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文檔簡介
1、遞推和遞歸遞 推 有些問題中,相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)數(shù)字(或狀態(tài))之間存在某種關(guān)系,可以通過前一項(xiàng)或多項(xiàng)按照某一規(guī)律推出其后一項(xiàng)數(shù)字(或狀態(tài)),或者是通過后一項(xiàng)或多項(xiàng)按照某一規(guī)律推出其前一項(xiàng)數(shù)字(或狀態(tài))。我們可將這種規(guī)律歸納成如下遞推關(guān)系式:Fn=g(Fn-1)或者Fn-1=g(Fn)遞 推已知初始值F1,通過遞推關(guān)系式Fn=g(Fn-1)求出最終結(jié)果Fn的遞推方式稱為順推法;同理,把已知最終結(jié)果為Fn,通過遞推關(guān)系式Fn-1=g(Fn)求出初始值F1的遞推方式稱為倒推法。遞 推Fibonacci數(shù)列:Hn = Hn-1 + Hn-2Fibonacci數(shù)列大家都非常熟悉,來源于中世紀(jì)數(shù)學(xué)家Fibon
2、acci提出的一個(gè)問題:一對剛出生的兔子過兩個(gè)月后,可以繁殖一對新兔子,問原有雌雄各一只兔子,經(jīng)過十一個(gè)月后,能繁殖多少只兔子。遞 推【例題1】平面分割在一個(gè)平面上有一個(gè)圓和n條直線,這些直線中每一條在圓內(nèi)同其他直線相交,假設(shè)沒有3條直線相交于一點(diǎn),試問這些直線將圓分成多少區(qū)域。遞 推【問題分析】F(1)=2; F(n) = F(n-1)+n;第n根線段被分為n段化簡后:F(n) = n(n+1)/2 +1;遞 推【引申:折線分割平面】問題描述 平面上有n條折線,問這些折線最多能將平面分割成多少塊?樣例輸入 樣例輸出1 22 7遞 推【引申:折線分割平面】第n根折線被分為2*2(n-1)段結(jié)論
3、F(n)=F(n-1)+4(n-1)+1遞 推【思考題:平面分割方法】問題的提出: 設(shè)有n條封閉曲線畫在平面上,而任何兩條封閉曲線恰好相交于兩點(diǎn),且任何三條封閉曲線不相交于同一點(diǎn),問這些封閉曲線把平面分割成的區(qū)域個(gè)數(shù)。2022/10/610F(1)=2F(n)=F(n-1)+2(n-1)簡單分析遞 推2022/10/611【例2:錯(cuò)排問題】某人寫了n封信和n個(gè)信封,如果所有的信都裝錯(cuò)了信封。求所有的信都裝錯(cuò)信封,共有多少種不同情況。 遞 推2022/10/6121、當(dāng)N=1和2時(shí),易得解,假設(shè)F(N-1)和F(N-2)已經(jīng)得到,重點(diǎn)分析下面的情況:4、后者簡單,只能是沒裝錯(cuò)的那封和第N封交換信
4、封,沒裝錯(cuò)的那封可以是前面N-1封中的任意一個(gè),故= F(N-2) * (N-1)3、前者,對于每種錯(cuò)裝,可從N-1封信中任意取一封和第N封錯(cuò)裝,故=F(N-1)*(N-1)2、當(dāng)有N封信的時(shí)候,前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封錯(cuò)裝(為什么要考慮N-2?)遞 推2022/10/613【例3:填充問題】在2n的長方形方格中,用n個(gè)12的骨牌鋪滿方格,例如n=3時(shí),為23方格,骨牌的鋪放方案有三種(如圖), 輸入n ,輸出鋪放方案的總數(shù)遞 推2022/10/614【例3的延伸】有1n的一個(gè)長方形,用11、12、13的骨牌鋪滿方格。例如當(dāng)n=3時(shí)為13的方格(如圖),此時(shí)用11,12,13的
