高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 第3章專題7 雙曲線的離心率?？碱}型專題練習(xí)

1、雙曲線的離心率考向一 根據(jù)a,b,c的值或關(guān)系直接求離心率1、（1）已知點(diǎn)(2，3)在雙曲線C：(a0，b0)上，若雙曲線C的焦距為4，則它的離心率_；（2）設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率_；【解析】（1）由點(diǎn)(2，3)在雙曲線C可得 又焦距為4，所以c=2 ，聯(lián)立，解得，所以雙曲線C的離心率當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，由題意可得當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，由題意可得2、設(shè)F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若雙曲線上存在點(diǎn)A,使F1AF2=90,且|AF1|=3|AF2|,則雙曲線的離心率等于 .【答案】【解析】由,由F1AF2=90,得,即

2、(3a)2+a2=(2c)2,得e=.考向二 根據(jù)公式求離心率1、漸近線方程為xy=0的雙曲線的離心率是AB1CD2解析 根據(jù)漸進(jìn)線方程為 QUOTE xy=0 的雙曲線，可得 QUOTE a=b ，所以 QUOTE c=2a ，則該雙曲線的離心率為 QUOTE e=ca=2 ，故選C2、若雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的離心率為eq r(3)，則其漸近線方程為()Ay2x Byeq r(2)xCyeq f(1,2)x Dyeq f(r(2),2)x【答案】B【解析】在雙曲線中，離心率eeq f(c,a)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)eq s

3、up20(2)eq r(3)，可得eq f(b,a)eq r(2)，故所求的雙曲線的漸近線方程是yeq r(2)x.3.若雙曲線 eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則此雙曲線的離心率為()A.eq f(r(7),3)B.eq f(5,4)C.eq f(4,3)D.eq f(5,3)【答案】D【解析】(1)由題意知eq f(b,a)eq f(4,3)，則e21eq f(b2,a2)eq f(25,9)，所以eeq f(5,3).4、設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|P

4、F1|PF2|3b，|PF1|PF2|eq f(9,4)ab，則該雙曲線的離心率為 。【答案】eq f(5,3)【解析】考慮雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)P在右支上，則|PF1|PF2|2a，而|PF1|PF2|3b，兩式等號(hào)左右兩邊平方后相減，得|PF1|PF2|eq f(9b24a2,4).又已知|PF1|PF2|eq f(9,4)ab，eq f(9,4)abeq f(9b24a2,4)，得eq f(b,a)eq f(4,3)(負(fù)值舍去)該雙曲線的離心率eeq f(c,a)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)eq sup20(2)eq r(1blc(rc)(avs4alco

5、1(f(4,3)eq sup20(2)eq f(5,3).5、設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，則該雙曲線的離心率為 ?！敬鸢浮縠q r(17)【解析】由雙曲線的定義知，(|PF1|PF2|)24a2，所以4a2b23ab，即eq f(b2,a2)3eq f(b,a)4，解得eq f(b,a)4(1舍去)因?yàn)殡p曲線的離心率eeq f(c,a)eq r(1f(b2,a2)，所以eeq r(17).6、已知直線l過點(diǎn)A(-1,0)且與B：x2+y2-2x=0相切于點(diǎn)D，以坐標(biāo)軸

6、為對(duì)稱軸的雙曲線E過點(diǎn)D，一條漸近線平行于l，則E的離心率為 ?！敬鸢浮縠【解析】可設(shè)直線l：yk（x+1），B：x2+y22x0的圓心為（1，0），半徑為1，由相切的條件可得，可得漸近線方程為，直線l方程，聯(lián)立x2+y22x0，解得即D（），設(shè)雙曲線的方程為又雙曲線E過點(diǎn)D，代入D的坐標(biāo)，可得則雙曲線的方程為則考向三 根據(jù)幾何關(guān)系找a,b,c的關(guān)系求離心率1、已知F為雙曲線C：的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B若，則C的離心率是ABCD2【答案】A2、雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為的直線交雙曲線左支于A,B兩點(diǎn)，是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且，若該雙曲線的離心率

7、為e，則ABCD【答案】D3、已知A，B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為() A.eq r(5) B2 C. eq r(3) D.eq r(2)【答案】D【解析】設(shè)雙曲線方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，不妨設(shè)點(diǎn)M在雙曲線的右支上，如圖，ABBM2a，MBA120，作MHx軸于H，則MBH60，BHa，MHeq r(3)a，所以M(2a，eq r(3)a)將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，得ab，所以eeq r(2).故選D.4、過雙曲線C：eq f(x2,a2)eq

8、 f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為_【答案】2eq r(3)【解析】如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線C的左，右焦點(diǎn)，將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)2a代入eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1中，得y23b2，不妨令點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2a，eq r(3)b)，此時(shí)kPF2eq f(r(3)b,c2a)eq f(b,a)，得到c(2eq r(3)a，即雙曲線C的離心率eeq f(c,a)2eq r(3).5、已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作等邊三角形M

9、F1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率e_【答案】eq r(3)1【解析】依題意知，F(xiàn)1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，不妨設(shè)M在x軸上方，則M(0，eq r(3)c)，所以MF1的中點(diǎn)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(c,2)，f(r(3),2)c)，代入雙曲線方程可得eq f(c2,4a2)eq f(3c2,4b2)1，又c2a2b2，所以eq f(c2,4a2)eq f(3c2,4（c2a2）)1，整理得e48e240，解得e242eq r(3)(e242eq r(3)1舍去)，所以eeq r(3)1.6、設(shè)雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線及其漸近

10、線上各存在一點(diǎn)Q，P使得四邊形OPFQ為矩形，則其離心率為 .【答案】【解析】依據(jù)題意作出如下圖像，其中四邊形OPFQ為矩形，雙曲線的漸近線方程為：，所以直線QO的方程為，直線QF的方程為：，聯(lián)立直線OQ與直線QF的方程可得：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：，又點(diǎn)Q在雙曲線上，所以7雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1的直線與圓x2+y2=a2相切，與C的左、右兩支分別交于點(diǎn)A、B，若，則C的離心率為 ?！敬鸢浮俊窘馕觥坑呻p曲線的定義可得|BF1|BF2|2a，|AB|BF2|，可得|AF1|2a，則|AF2|AF1|+2a4a，化簡(jiǎn)可得c410a2c2+13a40，可得e410e2+130，解得e2，

11、可得，8、已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若則該雙曲線的離心率為( )A2B3CD【答案】D【解析】根據(jù)題意可畫出以上圖像，過點(diǎn)作垂線并交于點(diǎn)，因?yàn)?，在雙曲線上，所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知，即，因?yàn)閳A的半徑為，是圓的半徑，所以，因?yàn)椋?，三角形是直角三角形，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程中可得，解得，將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線中可得，化簡(jiǎn)得，故選D?？枷蛩?橢圓與雙曲線綜合求離心率1、已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，為與的一個(gè)交點(diǎn)，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則_【答案】【解析】如圖，由橢圓定義及勾股定理得，可得 ， 同理可得 即，故答案為：2、已知橢圓，雙曲線若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為_；雙曲線