高等數(shù)上冊期末知識點

1、學習必備 歡迎下載 高等數(shù)學上冊 第一章 函數(shù)與極限 （一） 函數(shù) 1, 函數(shù)定義及性質(zhì)（有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性） ； 2, 反函數(shù),復合函數(shù),函數(shù)的運算； 3, 初等函數(shù)：冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù),反三角函 數(shù),雙曲函數(shù),反雙曲函數(shù)； 4, 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點； 函數(shù) f x 在 x0 連續(xù) lim f x x x0 f x0 第一類：左右極限均存在； 間斷點 可去間斷點,跳動間斷點 其次類：左右極限,至少有一個不存在； 無窮間斷點,振蕩間斷點 5, 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)： 有界性與最大值最小值定理, 零點定 理,介值定理及其推論； （二） 極限 1, 定義 1） 數(shù)

2、列極限 lim xn na0, N, nN , xn a第 1 頁,共 18 頁學習必備 歡迎下載 2） 函數(shù)極限 lim f x x x0 A 0, 0, x, 當 0 x x0 時, f x A 左極限： f x0 lim f x x x0 右極限： f x0 x lim x0 f x x lim x0 f x A 存在 f x0 f x0 2, 極限存在準就 1） 夾逼準就： 1） yn xn zn n n0 lim xn na2） n lim yn lim zn na2） 單調(diào)有界準就：單調(diào)有界數(shù)列必有極限； 3, 無窮?。ù螅┝?1） 定義：如 lim0 就稱為無窮小量； 如 lim

3、 就稱為無窮 大量； 2） 無窮小的階：高階無窮小,同階無窮小,等價無窮小, k 階無 窮小 Th1 , , lim o ; lim lim （無窮小代 Th2 存在,就 第 2 頁,共 18 頁學習必備 歡迎下載 換） 4, 求極限的方法 1） 單調(diào)有界準就； 2） 夾逼準就； 3） 極限運算準就及函數(shù)連續(xù)性； 4） 兩個重要極限： a lim x 0 sin x 1lim 1 1x x x ex 1b lim 1 x 0 x x 5） 無窮小代換：（ x 0 ） a x sin x tan x arcsinx arctanx b 11 2 cosx x 2 ）c ex 1 x （ ax1

4、x ln a ） d ln1 x x （ loga 1 x x ln a e 1 x 1 x 其次章 導數(shù)與微分 （一） 導數(shù) 第 3 頁,共 18 頁學習必備 歡迎下載 處的切線的 1, 定義： f x lim x x0 f x f x0 x x 0左導數(shù)： f x 0lim x x0 f x f x0 x x0 右導數(shù)： f x 0lim x x0 f x f x0 x x 0函數(shù) f x 在 x0 點可導 f x0 f x0 2, 幾何意義： f x0 為曲線 y f x 在點 x0 , f x0 斜率； 3, 可導與連續(xù)的關(guān)系： 4, 求導的方法 1） 導數(shù)定義； 2） 基本公式； 3

5、） 四就運算； 4） 復合函數(shù)求導（鏈式法就） ； 5） 隱函數(shù)求導數(shù)； 6） 參數(shù)方程求導； 7） 對數(shù)求導法； 5, 高階導數(shù) 1） 定義： d 2 y ddy dx2dx dx 第 4 頁,共 18 頁2） Leibniz 公式： 學習必備 n歡迎下載 uv n k k n k Cn u v k 0（二） 微分 1） 定義： y f x0 x f x0 A x o x ,其中 A 與 x 無關(guān)； 2） 可 微 與 可 導 的 關(guān) 系 ： 可 微 可 導 , 且 dy f x0 x f x0 dx 第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用 （一） 中值定理 1, Rolle 定理：如函數(shù) f x

6、中意： ； 3） 1 ） f x C a,b ； 2 ） f x Da, b f a f b ； 就 a, b, 使 0 . f 2, Lagrange 中值定理：如函數(shù) f x 中意： 1） f x C a, b ； 2） f x Da, b ； 就 a,b, 使 f b 3, Cauchy 中值定理：如函數(shù) f a f b a . f x, F x 中意： 1 ） f x, F x C a,b ； 2 ） f x, F x Da, b ； 3 ） F x 0, x a,b 第 5 頁,共 18 頁就 f b a,b, 使 F b 學習必備 歡迎下載 f a f F a F （二） 洛必達法

