2013-2014學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)階段測(cè)驗(yàn)一試卷答案

1、2013-2014學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)階段測(cè)驗(yàn)試卷（一）答案Page 10 of 10第 頁(yè)共10頁(yè)2013-2014學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)階段測(cè)驗(yàn)試卷(一)答案Page of 10第2頁(yè)共10頁(yè)北京交通大學(xué)20132014學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)階段測(cè)驗(yàn)（一）試卷參 考 答 案（本題滿分4分）從1到1000這1000個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，求取出的數(shù)字能被2或者被3整除的概率.解：設(shè)人=取出的數(shù)字能夠被2或者3整除”，所求概率為P（A）.B= 取出的數(shù)字能夠被2整除”，C= 取出的數(shù)字能夠被3整除”.則 A = B = C.由概率的加法公式，得P A ）=P B . C ）=P

2、B P C - P BC1000 1000 1000 1000二.（本題滿分8分）n （n 2個(gè)人圍成一個(gè)圓圈，求甲、乙兩人站在一起的概率.解：n個(gè)人圍成一個(gè)圓圈，有方法（n-1J種，這是樣本點(diǎn)總數(shù).設(shè)人=”甲、乙兩人站在一起”.甲乙兩人站在一起，有2種可能，將甲乙兩人排好后，再與其余n-2人，共n-1個(gè)“人”排成一個(gè)圓圈，有（n-2）!種方法，因此A事件所含的樣本 點(diǎn)數(shù)為2Ms -2）!.所以PAT（本題滿分8分）A報(bào)紙的占45%,訂有B報(bào)紙?jiān)谀吵鞘兄?，共發(fā)行 3種報(bào)紙A, B, C,在這城市的居民中，訂有的占35%,訂有C報(bào)紙的占30%,同時(shí)訂購(gòu) A, B報(bào)紙的占10%,同時(shí)訂購(gòu)B, C報(bào)

3、紙的占5%,同時(shí)訂購(gòu)A, C報(bào)紙的占8%,同時(shí)訂購(gòu) A, B, C報(bào)紙的占3% ,試求下列事件的百分率：只訂購(gòu)A報(bào)紙的(4分)； 正好訂購(gòu)兩種報(bào)紙的(4分).解：設(shè)A= 訂購(gòu)A報(bào)紙”；B = 訂購(gòu)B報(bào)紙”；C = 訂購(gòu)C報(bào)紙”.由已知，P(A)=0.45, P(B)=0.35, P(C )= 0.30 , P(AB)=0.10, P(BC)=0.05,P(AC ) = 0.08, P(ABC )=0.03.所求概率為P(ABC ).P ABC =PA-B -C =PA-AB_. C= PA-PAB - C =PA-PAB 一 AC=PA -P AB -P AC P ABC=0.45-0.10-

4、0.08 +0.03 = 0.30. 所求概率為P(ABC G ABCo ABC ).P ABC 一 ABC 一 ABC = P ABC P ABC P ABC =P AB -ABC P AC - ABC P BC - ABC=P AB P AC P BC -3P ABC=0.10 + 0.05 + 0.08 -3 父 0.03 = 0.14 .四.(本題滿分8分)將6只顏色分別為黑、白、紅、黃、藍(lán)、綠的球任意地放入6只顏色也分別為黑、白、紅、黃、藍(lán)、綠的盒子中，每個(gè)盒子放一球.求球與盒子的顏色都不一致的概率.解：設(shè)8= ”球與盒子的顏色都不一致”.A= 黑球放入黑盒”，A2= 白球放入白盒”

5、，A3= 紅球放入紅盒”，A4 = 黃球放入黃盒”，A5 = 藍(lán)球放入藍(lán)盒，A = 綠球放入綠盒”，6則有 b=AA2A3A4AA6 =u A .所以有 i 1P（B ）=P U A =1 P U A IU H J6二1j PA . p AAj 一 、PAAjAk 、 P AAjAkA“ PAAAAAmP AA2AAAA小:i :m6二16 5!.4!.3!一乙一+ 乙 -乙 一+i 4 6! 1:166! 1.m：j 小女 6!2!6!-Z13 d ?。簂 ：m-261!16! 6!二1一 C1 5! C626hC33! C6 6!1!1+ 6! 6!1531! 2! 3! 4! 5! 6!

