之中的，是看不見的，只能用思維來把握，而思維有其自身的邏輯規(guī)律。所以數(shù)學對象的特殊性決定了數(shù)學認識方法的特殊性。這種特殊性表現(xiàn)在數(shù)學知識由經(jīng)驗形態(tài)上升為理論形態(tài)的特有的認識方法公理法或演繹法，以及由此產(chǎn)生的特有的理論形態(tài)公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)。因此，它不能像自然科學那樣僅僅使用觀察、歸納和實驗的方法，還必須應用演繹法。同時，作為對數(shù)學經(jīng)驗知識概括

19、的公理系統(tǒng)，是否正確地反映經(jīng)驗知識呢？數(shù)學家解決這個問題與自然科學家不盡相同。特別是，他們不是被動地等待實踐的裁決，而是主動地應用形式化方法研究公理系統(tǒng)應該滿足的性質(zhì)：無矛盾性、完全性和公理的獨立性。為此，數(shù)學家進一步把公理系統(tǒng)抽象為形式系統(tǒng)。因此，演繹法是數(shù)學認識特殊性的表現(xiàn)。概括數(shù)學本質(zhì)的嘗試數(shù)學認識的一般性表明，數(shù)學的感性認識表現(xiàn)為數(shù)學知識的經(jīng)驗性質(zhì)；數(shù)學認識的特殊性表明，數(shù)學的理性認識表現(xiàn)為數(shù)學知識的演繹性質(zhì)。因此，認識論中關(guān)于感性認識與理性認識的關(guān)系在數(shù)學認識論中表現(xiàn)為數(shù)學的經(jīng)驗性與演繹性的關(guān)系。所以，認識數(shù)學的本質(zhì)在于認識數(shù)學的經(jīng)驗性與演繹性的辯證關(guān)系。那么數(shù)學哲學史上哲學家是如何

20、論述數(shù)學的經(jīng)驗性與演繹性的關(guān)系，從而得出他們對數(shù)學本質(zhì)的看法的呢？數(shù)學哲學史上最早探討數(shù)學本質(zhì)的是古希臘哲學家柏拉圖。他在理想國中提出認識的四個階段，認為數(shù)學是處于從感性認識過渡到理性認識的一個階梯，是一種理智認識。這是柏拉圖對數(shù)學知識在認識論中的定位，第一次觸及數(shù)學的本質(zhì)問題。 17世紀英國經(jīng)驗論哲學家J.洛克在批判R.笛卡爾的天賦觀念中建立起他的唯物主義經(jīng)驗論，表述了數(shù)學經(jīng)驗論觀點。他強調(diào)數(shù)學知識來源于經(jīng)驗，但又認為屬于論證知識的數(shù)學不如直覺知識清楚和可靠。德國哲學家兼數(shù)學家萊布尼茨在建立他的唯理論哲學中，闡述了唯理論的數(shù)學哲學觀。他認為：“全部算術(shù)和全部幾何學都是天賦的”；數(shù)學只要依靠矛

21、盾原則就可以證明全部算術(shù)和幾何學；數(shù)學是屬于推理真理。他否認了數(shù)學知識具有經(jīng)驗性。 德國哲學家康德為了克服唯理論與經(jīng)驗論的片面性，運用他的先驗論哲學，從判斷的分類入手，論述了數(shù)學是“先天綜合判斷”。由于這一觀點帶有先驗性和調(diào)和性，所以它并沒有解決數(shù)學知識的經(jīng)驗性與演繹性的辯證關(guān)系。康德以后，數(shù)學發(fā)展進入一個新時期，它的一個重要特點是公理化傾向。這一趨勢使大多數(shù)數(shù)學家形成一種認識：數(shù)學是一門演繹的科學。這種觀點的典型代表是數(shù)學基礎(chǔ)學派中的邏輯主義和形式主義。前者把數(shù)學歸結(jié)為邏輯，后者把數(shù)學看作是符號游戲。1931年哥德爾不完全性定理表明了公理系統(tǒng)的局限性和數(shù)學演繹論的片面性。這就使得一些數(shù)學家開

