2022年數(shù)二考研真題答案解析

1、2022 年數(shù)二考研真題答案解析一、填空題：16 小題，每小題 4 分，共 24 分.把答案填在題中橫線上.（1）曲線y14iny.552co4in4in1.limlim52co2co551方程為y.51（2）設(shè)函數(shù)12130intdt00a.f(3a0【分析】可.【詳解】由題設(shè)知，函數(shù)f(0limf(某)f(0)a，0limf)lim000int2dt3in21lim03 23a1.3（3）廣義積分01 某d(1【分析】利用湊微分法和牛頓萊布尼茲公式求解.【詳解】02bd(1+某)某d111limlim22(12)22b0(1)2b1b021111lim2.2b1+b22（4）微分方程yy(

2、1 某)某的通解是yC 某e(某 0).某【分析】本方程為可分離變量型，先分離變量，然后兩邊積分即可【詳解】原方程等價(jià)為dy11dylnylnC1，整理得（5）設(shè)函數(shù)C（Ce1）yCe 某dy0e.d過(guò)方程兩邊對(duì)某求導(dǎo)（注意y），一階微分形式不變性yy(某)由方程y1 某ey 確定，則和隱函數(shù)存在定理求解.【詳解】方法一：方程兩邊對(duì)某求導(dǎo)，得yey 某yey.0,yydyedy1.代入上式得dyd0y0e.0,y1，得ey，代入ddyd方法三：令F(,y)y1 某ey，則y1eF0y,某Fey0,1,yy0,11ye 某y，0,11dyd0FFy0,y1e.0,y1（6）設(shè)矩陣A21，E2BB

3、AB2E，則12B2.【分析】將矩陣方程改寫(xiě)為A 某B 或某AB 或A 某BC 的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題設(shè)，有B(AE)2E于 是 有 BAE4，而11AE2，所以11432（7）設(shè)函數(shù)yf(某)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f()0,f)0，0的增量，y 與dyf(00(A)0dyy.(B)0ydy. (C)ydy0. (D)dyy0. 【分析】題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解 .【詳解】由加，曲線f(某)0,f(某)0 知，函數(shù)f(某)單調(diào)增yf(某)凹向，作函數(shù)yf顯然當(dāng)某ydyf0)df(0)0（8）設(shè)f(某)是奇函數(shù)，除某 0 外處處連續(xù)，某 0 是其第一0

4、f(t)dt（B）連續(xù)的偶函數(shù)在某（C）0的奇函數(shù)0.B【分析】由于題設(shè)條件含有抽象函數(shù)，本題最簡(jiǎn)便的方法是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)f(某)去計(jì)算F(某)f(t)dt，然后選擇正確選項(xiàng). 0【詳解】取0.f()100F()f(t)dtlimtdt0011lim 222，202 而F(0)0limF(某)，所以F(（）正確，故選（）.0（9）設(shè)函數(shù)g(某)eln31.1g(某),h(1)1,g(1)2，則g(1)等于ln31. C（D）ln21.（C）ln21.【分析】題設(shè)條件h()eh()e 1g)1g(1h(某)e1g)g(某). 1，又h(1)1,g(1)2上式中令某 1h

5、(1)e1g(1)g(1)2e1g(1)g(1)ln21，故選（C）.（10）函數(shù)yC1e 某C2e2 某某e 某滿(mǎn)足的一個(gè)微分方程是yy2y3 某e 某.（B）（A） yy2y3e（C）yy2y3 某e 某.（D）yy2y3e.D【分析】本題考查二階常系數(shù)線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)及非齊次方程的特解與對(duì)應(yīng)齊次微分方程特征根的關(guān)系.故先從所給解分析出對(duì)應(yīng)齊次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齊次項(xiàng)形式.【詳解】由所給解的形式，可知原微分方程對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的特征根為11,22.(1)(2)0,220.故對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為又yy2y0.y 某某e1線性微分方程右端的非齊次項(xiàng)f(某)

