材料力學(xué)土木類第三章扭轉(zhuǎn)

1、材料力學(xué)土木類第三章扭轉(zhuǎn)第1頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四3-1 概 述工程實(shí)例第2頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四圓桿各橫截面繞桿的軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；桿表面上的縱向線變成螺旋線。受力特點(diǎn)：圓截面直桿受到一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于桿的軸線的外力偶作用變形特點(diǎn)：Me Me 實(shí)際構(gòu)件工作時(shí)除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外，還常伴隨有彎曲、拉壓等其他變形。第3頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四3-2 傳動(dòng)軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖、傳動(dòng)軸的外力偶矩傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速n ；某一輪上所傳遞的功率P (kW)作用在該輪上的外力偶矩Me。已知：求：一

2、分鐘內(nèi)該輪所傳遞的功率等于其上外力偶矩所作的功：Me1 Me2 Me3 n從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪第4頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四傳動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之間的關(guān)系：主動(dòng)輪上的外力偶矩轉(zhuǎn)向與傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)向相同，從動(dòng)輪上的外力偶矩轉(zhuǎn)向與傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)向相反。Me1 Me2 Me3 n從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪第5頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四、扭矩及扭矩圖 圓軸受扭時(shí)其橫截面上的內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用符號(hào)T表示。 扭矩大小可利用截面法來確定。11TTMe Me AB11BMe AMe 11x第6頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分

3、，星期四扭矩的符號(hào)規(guī)定按右手螺旋法則確定:扭矩矢量離開截面為正，指向截面為負(fù)。 仿照軸力圖的做法，可作扭矩圖，表明沿桿軸線各橫截面上扭矩的變化情況。TTTTT (+)T (-)第7頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四11TTMe Me AB11BMe AMe 11xMeT 圖+第8頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四例 3-1 一傳動(dòng)軸如圖，轉(zhuǎn)速n = 300r/min； 主動(dòng)輪輸入的功率P1= 500kW，三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 試作軸的扭矩圖。 第9頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月

4、20日，3點(diǎn)57分，星期四首先必須計(jì)算作用在各輪上的外力偶矩解：221133M1 M2 M3 M4 ABCD第10頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四分別計(jì)算各段的扭矩221133M1 M2 M3 M4 ABCDT111xM2AT2AM2 BM3 22xT333DM4 x第11頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四扭矩圖Tmax = 9.56 kNm 在BC段內(nèi)M1 M2 M3 M4 ABCD4.789.566.37T 圖(kNm)第12頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四3-3 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)通常指 的圓筒，可假定其應(yīng)力沿壁厚方向均勻

5、分布內(nèi)力偶矩扭矩T薄壁圓筒nnMeMe dlT Me nndr0第13頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四圓筒兩端截面之間相對(duì)轉(zhuǎn)過的圓心角相對(duì)扭轉(zhuǎn)角表面正方格子傾斜的角度直角的改變量切應(yīng)變即gjABDCMe Me 薄壁圓筒受扭時(shí)變形情況：gABC D B1A1D1 C1 DD1C1C第14頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四Me Me 圓周線只是繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，其形狀、大小、間距不變；表面變形特點(diǎn)及分析：橫截面在變形前后都保持為形狀、大小未改變的平面，沒有正應(yīng)力產(chǎn)生所有縱向線發(fā)生傾斜且傾斜程度相同。橫截面上有與圓軸相切的切應(yīng)力且沿圓筒周向均勻分布gjAB

6、DC第15頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四Me Me 1、橫截面上無正應(yīng)力；2、只有與圓周相切的切應(yīng)力，且沿圓筒周向均勻分布； 薄壁圓筒橫截面上應(yīng)力的分布規(guī)律分析：gjABDCgABC D B1A1D1 C1 DD1C1C nnMe r0 xt 3、對(duì)于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚也均勻分布。第16頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式：靜力學(xué)條件因薄壁圓環(huán)橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相等得t dAnnMe r0 xdr0第17頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四剪切胡克定律由前述推導(dǎo)可知薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)

