量子力學(xué)一維勢(shì)阱

1、量子力學(xué)課件一維勢(shì)阱第1頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三7.1箱中粒子的哈密頓 以一維定態(tài)為例，求解已知?jiǎng)輬?chǎng)的定態(tài)薛定諤方程。了解怎樣確定定態(tài)的能量E，從而看出能量量子化是薛定諤方程的自然結(jié)果。第2頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三已知粒子所處的勢(shì)場(chǎng)為：粒子在勢(shì)阱內(nèi)受力為零，勢(shì)能為零。在阱外勢(shì)能為無(wú)窮大，在阱壁上受極大的斥力。稱為一維無(wú)限深勢(shì)阱。其定態(tài)薛定諤方程：7.2 求解一維定態(tài)薛定諤方程第3頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三在阱內(nèi)粒子勢(shì)能為零，滿足：在阱外粒子勢(shì)能為無(wú)窮大，滿足：方程的解必處處為零：根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)

2、化條件，在邊界上所以，粒子被束縛在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。第4頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三在阱內(nèi)的薛定諤 方程可寫為：類似于簡(jiǎn)諧振子的方程，其通解：代入邊界條件得：所以，n不能取零，否則無(wú)意義。第5頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三因?yàn)榻Y(jié)果說(shuō)明粒子被束縛在勢(shì)阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。結(jié)論由歸一化條件第6頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子其波函數(shù)：稱 為量子數(shù)； 為本征態(tài)； 為本征能量。討論1、零點(diǎn)能的存在 稱為基態(tài)能量。2、 能量是量子化的。是由標(biāo)準(zhǔn)化條件而來(lái)。能級(jí)間隔：當(dāng) 能

3、級(jí)分布可視為連續(xù)的。第7頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三 在某些極限的條件下，量子規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律 . 勢(shì)阱中相鄰能級(jí)之差能量 能級(jí)相對(duì)間隔當(dāng) 時(shí)， ，能量視為連續(xù)變化.第8頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三例1：電子在 的勢(shì)阱中 .（近似于連續(xù)）當(dāng) 時(shí), （能量分立） 當(dāng) 很大時(shí)， ，量子效應(yīng)不明顯，能量可視為連續(xù)變化，此即為經(jīng)典對(duì)應(yīng) .物理意義第9頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的能級(jí)、波函數(shù)和概率密度第10頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三1n不能取零，否則無(wú)意

4、義。簡(jiǎn)并、宇稱。7.3 箱中粒子的一些性質(zhì)第11頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三2.正交歸一關(guān)系3.在定態(tài)或疊加態(tài)時(shí)的測(cè)量結(jié)果問題4.能量的期望值第12頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三5.粒子位置的期望值6.動(dòng)量的概率分布它的逆變換第13頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三例2、已知粒子處于寬度為a的一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)為 ， n = 1, 2, 3, 試計(jì)算n = 1時(shí)，在 x1 = a/4 x2 = 3a/4 區(qū)間找到粒子的概率 第14頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三解：找到粒子的

5、概率為 0.818第15頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三例3、已知描述單粒子一維束縛狀態(tài)的兩個(gè)本征函數(shù)分別為波函數(shù)為試求這兩個(gè)狀態(tài)的能級(jí)間隔。 第16頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三解：兩個(gè)波函數(shù)都滿足定態(tài)薛定諤方程 第17頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三例4、一粒子被限制在相距為l的兩個(gè)不可穿透的壁之間，如圖所示描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)為 ，其中c為待定常量求在 0 區(qū)間發(fā)現(xiàn)該粒子的概率 第18頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三解：由波函數(shù)的性質(zhì)得 即 ， 由此解得 ， 設(shè)在0 - l/3區(qū)間內(nèi)

6、發(fā)現(xiàn)該粒子的概率為P，則 第19頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三2、 勢(shì)壘貫穿（隧道效應(yīng)）在經(jīng)典力學(xué)中,若 ,粒子的動(dòng)能為正, 它只能在 I 區(qū)中運(yùn)動(dòng)。OIIIIII定態(tài)薛定諤方程的解又如何呢？第20頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三令：三個(gè)區(qū)間的薛定諤方程化為：IIIIII第21頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三若考慮粒子是從 I 區(qū)入射，在 I 區(qū)中有入射波反射波；粒子從I區(qū)經(jīng)過II區(qū)穿過勢(shì)壘到III 區(qū)，在III區(qū)只有透射波。粒子在處的概率要大于在處出現(xiàn)的概率。其解為：根據(jù)邊界條件：第22頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，