22、始懷疑“數(shù)學是一門演繹科學”的觀點，提出，數(shù)學是一門有經(jīng)驗根據(jù)的科學，但它并不排斥演繹法。這引起一場來自數(shù)學家的有關(guān)數(shù)學本質(zhì)的討論。拉卡托斯為了避免數(shù)學演繹論與經(jīng)驗論的片面性，從分析數(shù)學理論的結(jié)構(gòu)入手，提出數(shù)學是一門擬經(jīng)驗科學。他說：“作為總體上看，按歐幾里得方式重組數(shù)學也許是不可能的，至少最有意義的數(shù)學理論像自然科學理論一樣，是擬經(jīng)驗的?！北M管拉卡托斯給封閉的歐幾里得系統(tǒng)打開了第一個缺口，但是，擬經(jīng)驗論實際上是半經(jīng)驗論，并沒有真正解決數(shù)學性質(zhì)問題，因而數(shù)學家對它以及數(shù)學哲學史上有關(guān)數(shù)學本質(zhì)的概括并不滿意。1973年，數(shù)理邏輯學家A.羅賓遜說：“就應用辯證法來仔細分析數(shù)學或某一種數(shù)學理論（如微

23、積分）而言，在我所讀的從黑格爾開始的這方面的著作中，還沒有發(fā)現(xiàn)經(jīng)得起認真批判的東西?！币虼耍斢嬎銠C在數(shù)學中的應用引起數(shù)學研究方式的變革時，特別是當計算機證明了四色定理和借助計算機進行大量試驗而創(chuàng)立分形幾何時，再次引起了數(shù)學家們對“什么是證明？”“什么是數(shù)學？”這類有關(guān)數(shù)學本質(zhì)的爭論。數(shù)學本質(zhì)的辯證性正因為一些著名數(shù)學家不滿意對數(shù)學本質(zhì)的概括，他們開始從數(shù)學研究的體驗來闡明數(shù)學的經(jīng)驗性與演繹性的相互關(guān)系。D.希爾伯特說：數(shù)學的源泉就在于思維與經(jīng)驗的反復出現(xiàn)的相互作用，馮諾伊曼說：數(shù)學的本質(zhì)存在著經(jīng)驗與抽象的二重性；R.庫朗說：數(shù)學“進入抽象性的一般性的飛行， 必須從具體和特定的事物出發(fā)，并且又

24、返回到具體和特定的事物中去”；而A.羅賓遜則寄希望于：“出現(xiàn)一種以辯證的研究方法為基礎(chǔ)的、態(tài)度認真的數(shù)學的哲學”。本節(jié)將根據(jù)數(shù)學知識的三種形態(tài)（經(jīng)驗知識、公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)）及其與實踐的關(guān)系，具體說明數(shù)學的經(jīng)驗性與演繹性的辯證關(guān)系。 經(jīng)驗知識是有關(guān)數(shù)學模型及其解決方法的知識。數(shù)學家利用數(shù)學和自然科學的知識，從現(xiàn)實問題中提煉或抽象出數(shù)學問題（數(shù)學模型），然后求模型的數(shù)學解（求模型解），并返回實踐中去解決現(xiàn)實問題。這一過程似乎是數(shù)學知識的簡單應用，但事實并非如此。因為數(shù)學模型是主觀對客觀的反映，而人的認識并非一次完成，特別是遇到復雜的問題時，需要修正已有的數(shù)學模型及其求解的方法和理論，并經(jīng)多次反復

25、試驗，才能解決現(xiàn)實問題。況且社會實踐的發(fā)展，使得舊的方法和知識在解決新問題時顯得繁瑣，甚至無能為力，從而迫使數(shù)學家發(fā)明或創(chuàng)造新的方法、思想和原理，并在實踐中得到反復檢驗，產(chǎn)生新的數(shù)學分支學科。這時的數(shù)學知識是在解決實踐提出的數(shù)學問題中產(chǎn)生的，屬于經(jīng)驗知識，具有經(jīng)驗的性質(zhì)。數(shù)學的經(jīng)驗性向演繹性轉(zhuǎn)化 第一部分講過，數(shù)學經(jīng)驗知識具有零散性和不嚴密性，有待于上升或轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的理論知識；而數(shù)學對象的特殊性使得這種轉(zhuǎn)化采取特殊的途徑和方法公理法，產(chǎn)生特有的理論形態(tài)公理系統(tǒng)。所以，數(shù)學的經(jīng)驗性向演繹性的轉(zhuǎn)化，具體表現(xiàn)為經(jīng)驗知識向作為理論形態(tài)的公理系統(tǒng)的轉(zhuǎn)化。公理系統(tǒng) 是應用公理方法從某門數(shù)學經(jīng)驗知識中提煉出