6、 一 144五.（本題滿分8分）某地區(qū)有甲、乙、丙、丁四家商店，分別有員工80人、90人、60人及150人，其中女員工分別占，1各店員工總數(shù)的12213、一和一，現(xiàn)已知一名女貝工辭職了，求這名貝工是乙商店貝工的概率.345解:“辭職員工是甲店員工”“辭職員工是乙店員工”“辭職員工是丙店員工”“辭職員工是丁店員工”“辭職員工是女員工”則所求概率為P（A2B ）.由Bayes公式，得P4B =P A2 P B A?4P P（A P（B A ）i 190 2=380 3段1段2型。150 3380 2 380 3 380 4 380 512=0.2 92 6 82 9.2 6841六.（本題滿分8分

7、）設(shè) P（A）=0.4, P（B ）=0.5,P（C ）=0.5 .試分別就下面兩種情況，計(jì)算概率P（A-C AB= C ）:2013-2014學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)階段測(cè)驗(yàn)試卷(一)答案Page of 10B3= 3枚導(dǎo)彈都命中目標(biāo)”第4頁(yè)共10頁(yè)2013-2014學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)階段測(cè)驗(yàn)試卷(一)答案Page of 10B3= 3枚導(dǎo)彈都命中目標(biāo)”第4頁(yè)共10頁(yè).隨機(jī)事件 A、B、C相互獨(dú)立；.隨機(jī)事件 A、B相互獨(dú)立，且隨機(jī)事件 A、C互不相容；解：A c AC c 、 P(aCc(AB = C P(aC C AB 儲(chǔ)(AC C C )P(A C AB u C )= -

8、u = -P(ABuC)P(ABuC)_ P abC p ab - p abc-p ab _ C - P ab p c -p abc(1),隨機(jī)事件A、B、C相互獨(dú)立時(shí)八c 八P(AB)-P(ABC)P(A -C AB ljC )=匚p(ab )+P(C )-p(abc)PAPB -PAPBPC0.4 0.5 -0.4 0.5 0.51P A P B P C -PAP B P C _ 0.4 0.5 0.5 - 0.4 0.5 0.5 - 6 (2),隨機(jī)事件A、B相互獨(dú)立，且隨機(jī)事件 A、C互不相容時(shí)，即AC=0 ,并且由于ABC u AC,所以有ABC=0 .因此，八 c c 、p(ab)

9、p(abc)p(ab)P(A C AB 2 C )=p(ab )+ P(C) p(abc ) p(ab )+ PC )P A P B0.4 0.52P A P B P C 0.4 0.5 0.5 7 七.(本題滿分8分)設(shè)甲，乙，丙三枚導(dǎo)彈向同一目標(biāo)射擊.已知甲，乙，丙三枚導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的概率分別為0.4, 0.5,0.7 .如果只有一枚導(dǎo)彈擊中目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為0.2；如果只有兩枚導(dǎo)彈擊中目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為0.6 ;如果三枚導(dǎo)彈全擊中目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為 0.9 . 求目標(biāo)被摧毀的概率(4分).已知目標(biāo)被摧毀，求恰有兩枚導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的概率(4分).解：(1)設(shè)人=甲導(dǎo)彈命中目標(biāo)

10、”，A2= 乙導(dǎo)彈命中目標(biāo)，內(nèi)導(dǎo)彈命中目標(biāo)”.B1= 恰有1枚導(dǎo)彈命中目標(biāo)”，B2= 恰有2枚導(dǎo)彈命中目標(biāo)”，2013-2014學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)階段測(cè)驗(yàn)試卷（一）答案Page 10 of 10第 頁(yè)共10頁(yè)2013-2014學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)階段測(cè)驗(yàn)試卷（一）答案Page 10 of 10第 頁(yè)共10頁(yè)C= 目標(biāo)被摧毀” .則有B1 = aAA 2 AlAA32AA2A,所以，P B1 )=P A1A2A3 一 AA2A3 一 A1A2A3: P AAA P AA2A3P NA2A3= PAiPA2PA3pApa2PA3PA1PA2PA3= 0.4 1 -0.5 1 -0

11、.71 -0.4 0.5 1 -0.71 -0.4 1 -0.5 0.7= 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7= 0.36 .又有b2 mA&KuA&AjAaa ,所以，P B2 =P AA2A - A1A2A3 - 2A3=PAA2A3P aAaP a1A2A3=p A1 p a2PA3p A1 p A2PA3p A1PA2PA3= 0.4 0.5 1-0.70.4 1 -0.5 0.71-0.4 0.5 0.7= 0.4 0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.6 0.5 0.7= 0.41 .又有B3=AA2A3,所以，P B3 = P A1A2A