5、骨牌鋪滿方格,共有四種鋪法。 輸入: n(0=n0f(0)=a n=0則稱函數(shù)f為遞歸函數(shù)(遞歸公式),為了求f(n),我們必須先求f(n-1),為了求f(n-1),又必須去求f(n-2),為了求f(1),必須先求f(0),而f(0)是已知的。這種定義函數(shù)的方式稱為遞歸定義。遞 歸一個(gè)遞歸定義必須是有確切含義的,也就是說一步比一步簡單,最終是有終結(jié)的,決不能無限循環(huán)下去。比如上例中的f(0)=a,這種最簡單的情況(終結(jié)條件),稱為遞歸邊界,它是遞歸定義必不可少的一部分。 描述遞歸定義的函數(shù)或求解遞歸問題的過程稱為遞歸算法。遞 歸不論是遞歸過程,還是遞歸函數(shù),按其調(diào)用的方式一般分為直接遞歸(子程
6、序P直接調(diào)用自己)和間接遞歸(子程序P調(diào)用其它子程序,其它子程序又調(diào)用P)。 遞 歸遞歸算法一般適用在三個(gè)場合:一是數(shù)據(jù)的定義形式是遞歸的,如求Fibonacci數(shù)列問題;二是數(shù)據(jù)之間的邏輯關(guān)系(即數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu))是遞歸的,如樹、圖等的定義和操作;三是某些問題雖然沒有明顯的遞歸關(guān)系或結(jié)構(gòu),但問題的解法是不斷重復(fù)執(zhí)行一種操作,只是問題規(guī)模由大化小,直至某個(gè)原操作(基本操作)就結(jié)束,如漢諾塔問題,這種問題使用遞歸思想來求解比其它方法更簡單。 遞 歸遞歸不僅可用于計(jì)算、計(jì)數(shù),而且還可用于枚舉,即把所有具有各某種特性的對象完全枚舉出來,關(guān)鍵是如何從輸入?yún)?shù)與輸出結(jié)果之間的對應(yīng)關(guān)系中歸納出遞歸公式和邊界條件。
7、 遞歸的應(yīng)用舉例 【例題4】集合的劃分【問題描述】設(shè)是一個(gè)具有n個(gè)元素的集合,a1,a2,an,現(xiàn)將劃分成K個(gè)滿足下列條件的子集合s1,s2,sk ,且滿足:1si2sisj (1i,jk ij)3s1s2s3sk則稱s1,s2,sk是集合的一個(gè)劃分。它相當(dāng)于把集合中的n個(gè)元素a1 ,a2,an 放入k個(gè)(0knk,k0)。 遞歸的應(yīng)用舉例確定s(n,k)的邊界條件,首先不能把n個(gè)元素不放進(jìn)任何一個(gè)集合中去,即k=0時(shí),(n,k)0;也不可能在不允許空盒的情況下把n個(gè)元素放進(jìn)多于n的k個(gè)集合中去,即kn時(shí),(n,k)0;再者,把n個(gè)元素放進(jìn)一個(gè)集合或把n個(gè)元素放進(jìn)n個(gè)集合,方案數(shù)顯然都是1,即k=1或k=n時(shí),s(n,k)=1。因此,我們可以得出劃分?jǐn)?shù)(n,k)的遞歸關(guān)系式為:s(n,k)s(n1,k1)+k*s(n1,k) (nk,k0)s(n,k)0 (n=2,則 hanoi(n-1,A,C,B) AC hanoi(n-1,B,A,C) 運(yùn)行結(jié)果:Enter the number of disks in Hanoi tower:3ACABCBACBABCAC語句: Hanoi(3,A,B,C)在執(zhí)行過程中,遞歸工作棧要為每一層的遞歸保留數(shù)據(jù),由于遞歸過程hanoi只含有四個(gè)值參數(shù),也無其它局部變量,因
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