26、少數(shù)基本概念和公理作為推理的前提，然后根據(jù)邏輯規(guī)則演繹出屬于該門知識的命題構(gòu)成的一個演繹系統(tǒng)。它是數(shù)學知識的具體理論形態(tài)，是對數(shù)學經(jīng)驗知識的理論概括。就其內(nèi)容來說，是經(jīng)驗的；但就其表現(xiàn)形式來說，是演繹的，具有演繹性質(zhì)。因為數(shù)學成果（一般表現(xiàn)為定理）不能靠歸納或?qū)嶒瀬碜C實，而必須通過演繹推理來證明，否則，數(shù)學家是不予承認的。公理系統(tǒng)就其對經(jīng)驗知識的概括來說，是理性認識對感性認識的抽象反映。為了證實這種抽象反映的正確性，數(shù)學家采取兩種解決辦法。一是讓理論回到實踐，通過實際應用來檢驗、修改理論。歐幾里得幾何的不嚴密性就是通過此種方法改進的。二是從理論上研究公理系統(tǒng)應該滿足的性質(zhì)：無矛盾性、完全性和公

27、理的獨立性。這就引導數(shù)學家對公理系統(tǒng)的進一步抽象，產(chǎn)生形式系統(tǒng)。形式系統(tǒng) 是形式化了的公理系統(tǒng)，是由形式語言、公理和推理規(guī)則組成的。它是應用形式化方法從不同的具體公理系統(tǒng)中抽象出共同的推理形式，構(gòu)成一個形式系統(tǒng)；然后用有窮推理方法研究形式系統(tǒng)的性質(zhì)。所以，形式系統(tǒng)是撇開公理系統(tǒng)的具體內(nèi)容而作的進一步抽象，是數(shù)學知識的抽象理論形態(tài)。它采用的是形式推理的方法，表現(xiàn)其知識形態(tài)的演繹性。數(shù)學的演繹性向經(jīng)驗性的轉(zhuǎn)化 這除了前面說過的認識論原因外，對公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)的研究也證實了這種轉(zhuǎn)化的必要性。哥德爾不完全性定理嚴格證明了公理系統(tǒng)的局限性：（1 ）形式公理系統(tǒng)的相容性不可能在本系統(tǒng)內(nèi)得到證明，必須求助

28、于更強的形式公理系統(tǒng)才能證明。而相容性是對公理系統(tǒng)最基本的要求，那么在找到更強的形式公理系統(tǒng)之前，數(shù)學家只能像公理集合論那樣，讓公理系統(tǒng)回到實踐中去，通過解決現(xiàn)實問題而獲得實踐的支持。（2 ）如果包含初等算術(shù)的形式公理系統(tǒng)是無矛盾的，那么它一定是不完全的。這就是說，即使形式系統(tǒng)的無矛盾性解決了，它又與不完全性相排斥?！安煌耆浴笔侵?，在該系統(tǒng)中存在一個真命題及其否定都不可證明（稱為不可判定命題）。所以，“不完全性”說明，作為對數(shù)學經(jīng)驗知識的抽象的公理系統(tǒng)，不可能把屬于該門數(shù)學的所有經(jīng)驗知識（命題）都包括無遺。對于“不可判定命題”的真假，只有訴諸實踐檢驗。因此，這兩種情況說明，要解決公理系統(tǒng)的無

29、矛盾性和不可判定命題，必須讓數(shù)學的理論知識返回到實踐接受檢驗。由此可見，數(shù)學的認識過程是：在解決現(xiàn)實問題的實踐基礎(chǔ)上獲得數(shù)學的經(jīng)驗知識；然后上升為演繹性的理論知識（公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)）；再返回到實踐中，通過解決現(xiàn)實問題而證實自身的真理性，完善或發(fā)展新的數(shù)學知識。這是辯證唯物論的認識論在數(shù)學認識論上的具體表現(xiàn)，反映了數(shù)學本質(zhì)上是數(shù)學知識的經(jīng)驗性與演繹性在實踐基礎(chǔ)上的辯證統(tǒng)一。演算的方法既然數(shù)學的本質(zhì)是經(jīng)驗性與演繹性在實踐基礎(chǔ)上的辯證統(tǒng)一，那么能否對數(shù)學的本質(zhì)進一步作出哲學概括呢？即用簡潔的語言表達數(shù)學的本質(zhì)，就像拉卡托斯說的“數(shù)學是擬經(jīng)驗的科學”那樣。為此，本文提出，數(shù)學是一門演算的科學（其中“

