協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

1、關(guān)于協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)第1頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四第10講 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差 1. 協(xié)方差定義 設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，如果EXE(X)YE(Y)存在. 則稱此為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差.記為Cov(X,Y).即 Cov(X, Y)=EXE(X)YE(Y). 離散型 連續(xù)型第2頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四 例1 在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現(xiàn)從盒中連續(xù)取球兩次，每次任取一只.設(shè)隨機(jī)變量討論隨機(jī)變量(X, Y)的協(xié)方差.解 （1）無放回的情況 YX01pi01/154/151/314/152/52/3p

2、j1/32/3第3頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四解 （1）無放回的情況 YX01pi01/154/151/314/152/52/3pj1/32/3第4頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四 例2 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D=(x,y)x2+y21上服從均勻分布，求Cov(X,Y). 解 由已知條件于是第5頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四第10講 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差 1. 協(xié)方差定義 2. 協(xié)方差的計(jì)算公式第6頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四 例1 在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球

3、，現(xiàn)從盒中連續(xù)取球兩次，每次任取一只.設(shè)隨機(jī)變量討論隨機(jī)變量(X, Y)的協(xié)方差.解 （2）有放回的情況 YX01pi01/92/91/312/94/92/3pj1/32/3第7頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四第10講 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差 1. 協(xié)方差定義 2. 協(xié)方差的計(jì)算公式 3. 協(xié)方差的性質(zhì) (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X); (2) Cov(X,X)=D(X); Cov(X,C)=0 第8頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四第10講 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差 1. 協(xié)方差定義 2. 協(xié)方差的計(jì)

4、算公式 3. 協(xié)方差的性質(zhì) (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X); (2) Cov(X,X)=D(X); Cov(X,C)=0 (3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中a, b為 常數(shù)； (4) D(X +Y)=D(X)+D(Y) + 2Cov(X, Y)；第9頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四第10講 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差 1. 協(xié)方差定義 2. 協(xié)方差的計(jì)算公式 3. 協(xié)方差的性質(zhì) (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X); (2) Cov(X,X)=D(X); Cov(X,C)=0 (3) Cov(aX, bY

5、)=abCov(X, Y), 其中a, b為 常數(shù)； (5) Cov(X+Y,Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z); (4) D(X +Y)=D(X)+D(Y) + 2Cov(X, Y);第10頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四第11頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四第10講 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差 1. 協(xié)方差定義 2. 協(xié)方差的計(jì)算公式 3. 協(xié)方差的性質(zhì) (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X); (2) Cov(X,X)=D(X); Cov(X,C)=0 (3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其

6、中a, b為 常數(shù)； (5) Cov(X+Y,Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z); (4) D(X +Y)=D(X)+D(Y) + 2Cov(X, Y); (6)第12頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四 對任意的實(shí)數(shù)t，有又所以因此即特別第13頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四 設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，如果EXE(X)YE(Y)存在，D(X)0，D(Y)0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù).記作XY .二、相關(guān)系數(shù)第10講 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣 1. 相關(guān)系數(shù)定義 2. 相關(guān)系數(shù)性質(zhì)第14頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期

7、四 可以證明上式表明：均方誤差是|XY|的嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，即當(dāng)|XY|較大時(shí)，e較小，說明X,Y線性聯(lián)系緊密，特別|XY|=1時(shí)，X,Y之間以概率1存在線性關(guān)系.從而XY表征了X,Y之間線性關(guān)系的緊密程度.當(dāng)|XY|較大時(shí),X,Y線性關(guān)系程度較好；當(dāng)|XY|較小時(shí)，X,Y線性關(guān)系程度較差. 3. 隨機(jī)變量的相關(guān)性 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)XY的存在,如果XY=0，則稱X與Y不相關(guān),否則,稱X與Y相關(guān)；如果XY 0，則稱X,Y正相關(guān)；如果XY 0，則稱X,Y負(fù)相關(guān).第15頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四 例3 在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現(xiàn)從盒中連續(xù)取球兩