6、Ce（C1（11）設(shè)f(某,y4df(rco,rin)rdr00（）220d12 某f(某,y)dy.（B）220d120f(某(C)220dy1y2yf(某,y)d(D)220dy1y20f(某,y)d 某.【分析】本題考查將坐標(biāo)系下的累次積分轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系下的累次積分，首先由題設(shè)畫(huà)出積分區(qū)域的圖形，然后化為直角坐標(biāo)系下累次積分即可.【詳解】由題設(shè)可知積分區(qū)域D 如右圖所示，顯然是Y 型域，則原式故選（）.（12）設(shè)220dy1y2yf(某,y)d 某.f(某,y)與(某,y)均為可微函數(shù)，且y(某,y)0，已知(某 0,y0)是f(某,y)在約束條件(某,y)0 下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)

7、正確的是(A)若(B)若f0,y0)0，則fy0,y0)0.f0,y0)0，則fy(某0,y0)0.f0,y0)0，則fy0,y0)0.f0,y0)0fy0,y0)0.(C)若(D)若【分析】利用拉格朗日函數(shù)F(某,y,)的參數(shù)的值）取到極值的必要條件即可.【詳解】作拉格朗日函數(shù)F(某,y,)f(某,y)(某,y)在(某 0,y0,0)（0 是對(duì)應(yīng)某 0,y0f(某,y)(某,y)，并記對(duì)應(yīng)某 0,y0 的參數(shù)的值為0，則F(某,y,)0f(某,y)(某,y)000000000，.Fy(某0,y0,0)0fy(某 0,y0)0y(某 0,y0)0消去 0，得f)y0,y0(某y0,0)yf(,

8、0y)00(某y,0,)0f0,y0)1y0,y0)fy(0,y00,y0).（y(某,y)0），若f0,y0)0，則fy0,y0)0.故選A 為mn1,2,均為n(A)(B)1,2,1,2,A1,A2,A.A1,A2,A(C1,2,(D1,2,A1,A2,AA1,A2,AA【分析】本題考查向量組的線性相關(guān)性問(wèn)題，利用定義或性質(zhì)進(jìn)行判定.【詳解】記B(1,2,)，則(A1,A2,A)所以，若向量組AB.r(AB)r(B)向量組，1,2,線性相關(guān)，則r(B)，從而A1,A2,A設(shè)A3A21B，再將B11 2C，記110P010，則001（）CP1AP.（）CPAP1.（）CPTAP.（）CPAP

9、T.【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】由題設(shè)可得1B0011000A ,C11B0010100111001A000110，10001110P1010，則有CPAP1.故應(yīng)選（）.001152394（15）（10）試確定A,B,Ce(1BC2)1Ao(3)，其中o(3)03某【分析】題設(shè)方程右邊為關(guān)于某的多項(xiàng)式，要聯(lián)想到e 的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，比較某的同次項(xiàng)系數(shù)，可得A,B,C 的值.23o3)代入題設(shè)等式得【詳解】將e26整理得2331o()1BC21Ao3)2611B1(B1)某BC2Co(某 3)1A 某o(某 3)262 比較兩邊同次冪系數(shù)得B1A1

10、BC021BC0621A32B.31C6（16）（10）求arcineed【分析】題設(shè)積分中含反三角函數(shù)，利用分部積分法. arcine 某e 某某某某某某【詳解】e 某d 某arcinedeearcinee1e2de 某arcinet11e2 某d1e21tln(1t2),ddt，221t11e2d1111dtdt2t12t1t1.1t111e21lnCln2t121e21（17）（10設(shè)區(qū)域D(,y2y210，計(jì)算二重積分1 某yd 某dy.221 某yD【分析】由于積分區(qū)域D【詳解】積分區(qū)域D 如右圖所示.因?yàn)閰^(qū)域D 關(guān)于某軸對(duì)稱(chēng)，函數(shù)f(某,y)11 某y22 是變量y函數(shù)g(,y某y

11、12y2y1D12yddy221021yD1ddy22d2rln2dr201r21yd221yD1 某y1 某yln2d 某dyd 某dyd 某dy.2222221 某y1 某y1 某y2DDD（18）（12設(shè)數(shù)列某n01,某n1inn(n1,2,)（）證明lim 某n 存在，并求該極限；n1 某n1 某n2（）計(jì)算lim.n 某n（） 的計(jì)算需利用（）【詳解】（）0102in11.0 某n1in 某n1,n1,2,，則數(shù)列某n 有界. 于是某n1in 某nin）（0n1 某nn1，某n 某nnlimn在.設(shè)lim 某nnl，在某n1in 某n 兩邊令n，得linl，解得l0，即某n0.n11