30、演”表示演繹，“算”表示計算或算法，“演算”表示演與算這對矛盾的對立統(tǒng)一）。在此，必須說明三點：何以如此概括？“演算”能否反映數(shù)學研究的特點以及能否反映數(shù)學本質(zhì)的辯證性？ 1.何以如此概括？首先，從理論上講，數(shù)學本質(zhì)是數(shù)學觀的一個重要問題，而數(shù)學觀與數(shù)學方法論是統(tǒng)一的，所以可以通過方法論來分析數(shù)學觀。數(shù)學認識對象的特殊性決定了數(shù)學認識方法的特殊性。這種特殊性表現(xiàn)在，數(shù)學研究除了像自然科學那樣僅僅采用觀察、實驗、歸納的方法外，還必須采用演繹法。因此，可以通過研究數(shù)學認識方法來反映數(shù)學認識的本質(zhì)。其次，從事實上看，數(shù)學知識的經(jīng)驗性表明數(shù)學是適應社會實踐需要而產(chǎn)生的，是解決實際問題的經(jīng)驗積累。社會實

31、踐提出的數(shù)學問題都要求給出定量的回答，而要作出定量的回答就必須進行具體的計算，所以計算表征了數(shù)學經(jīng)驗知識的特點。而對于各種具體的計算方法及其一般概括的“算法”（包括公式、原理、法則），也都可以用“算”來概括、反映數(shù)學知識的經(jīng)驗性在方法論上的計算或算法特點。同時，數(shù)學知識的演繹性反映數(shù)學認識在方法論上的演繹特點，所以，可以用“演”來反映數(shù)學知識的演繹性。因此，我們可以用“演算”來反映數(shù)學本質(zhì)的經(jīng)驗性與演繹性。第三，為避免概括數(shù)學本質(zhì)的片面性。自從數(shù)學分為應用數(shù)學與純粹數(shù)學以后，許多數(shù)學家認為，數(shù)學來源于經(jīng)驗是很早以前的事，現(xiàn)在已經(jīng)不是了，而是變成一門演繹科學了。而一般人也接受這種觀點。但這樣強調(diào)

32、數(shù)學的演繹性特點，卻忽視了數(shù)學具有經(jīng)驗性質(zhì)的一面。為了避免這種片面性，這里特別通過數(shù)學方法論來概括和反映數(shù)學的本質(zhì)。 2.“演算”反映了數(shù)學研究的特點數(shù)學研究對象的特殊性產(chǎn)生了數(shù)學研究特有的問題：計算與證明。它們成為數(shù)學研究的兩項主要工作。關(guān)于“證明”。數(shù)學對象的特殊性使得數(shù)學成果不能像自然科學成果那樣通過實驗來證實，而必須通過邏輯演繹來證明，否則數(shù)學家是不予承認的。所以，數(shù)學家如何把自己的成果表達成一系列的演繹推理（即證明）就成為重要工作。證明成為數(shù)學研究工作的重要特點。關(guān)于“計算”。數(shù)學本身就是起源于計算，即使數(shù)學發(fā)展到高度抽象理論的今天，也不能沒有計算。數(shù)學家在證明一個定理之前，必須經(jīng)過大量的具體計算，進行各種試驗或?qū)嶒?，并加以分析、歸納，才能形成證明的思路和方法。只有在這時候，才能從邏輯上進行綜合論證，表達為一系列的演繹推理過程，即證明。從應用數(shù)學來看，更是需要大量的計算，所以人們才發(fā)明各種計算機。在電子計算機廣泛應用的今天，計算的規(guī)模更大了，以致在數(shù)學中出現(xiàn)數(shù)值實驗。因此，計算成為數(shù)學研究的另一項重要工作。既然“計算與證明”是數(shù)學研究的兩項主要工作和特點，那么“數(shù)學是演算的科學”這一概括是否反