8、次，每次任取一只.設(shè)隨機(jī)變量討論隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù).解 （1）無放回的情況 YX01pi01/154/151/314/152/52/3pj1/32/3第16頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四解 （1）無放回的情況 YX01pi01/154/151/314/152/52/3pj1/32/3第17頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四 例3 在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現(xiàn)從盒中連續(xù)取球兩次，每次任取一只.設(shè)隨機(jī)變量討論隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù).解 （2）有放回的情況 YX01pi01/92/91/312/94/92/3pj1/32/3第18頁

9、，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四 例4 設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布 ,試求X與Y的相關(guān)系數(shù) 解 由已知條件我們有 ， 即E(X)=1，E(Y)=2. 第19頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四 解 由已知條件我們有 ， 即E(X)=1，E(Y)=2. 例4 設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布 ,試求X與Y的相關(guān)系數(shù)第20頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四密度函數(shù)數(shù)學(xué)期望 解 由已知條件我們有 ， 即E(X)=1，E(Y)=2. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的方差 例4 設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布 ,試求X與Y的相關(guān)系數(shù)第21頁，共3

10、5頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四 解 由已知條件我們有 ， 即E(X)=1，E(Y)=2. 例4 設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布 ,試求X與Y的相關(guān)系數(shù)說明：如果(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則X與Y獨(dú)立的充要條件是 第22頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四第10講 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣三、矩與協(xié)方差矩陣 定義1 設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若 存在, 則稱它為X的k階原點(diǎn)矩. 簡稱k階矩； 若 存在, 則稱它為X的k階中心矩； 若 存在，則稱它為X和Y的k+l階混合原點(diǎn)矩； 若 存在，則稱它為X和Y的k+l階混合中心矩.第23頁，共35頁，2022年，5月20

11、日，2點(diǎn)0分，星期四 定義2 設(shè)n維隨機(jī)變量 的二階混合中心矩都存在, 則矩陣 為n維隨機(jī)變量 的協(xié)方差矩陣. 第24頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四 例5 設(shè)(X1,X2)服從二維正態(tài)分布 ,試求X與Y的協(xié)方差矩陣. 解 由已知條件我們有 ， 即 . 第25頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四第26頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四第27頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四 例5 設(shè)(X1,X2)服從二維正態(tài)分布 ,試求X與Y的協(xié)方差矩陣. 解 由已知條件我們有 ， 即 . 第28頁，共35頁，2022年，5月20

12、日，2點(diǎn)0分，星期四 自然將二維正態(tài)分布的定義推廣到n維正態(tài)隨機(jī)變量 的情形.n維正態(tài)隨機(jī)變量 定義為第29頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四 n維正態(tài)隨機(jī)變量的重要性質(zhì) (1) n維正態(tài)隨機(jī)變量 的每一個(gè)分量Xi (i=1,2,n)都是正態(tài)隨機(jī)變量;反之,若X1，X2，Xn都是正態(tài)隨機(jī)變量,且相互獨(dú)立,則 是n維正態(tài)隨機(jī)變量 (2) n隨機(jī)變量 服從n維正態(tài)分布的充要條件是 都任意線性組合服從一維正態(tài)分布( 不全為零）. (3) 若 服從n維正態(tài)分布,設(shè) 是 線性函數(shù)，則 也服從多維正態(tài)分布.第30頁，共35頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)0分，星期四 n維正態(tài)隨機(jī)變量的重要性質(zhì) (4) 若 服從n維正態(tài)分布, 則“ 相互獨(dú)立” 與“ 兩兩不相關(guān)”是等價(jià)的. 例4 設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(1, 32; 0, 42; -0.5),其中Z=X/3+Y/2. 1)求Z的概率密度. 2)求X與Z的相關(guān)系數(shù). 3)問X與Z是否相互獨(dú)立？為什么？ 分析 由于(X,Y)服從二維正態(tài)分布，由性質(zhì)(2)可知Z=X/3+Y/2服從一維正態(tài)分布. 因此，只需計(jì)算Z的期望和方差.第31頁，共35頁，20