12、3=P A1 P A2PA3= 0.4 0.5 0.7= 0.14 .因此，由全概率公式，得3P(C )=工 P(Bi Pc B )= 0.36 M 0.2 +0.41 M 0.6+0.14 M 0.9 = 0.444 .i 1所求概率為p（B20.P B2 P C B20.41 0.6P（B2 C =J=0.55 40 540 54P C0.4 44.（本題滿分8分）某工廠宣稱自己的產(chǎn)品的次品率為 20% ,檢查人員從該廠的產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取10件，發(fā)現(xiàn)有3件次品，可否據(jù)此判斷該廠謊報(bào)了次品率？解：將抽取10件產(chǎn)品看作是一 10重Bernoulli試驗(yàn)，每次試驗(yàn)“成功”的概率為 p = 0.2

13、.設(shè)X:抽取10件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X B（10, 0.2）所以，PX =3 =C13） 0.23 0.87 =0.2013因此隨機(jī)事件“ x =3”并非是小概率事件，故不能據(jù)此判斷該廠謊報(bào)了次品率.（本題滿分8分）設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F (x )= A + Barctanx ,(0 x 收試求：.系數(shù)A與B （3分）；.概率p-1 X 1 （3分）；.隨機(jī)變量X的密度函數(shù)（2分）.解:.由 lim F(x)=1, lim F(x)=0,得 x J 二二x一J-二二3T= lim F x = lim A B a r c t a n= A 一 B TOC o 1-5 h z x j 二

14、二x j 二二2310 = lim F x = lim A-Barctan=A-B冗A+ B=111解方程組2 ，得A=, B= 22nA B=02.2所以，1F xarctan x二.P，1 : X 1 ；=F 1 -F -111arctan-112a rc t a-iiJI.X的密度函數(shù)為f（x）=Fx）=十.（本題滿分8分）某地區(qū)成年男子的體重X2（以kg計(jì)）服從正態(tài)分布 N（N,仃）.若已知P(XM70 )=0.5, P(X M60 )=0.25 ,求N與CT的值;如果在該地區(qū)隨機(jī)抽取5名成年男子，求至少有兩個(gè)人的體重超過(guò)65 kg的概率.解:X _ 口 70 口、由已知P(X E70

15、)=P -65H-P(X65H-P(r154i7rh-P=1 ( 0.3376 )=(0.3376 )=0.6631 .設(shè)X:該地區(qū)隨機(jī)抽取的5名成年男子中體重超過(guò)65kg的人數(shù).貝XB(5, 0.6631 ).設(shè)B = 5人中至少有兩人的體重超過(guò)65 kg .則 P B )=P X _2 )=1 -P X 1 - P X =0)=P X =11 -C5 x0.66310 x0.33695 -C5 父0.66311 x0.33694 =0.9530 .(已知 中(0.675 ) = 0.75,(0.34 ) = 0.6631 )十一.(本題滿分8分)一袋中有5個(gè)編號(hào)分別為1, 2, 3, 4,

16、 5的乒乓球，從中任意地取出三個(gè)，以X表示取出的三個(gè)球 中的最大號(hào)碼，寫出 X的分布律和 X的分布函數(shù)，并畫出其分布函數(shù)的圖形.解:X的取值為3, 4, 5,并且C5A，px=44C5泵 PX=5=C3C510所以，X的分布律為X345136P101010X的分布函數(shù)為F(x)=*1041015Mx（分布函數(shù)的圖形省略.）十二.（本題滿分8分）假設(shè)一個(gè)人在一年中患感冒的次數(shù)X服從參數(shù)為九=4的Poisson 分布.現(xiàn)有一種預(yù)防感冒的新藥,它對(duì)于22%的人來(lái)講，可將上面的參數(shù)九降為九=1（稱為療效顯著）；對(duì)37%的人來(lái)講，可將上面的參數(shù)K降為九=3 （稱為療效一般）；而對(duì)于其余的人來(lái)講則是無(wú)效的

17、.現(xiàn)有一人服用此藥一年， 在這一年中,他患了 2次感冒，求此藥對(duì)他是 療效顯著”概率有多大？解：設(shè)Ai= 此藥療效顯著, A2= 此藥療效一般, A3 = 此藥無(wú)效,B =某人一年中2次感冒.由題設(shè)，可知如果事件Ai發(fā)生，則X服從參數(shù)為九=1的Poisson分布；如果事件外發(fā)生， 則X服從參數(shù)為兒=3的Poisson分布；如果事件A3發(fā)生，則X服從參數(shù)為九=4的Poisson 分布.因此，由Bayes公式，我們有PAB = 3PA1PBAP P(Ak PB A )I 1= 0.2 2 0 6.0.22 e23 j34 工0.22 e 0.37 e0.41 一e22十三.（本題滿分8分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為2x八2 i x _20 x nfX僅）=冗,0其它求隨機(jī)變量Y =sin X的密度函數(shù)fY（y ）