高量林老師課件

1、3.3 正交群、幺模群和Euler轉(zhuǎn)動一、正交群一個轉(zhuǎn)動可用三個實(shí)數(shù)表征：轉(zhuǎn)軸的極角和方位角，以及轉(zhuǎn)角?？煞奖愕赜?3正交矩陣R描述：不同相繼轉(zhuǎn)動的結(jié)果可用相應(yīng)矩陣乘積來表示。由于RRT=RTR=1 相當(dāng)于6個獨(dú)立方程，這33正交矩陣的9個元素只有3個是獨(dú)立的。正交矩陣乘法運(yùn)算的集合構(gòu)成一個群，該群叫SO(3)群。這里S表示特殊，即只考慮了轉(zhuǎn)動，而無反演；O表示正交，即RRT=1；而3表示空間維數(shù)。SO(3)群的基本性質(zhì)所有正交矩陣（R）乘法運(yùn)算的集合滿足四要素：封閉性：兩正交矩陣的乘積為另一正交矩陣2.結(jié)合律： 這是矩陣代數(shù)的結(jié)果 3.有單位矩陣（對應(yīng)于無轉(zhuǎn)動）：R1=1R=R4.有逆存在（

2、對應(yīng)于相反角度的轉(zhuǎn)動）：二、幺模群 對二分量旋量，可用一個22矩陣的作用來表征一個任意轉(zhuǎn)動： U =該矩陣顯然是幺正的（UU+=1），不改變的模。幺模矩陣：行列式為1的幺正矩陣。幺模矩陣的一般形式為： 且U(a,b)的行列式顯然為1 ，且是幺正的：對比U與U(a,b)，知U為幺模矩陣，對應(yīng)于:幺模矩陣的集合所構(gòu)成的群稱為SU(2)群。 S：特殊，即模為1；U：幺正。1）封閉性：2）逆：2維幺正矩陣構(gòu)成U(2)群（有4個獨(dú)立參數(shù)）：SU(2)與SO(3)的關(guān)系雖然SU(2)與SO(3)均表征轉(zhuǎn)動，但非同構(gòu)，即SU(2)與SO(3)不是一一對應(yīng)的。其實(shí)，SU(2)與SO(3)的對應(yīng)是二對一的，即U

3、(a,b)及U(-a,-b)對應(yīng)于同一個SO(3)矩陣。例如在SU(2)中轉(zhuǎn)2對應(yīng)于-1，轉(zhuǎn)4對應(yīng)于1，但SO(3)中轉(zhuǎn)2和4都對應(yīng)于1，把U(a,b)和U(-a,-b)分開看，則可認(rèn)為SO(3) 與SU(2)局部同構(gòu)。三、Euler轉(zhuǎn)動 三維空間的最一般轉(zhuǎn)動也可用三個相繼Euler轉(zhuǎn)動表征：1)將剛體繞z軸轉(zhuǎn)角.空間坐標(biāo)軸與剛體坐標(biāo)軸在轉(zhuǎn)動前是重合的,轉(zhuǎn)動后剛體y軸變?yōu)閥軸2)使剛體繞y軸轉(zhuǎn)角，剛體z軸變?yōu)閦軸3)使剛體繞z軸轉(zhuǎn)角，y軸變?yōu)閥軸。用33正交矩陣描述這三個Euler轉(zhuǎn)動，結(jié)果為: y與y差角，繞y轉(zhuǎn)角可等價為：先用Rz(-)將y轉(zhuǎn)回到y(tǒng)，然后繞y轉(zhuǎn)角,再將y轉(zhuǎn)回到y(tǒng)軸，即上式左

4、右兩邊對y軸效果自然相同，對zz(z)的操作也相同，即上式對剛體的兩非平行軸等價。類似可證：于是，描述3個Euler轉(zhuǎn)動的正交矩陣為：即：化關(guān)于剛體軸y、z的操作為關(guān)于空間固定軸的操作對應(yīng)Euler轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動算符 與正交矩陣的乘積對應(yīng)，存在相應(yīng)轉(zhuǎn)動算符的乘積：對自旋1/2體系為該矩陣具有幺模矩陣的普遍形式。上式的exp(-i2)矩陣是唯一含非對角元的，且非對角元是純實(shí)數(shù)。 是轉(zhuǎn)動算符D(,)的j=1/2的不可約表示，其矩陣元記為3.4 密度算符與混合系綜 一、極化與非極化粒子束前述量子力學(xué)理論形式可描述由完全相同的粒子組成的系綜的統(tǒng)計(jì)預(yù)言，系綜粒子均由態(tài)矢|表征。對由不同態(tài)矢表征的物理體系所組