7、曲線Me Me gjABDC第18頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四鋼材的切變模量值約為：這就是剪切胡克定律其中：G材料的切變模量t p剪切屈服極限第19頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四3-4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度條件、橫截面上的應(yīng)力（一）幾何方面 相鄰圓周線繞桿的軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但圓周的大小、形狀、間距都未變；縱向線傾斜了同一個(gè)角度g ，表面上所有矩形均變成平行四邊形。g(a)Me Me (b)第20頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四 桿的橫截面上只有垂直于半徑的切應(yīng)力，沒有正應(yīng)力產(chǎn)生。平面假設(shè) 等直圓桿受扭轉(zhuǎn)時(shí)其橫截面如

8、同剛性平面一樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。推論：(a)gMe Me (b)第21頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四gMe Me djgDGGETTO1O2ababdxDAgrrdjgDGGEO1O2DAgrrdxd橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)變隨點(diǎn)的位置的變化規(guī)律第22頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四即相對(duì)扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)的變化率，對(duì)于給定的橫截面為常量djgDGGETTO1O2ababdxDAgrrdjgDGGEO1O2DAgrrdxd第23頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四剪切胡克定律（二）物理方面（三）靜力學(xué)方面稱為橫截面的極慣性矩trdA

9、trdA rrrO令得T第24頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四Od等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力計(jì)算公式rtmaxtrtmaxT第25頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四發(fā)生在橫截面周邊上各點(diǎn)處。稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)最大切應(yīng)力tmaxtmax令即OdrtrT第26頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四同樣適用于空心圓截面桿受扭的情形tmaxtmaxODdTrtr第27頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四（四）圓截面的極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp實(shí)心圓截面：Odrrd第28頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57

10、分，星期四空心圓截面：DdrrOd第29頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四注意：對(duì)于空心圓截面DdrrOd第30頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四此處為以橫截面、徑截面以及與表面平行的面從受扭的等直圓桿表面處截取一微小的正六面體（五）單元體切應(yīng)力互等定理單元體Me Me xyzabOcddxdydztttt自動(dòng)滿足存在t得第31頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四 單元體的兩個(gè)相互垂直的截面上，與該兩個(gè)面的交線垂直的切應(yīng)力數(shù)值相等，且均指向(或背離) 兩截面的交線。切應(yīng)力互等定理 單元體在其兩對(duì)互相垂直的平面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力

11、的狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。dabcttttxyzabOcddxdydztttt第32頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四例3-2 實(shí)心圓截面軸和空心圓截面軸 (a = d2/D2 =0.8)的材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩 Me 和長(zhǎng)度l 均相同。試求在兩圓軸橫截面上最大切應(yīng)力相等的情況下，D2/d1之比以及兩軸的重量比。(a) Me Me d1lMe (b) Me lD2d2第33頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四解：已知得第34頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四兩軸的重量比可見空心圓軸的自重比實(shí)心圓軸輕。討論：為什么說空心圓軸比實(shí)心圓軸更適

12、合于做受扭構(gòu)件？第35頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四、斜截面上的應(yīng)力假定斜截面ef 的面積為d Aaefdabcttttxantttaahxsafebax第36頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四討論：1、2、此時(shí)切應(yīng)力均為零。ftattaebahxsax解得ttttx4545smaxsmaxsminsmin第37頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四、強(qiáng)度條件等直圓軸材料的許用切應(yīng)力第38頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四例3-3 圖示階梯狀圓軸，AB段直徑 d1=120mm，BC段直徑 d2=100mm 。扭轉(zhuǎn)力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的許用切應(yīng)力t = 80MPa ，試校核該軸的強(qiáng)度。解： 1、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖2214T圖（kNm）MA MBMC ACB第39頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四BC段AB段2、計(jì)算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度即該軸滿足強(qiáng)度條件。2214T圖（kNm）第40頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期四例3-4 實(shí)心圓軸與空心圓軸通過牙嵌離合器連接。已知軸的轉(zhuǎn)速n=