7、就 留意 :1,盡量先化簡（有理化,無窮小代換,分別非零因子） 再用洛必達法就！ 如： lim x 0 2 1 x cos x 4 tan x 2,對于某些數(shù)列極限問題,可化為連續(xù)變量的極限, 然后用洛必達法就！ 如： lim nna2nbn（三） Taylor 公式 n 階 Taylor 公式： 第 6 頁,共 18 頁學習必備 歡迎下載 n 1 f n 1. xn1f x f x 0f x x x 0 0f x0 x 2. x 0 2 f n n. x0 x x 0 n f x n 1 n 1. x 0 n 1 在 x0 與 x 之間 . 當 x0 0 時,成為 n 階麥克勞林公式： f

8、x f 0 f 0 x f 0 x 2. 2f n n. 0 xn1. 在 0 與 x 之間 . 常見函數(shù)的麥克勞林公式： x 1） e1 x 1 x 22. 1x ne1. x n12m 1 ） n. n 在 0 與 x 之間, x ； 2sin x x 3 x 5 x 7 x m 1 12 m 1 x sin 22 m 1 x 3. 5. 7. 2m 1. 2m 1. 在 0 與 x 之間, x ； 3） 第 7 頁,共 18 頁cosx 12 x 4 x 6 x 學習必備 m 1 1歡迎下載 cos 2m 2x2m 2 m 2 x 2. 4. 6. 2m 2. 2m. 在 0 與 x 之

9、間, x ； 4） ln1 x x 2 x 3 x 4 x n1 1 n x n n n 1 1 x ） 234n11 n 1 5在 0 與 x 之間, 1 x 11 x 1x 2. 1 2x 1 2 3x xn 1 n1 nx 3. n. 1 n1 n11, n 1. 在 0 與 x 之間, 1 x 1 . （四） 單調(diào)性及極值 1, 單 調(diào) 性 判 別 法 ： f x Ca, b , f x Da, b , 就 如 f x 0 ,就 f x 單調(diào)增加；就如 f x 0 ,就 f x 單 調(diào)削減； 2, 極值及其判定定理： a 必要條件： f x 在 x0 可導,如 x0 為 f x 的極值

10、點,就 第 8 頁,共 18 頁學習必備 歡迎下載 f x0 0 . b 第一充分條件： f x 在 x0 的鄰域內(nèi)可導,且 f x0 0 ,就 如當 x x0 時, f x 0 ,當 x x0 時, f x 0 ,就 x0 為極大值點；如當 x x0 時, f x 0 ,當 x x0 時, f x 0 ,就 x0 為微小值點；如在 x0 的兩側(cè) f x 不變 號,就 x0 不是極值點； c 其次充分條件： f x 在 x0 處二階可導,且 f x0 0 , f x0 0 ,就 如 f x0 0 ,就 x0 為極大值點；如 f x0 0 ,就 x0 為微小值點； 3, 凹凸性及其判定,拐點 1

11、） f x 在區(qū)間 I 上連續(xù),如 x1 , x2 I , f x1 x2 f x1 f x2 , 2 2就 稱 f x 在 區(qū) 間 I 上 的 圖 形 是 凹 的 ； 如 x x 2 f x f x x , x 2 I , f ,就稱 f x 在區(qū)間 I 上的圖 2 2形是凸的； 2）判定定理： f x 在 a, b 上連續(xù),在 a, b 上有一階,二階導數(shù), 就 a 如 x a,b, f x 0 ,就 f x 在 a, b 上的圖形是凹的； 第 9 頁,共 18 頁學習必備 歡迎下載 b 如 x a,b, f x 0 ,就 f x 在 a, b 上的圖形是凸的； 3）拐點：設 y f x

12、在區(qū)間 I 上連續(xù), x0 是 f x 的內(nèi)點,假如曲 線 y f x 經(jīng)過點 x0 , f x0 時,曲線的凹凸性轉(zhuǎn)變了,就稱點 x0 , f x0 為曲線的拐點； （五） 不等式證明 1, 利用微分中值定理； 2, 利用函數(shù)單調(diào)性； 3, 利用極值（最值）； （六） 方程根的爭辯 1, 連續(xù)函數(shù)的介值定理； 2, Rolle 定理； 3, 函數(shù)的單調(diào)性； 4, 極值,最值； 5, 凹凸性； （七） 漸近線 1, 鉛直漸近線： lim f x x a ,就 x a 為一條鉛直漸近線； 2, 水平漸近線： lim f x x b ,就 y b 為一條水平漸近線； 3, 斜 漸 近 線 ： li