5、成的系綜，前面討論的理論方法不適用。如SG實(shí)驗(yàn)中由熱爐直接出來的Ag原子，其自旋朝向是隨機(jī)的。按前描述任意態(tài)的方法， 所描述的態(tài)有特定自旋方向，其極角和方位角由 決定，故不能描述自旋無特定方向的體系系綜。二、分?jǐn)?shù)分布自旋朝向無規(guī)的系綜可看作由50%|+和50%|-的粒子組成，可用布居數(shù)(幾率權(quán)重)w+=0.5和w-=0.5描述注意：1）系綜的分解常常是不唯一的，如上述體系也可看作由50%|Sx+和50%|Sx-組成。2）幾率權(quán)重( w+，w-)是實(shí)數(shù)，沒有關(guān)于不同態(tài)的相對相位的信息，用于描述不同態(tài)的非相干混合態(tài)。3）不能混淆w+ (w-)和|c+|2 (|c-|2)， |c+|2 (|c-|2

6、)包含了重要的相位信息，用于描述態(tài)的相干線性疊加，如 ，該相干疊加的結(jié)果是Sx+態(tài)。w+、w-所對應(yīng)的概念與經(jīng)典幾率理論的概念相仿。三、非極化、部分極化和完全極化SG實(shí)驗(yàn)中由爐子出來的Ag原子束是完全隨機(jī)系綜的例子，原子束被稱為是非極化的，自旋無特定方向。經(jīng)過SG過濾器后的原子束是純系綜、原子束是極化的，自旋有特定朝向。完全隨機(jī)系統(tǒng)和純系統(tǒng)是混合系統(tǒng)的兩極端例子。如一混合系統(tǒng)中有70%的態(tài)由|描述，而30%由|描述，則稱為部分極化的。這里|和|不一定要正交。例如， |是|Sx+，而|是|Sz- 。非純系綜必須用分?jǐn)?shù)分布數(shù)描述（分布數(shù)一般不唯一，但要滿足描述系綜總體性質(zhì)的要求）四、系綜平均混合系

7、綜可看作純系綜|(i)的混合疊加。分?jǐn)?shù)分布要滿足歸一條件: 不同態(tài)|(i)不必正交i的數(shù)目可大于態(tài)空間的維數(shù)。例如一系綜可由40% |Sz+ 、30% |Sx-和30%|Sy-組成.對混合系綜測量A，測量的統(tǒng)計(jì)結(jié)果是A的系綜平均這里|a是A的本征矢。由于是A在態(tài)|(i)的期望值，系綜平均要對期望值作權(quán)重平均，即幾率概念出現(xiàn)兩次:一是在態(tài)|(i)找到A本征態(tài)的量子力學(xué)幾率，二是|(i)在系綜的幾率權(quán)重。五、密度算符 利用一般基求A的系綜平均：對b或b的求和項(xiàng)數(shù)是態(tài)矢空間的維數(shù)，而i的項(xiàng)數(shù)則與混合系統(tǒng)被看作由怎樣的純態(tài)混合而成有關(guān)。定義與特定觀測量A無關(guān)的系綜密度算符：其矩陣表示即密度矩陣的矩陣元為密度算符包含了所討論系綜的所有物理信息。觀測量的系綜平均由于跡與表象無關(guān)，可在任意方便的基中計(jì)算，因而上式是非常有用的。 六、密度算符的基本性質(zhì)1）厄米性：+ =2）滿足歸一化條件：由于厄米性及歸一條件，對自旋1/2的體系，密度算符的矩陣表示由3個獨(dú)立參量描述，這是因?yàn)槎蛎拙仃囉伤膶?shí)數(shù)表述，而歸一性將獨(dú)立參數(shù)數(shù)降為3。所需三個參數(shù)是Sx, Sy和Sz。 七、純態(tài)系綜的密度算符純系綜由某i=n的wi=1和所有其他wi=0描述，對應(yīng)的密度算符為：純系綜的具有等冪性: 2 = (故Tr(2)=1), (-1)=0對角化時有ii (ii-1)=0，即ii =1或ii =0，