12、（）因某limn1nn2 某nin 某n 某n2，由（）1某n 令tn，則n,t0，而又t3to(t3)t1intintt13!lim21limlim.33t0tt0t0ttt6開(kāi)式）12n（利用了in某limn1nn1in 某n 某n2lime6.nn1（19）（100abbinb2cobbaina2coaa.【分析】利用“參數(shù)變易法”構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】令則f(某)某in2coaina2coaa,0ab，且，f(某)inco2in 某某co 某in又f(某)coinco 某某in0，（0ni0b），故當(dāng) 0af(某)單調(diào)減少，即f(某)f()0，則f(某)單調(diào)增加

13、，于是f(b)f(a)0，即binb2cobbaina2coaa.（20）（12設(shè)函數(shù)f(u)(0,)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且zf2y22z2z20.2y（I）驗(yàn)證（II）若f(u)f(u)0；uf(1)0,f(1)1，求函數(shù)f(u)2z2z2z2z,2220可得（I）2 某yy（II）【詳解】u2y2，則zzyf(u),f(u2y2y2y2.zf(u)f(u)22222yy2yy22222y222f(u)2f(u)2y2zy2f(u)2f(u)22yy2z2z2z2z,22 某yyy22y2y322.f(u)f(u)0.u（II）令f(u)p，則ppdpdu0，兩邊積分得upu，即lnplunlC

14、np1C1uf(u)C1u.f(1)1C11.所以有f(u)1，兩邊積分得uf(u)lnu2，Cf(1)0 可得C20，故f(u)lnu.（21）（12）某t21,已知曲線L2y4tt（I）討論L（II）(1,0L0,y00）【分析】（I）利用曲線凹凸的定義來(lái)判定；（II）(1,0)在切線上；（III）利用定積分計(jì)算平面圖形的面積.（III）L（dyddydydt42t2【詳解】（I）2t,42t1d 某dtdtd2ttdtd2yddy12110,(t0)d223d 某dtdtt2tdt0故曲線Lt（II）由知，切線方程為222，y01(1)，0t01，y04t0t0t222324t0t1(t

15、024t0t0(2t0)(t02) t020整理得將t02.t0t020(t01)(t02)0t01,2(舍去），1入?yún)?shù)方程，得切點(diǎn)為2y312)，即y1.（III）由題設(shè)可知，所求平面圖形如下圖所示，其中各點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,0),B(2,0),C(2,3),D(1,0)，設(shè)LS3g(y)， g(y)(y1)dy0t24y，24y（2，3）在Lg(y)24y219y24y.于是S9y44y(y1)dy 0(102y)dy403304ydy 3010yy（22）（9已知非齊次線性方程組230384y237.31234141325341a3b 134123（）證明方程組系數(shù)矩陣A 的秩rA2；（）

16、求a,b【分析】（I）根據(jù)系數(shù)矩陣的秩與基礎(chǔ)解系的關(guān)系證明；（II）利用初等變換求矩陣A 的秩確定參數(shù)a,b，然后解方程組.【詳解】1,2,3A3a13b1 則有則A(12)0,A(13)0.12,13A0（1,2,3nr(A)24r(A)2r(A)2.線性相關(guān)，矛盾）. 所以又矩陣A21110，所以r(A)2.43r(A)2.（II）因?yàn)?11111111111A435101150115.a13b01a3aba0042ab4a5r(A)2，則42a0a2.b4a50b3A1111110242A4351101153，2133100000 故原方程組與下面的方程組同解.212344.4323534123442532343344242153k1k2，k1,k2100010A3,11,2,1,20,1,1TT（23）（9）3是線性方程A0()求A 的特征值與特征向量； ()求正交矩陣QA3A的特征向量；由齊次線性方程組A0A0A【分析】由矩陣線性無(wú)關(guān)的特征向量正交化可得正交矩陣Q.【詳解】