13、m x f x x k lim f x x kx b 存 在 , 就 y kx b 為一條斜 第 10 頁,共 18 頁學習必備 歡迎下載 漸近線； （八） 圖形描畫 步驟 :1. 確定函數(shù) y f x 的定義域,并考察其對稱性及周期性； 2. 求 f x, f x 并求出 f x 及 f x 為零和不存在的點； 3. 列表判別函數(shù)的增減及曲線的凹向 4. 求漸近線 ;, 求出極值和拐點 ;5. 確定某些特殊點 , 描畫函數(shù)圖形 .第四章 不定積分 （一） 概念和性質(zhì) 1, 原函數(shù)：在區(qū)間 I 上,如函數(shù) F x 可導,且 F x f x , 就 F x 稱為f x 的一個原函數(shù)； 2, 不定

14、積分： 在區(qū)間 I 上,函數(shù) f x 的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱 為 f x 在區(qū)間 I 上的不定積分； 3, 基本積分表（ P188 ,13 個公式）； 4, 性質(zhì)（線性性）； （二） 換元積分法 1, 第 一 類 換 元 法 （ 湊 微 分 ） ： 第 11 頁,共 18 頁2, 第 f x 學習必備 歡迎下載 x 代 換 ） ： xdx f udu u二 類 換 元 法 （ 變 量 f x dx f t t dt t 1 x （三） 分部積分法： udv uv vdu （四） 有理函數(shù)積分 1,“拆；” 2,變量代換（三角代換,倒代換等） ； 第五章 定積分 （一） 概念與性質(zhì)： bf x

15、dx lim 0nf i xi 1, 定義： ai 1 2, 性質(zhì)：（7 條） 性質(zhì) 7 （積分中值定理） 函數(shù) f x 在區(qū)間 a,b 上連續(xù),就 f b a （ 平 均 值 ： a, b , 使 bf x dx af bf x dx ） aba第 12 頁,共 18 頁學習必備 歡迎下載 （二） 微積分基本公式（ N L 公式） x 1, 變上限積分：設 x a f t dt ,就 x f x d x 推廣： f t dt f x x f x x dx x 2, N L 公 式 ： 如 F x 為 f x 的 一 個 原 函 數(shù) , 就 ba f x dx F b F a （三） 換元法和

16、分部積分 b 1, 換元法： af xdx f t tdt 2, 分部積分法： budv uv b ab avdu a（四） 反常積分 1, 無窮積分： af x dx lim t t f x dx f x dx abf x dx lim t bf x dx t f x dx 0f x dx 02, 瑕積分： 第 13 頁,共 18 頁bf x dx lim t a 學習必備 歡迎下載 b t f x dx （a 為瑕點） abf x dx lim t bt af x dx （b 為瑕點） a兩個重要的反常積分： 1 adx a, , p11q b a , q11pp1xp p1bdx q x

17、 a b dx qab x 1q2 q1a, 第六章 定積分的應用 （一） 平面圖形的面積 1, 直角坐標： A b f 2 x f1 x dx a第 14 頁,共 18 頁2, 極坐標： A 1學習必備 歡迎下載 22 1 d 22（二） 體積 1, 旋轉(zhuǎn)體體積： a 曲邊梯形 y f x, x a, x b, x 軸,繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋 b 2轉(zhuǎn)體的體積： Vx a f xdx b曲邊梯形 y f x, x a, x b, x 軸,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋 b轉(zhuǎn)體的體積： Vy a 2 xf x dx （柱殼法） b2, 平行截面面積已知的立體： V a A x dx （三） 弧長 1,

18、 直角坐標： s b1f x 2dx 2dt a2, 參數(shù)方程： s t 2 t 第 15 頁,共 18 頁3, 極坐標： s 學習必備 2歡迎下載 2d第七章 微分方程 （一） 概念 1, 微分方程：表示未知函數(shù),未知函數(shù)的導數(shù)及自變量之間關(guān)系 的方程； 階：微分方程中所顯現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階 數(shù)； 2, 解：使微分方程成為恒等式的函數(shù)； 通解：方程的解中含有任意的常數(shù),且常數(shù)的個數(shù)與微分方程 的階數(shù)相同； 特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解； （二） 變量可分別的方程 g ydy f xdx ,兩邊積分 g ydy f xdx （三） 齊次型方程 dy y ,設 u x y x dy ,就 dx uv x du dx ； dx dx 或 dy ,設 v x y x y dx ,就 dy y dv dy 第 16 頁,共 18 頁學習必備 歡迎下載 （四） 一階線性微分方程 y dy dx Px y Q x 或 用 公 式 ： 用 常 數(shù) 變 易 法 eP xdx Q xe P x dx dx C（五） 可降階的高階微分方程 1, y n f x ,兩邊積分 n 次； p ,就 y p； 2, y f x, y （不顯含有 y ）,令