7、5月20日，21點(diǎn)42分，星期三求出解的形式畫于圖中。IIIIII隧道效應(yīng)量子力學(xué)結(jié)果分析：（1）EV0情況 在經(jīng)典力學(xué)中，該情況的粒子可以越過勢(shì)壘運(yùn)動(dòng)到xa區(qū)域，而在量子力學(xué)中有一部分被反彈回去，即粒子具有波動(dòng)性的具體體現(xiàn)。（2）EV0情況 在經(jīng)典力學(xué)中，該情況的粒子將完全被勢(shì)壘擋回，在x0的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)；而在量子力學(xué)中結(jié)果卻完全不同，此時(shí)，雖然粒子被勢(shì)壘反射回來(lái)，但它們?nèi)杂辛Ｗ哟┩竸?shì)壘運(yùn)動(dòng)到勢(shì)壘里面去，所以我們將這種量子力學(xué)特有的現(xiàn)象稱“隧道效應(yīng)”。第23頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡STM 1981年在IBM公司瑞士蘇黎士實(shí)驗(yàn)室工作的賓尼

8、希和羅雷爾利用針尖與表面間的隧道電流隨間距變化的性質(zhì)來(lái)探測(cè)表面的結(jié)構(gòu)，獲得了實(shí)空間的原子級(jí)分辨圖象，為此獲得1986年諾貝爾物理獎(jiǎng)。 由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱?，而是在表面以外呈指?shù)形式衰減，衰減長(zhǎng)度越為1nm。 只要將原子線度的極細(xì)探針以及被研究物質(zhì)的表面作為兩個(gè)電極，當(dāng)樣品與針尖的距離非常接近時(shí)，它們的表面電子云就可能重疊。第24頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三 若在樣品與針尖之間加一微小電壓Ub電子就會(huì)穿過電極間的勢(shì)壘形成隧道電流。 隧道電流對(duì)針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制隧道電流不變，則探針

9、在垂直于樣品方向上的高度變化就能反映樣品表面的起伏。 因?yàn)樗淼离娏鲗?duì)針尖與樣品間的距離十分敏感?？刂漆樇飧叨炔蛔?，通過隧道電流的變化可得到表面態(tài)密度的分布；空氣隙STM工作示意圖樣品探針利用STM可以分辨表面上原子的臺(tái)階、平臺(tái)和原子陣列?？梢灾苯永L出表面的三維圖象第25頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三 使人類第一次能夠?qū)崟r(shí)地觀測(cè)到單個(gè)原子在物質(zhì)表面上的排列狀態(tài)以及與表面電子行為有關(guān)的性質(zhì)。在表面科學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域中有著重大的意義和廣闊的應(yīng)用前景。 利用光學(xué)中的受抑全反射理論，研制成功光子掃描隧道顯微鏡（PSTM)。1989年提出成象技術(shù)。它可用于不導(dǎo)電樣品

10、的觀察。 STM樣品必須具有一定程度的導(dǎo)電性；在恒流工作模式下有時(shí)對(duì)表面某些溝槽不能準(zhǔn)確探測(cè)。任何一種技術(shù)都有其局限性。下面是用掃描隧道顯微鏡觀察到的一些結(jié)果第26頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三這是用掃描隧道顯微鏡搬動(dòng)48個(gè)Fe原子到Cu表面上構(gòu)成的量子圍欄。1991年IBM公司的“拼字”科研小組創(chuàng)造出了“分子繪畫”藝術(shù)。這是他們利用STM把一氧化碳分子豎立在鉑表面上、分子間距約0.5納米的“分子人”。這個(gè)“分子人”從頭到腳只有5納米，堪稱世界上最小的人形圖案。第27頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期三1994年初，中國(guó)科學(xué)院真空物理實(shí)驗(yàn)室的研究人員成功地利用一種新的表面原子操縱方法，通過STM在硅單晶表面上直接提走硅原子，形成平均寬度為2納米(3至4個(gè)原子)的線條。從S