培優(yōu)專題04 一元二次方程的實際問題分類-解析版

1、 20/20培優(yōu)專題04 一元二次方程問題的實際應(yīng)用應(yīng)用一：傳播問題技巧：公式a(1+x)n=M 其中a為傳染源（一般a=1），n為傳染輪數(shù)，M為最后得病總?cè)藬?shù)1（2021河南周口九年級階段練習(xí)）2021年7月來，新冠病毒的變異毒株“德爾塔”病毒影響全國人民的生活，有研究表明，“德爾塔”病毒具有較強(qiáng)的傳染性，當(dāng)一個人感染了“德爾塔”病毒后，在沒有防控的情況下，經(jīng)過兩輪傳染后共有25人感染，那么，每輪傳染中平均一個人傳染了（）A3人B4人C5人D6人【答案】B【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x人，則第一輪傳染中感染了x人，第二輪傳染中感染了x（1+x）人，根據(jù)1人感染了后經(jīng)過兩輪傳染共有25

2、人感染，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x人，則第一輪傳染中感染了x人，第二輪傳染中感染了x（1+x）人，依題意得：1+x+x（1+x）=25，即， 解得：=4，=-6（不合題意，舍去），每輪傳染中平均一個人傳染了4人故選：B【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵2（2022全國九年級專題練習(xí)）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有225人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均每人傳染的人數(shù)為x人，則可列方程（）ABCD【答案】C【分析】由于每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是x人，那么經(jīng)過第一輪后有（1

3、+x）人患了流感，經(jīng)過第二輪后有（1+x）+x（1+x）人患了流感，再根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有225人患了流感即可列出方程【詳解】解：依題意得（1+x）+x（1+x）=225故選：C【點睛】本題考查了一元二次方程的運(yùn)用，解此類題關(guān)鍵是根據(jù)題意分別列出不同階段患了流感的人數(shù)3（2022山東煙臺八年級期中）一次座談會上，每兩個參加會議的人都互相握手一次，經(jīng)統(tǒng)計，一共握手36次，則這次會議與會人數(shù)是共_人【答案】9【分析】設(shè)這次參加座談會的有x人，已知見面時兩兩握手一次，那么每人應(yīng)握（x-1）次手，所以x人共握手x（x-1）次，又知共握手36次，以握手總次數(shù)作為等量關(guān)系，列出方程求解【詳解】解：設(shè)這次

4、參加座談會的有x人，則每人應(yīng)握（x-1）次手，由題意得：，即：x2-x-72=0，解得：x1=9，x2=-8（不符合題意舍去）所以，這次參加座談會的有9人故答案為：9【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解清楚題意，找出等量關(guān)系，列出方程求解4（2022全國九年級專題練習(xí)）2019年元旦節(jié)期間班上數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)互發(fā)微信祝賀，每兩個同學(xué)都互相發(fā)一次，小明統(tǒng)計全組共互發(fā)了90次微信，那么數(shù)學(xué)興趣小組的人數(shù)是多少？設(shè)數(shù)學(xué)興趣小組人數(shù)為x人，則可列方程為_【答案】x(x-1)=90【分析】每個人都要發(fā)送（x-1）次微信，有x個人，由微信的總數(shù)量列出方程，即可得到答案【詳解】解：設(shè)數(shù)學(xué)興

5、趣小組的人數(shù)為x個，每人要發(fā)送（x-1）次微信，全班共送x（x-1）=90，故答案為：x（x-1）=90【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是本題的關(guān)鍵5（2022全國九年級專題練習(xí)）某種病毒傳播非?？欤绻?人被感染，經(jīng)過2輪感染后就會有81人被感染(1)每輪感染中平均1人會感染幾人？(2)若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會不會超過700人？【答案】(1)8人(2)會【分析】（1）設(shè)每輪感染中平均一個人會感染x個人，根據(jù)一個人被感染經(jīng)過兩輪感染后就會有81個人被感染，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)3輪感染后被感染的人數(shù)

6、=2輪感染后被感染的人數(shù)（1+8），即可求出3輪感染后被感染的人數(shù)，再將其與700進(jìn)行比較后即可得出結(jié)論(1)設(shè)每輪感染中平均1人會感染x人，依題意，得1xx（1x）81，解得x18，x210（不合題意，舍去）答：每輪感染中平均1人會感染8人(2)81（18）729（人），729700答：若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會超過700人【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵應(yīng)用二：平均增長率問題技巧：b=a(1x)n ， n為增長或降低次數(shù) , b為最后產(chǎn)量，a為基數(shù)，x為平均增長率或降低率6（2022安徽安慶八年級期中）某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)，今

7、年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)億元，第一季度總產(chǎn)值為億元，二月、三月平均每月的增長率是多少？若設(shè)平均每月的增長率為，根據(jù)題意，可列方程為（）ABCD【答案】B【分析】增長率問題，一般用增長后的量增長前的量增長率)，本題可先用表示出二月份的產(chǎn)值，再根據(jù)題意表示出三月份的產(chǎn)值，然后將三個月的產(chǎn)值相加，即可列出方程【詳解】解：二月份的產(chǎn)值為：，三月份的產(chǎn)值為：，故第一季度總產(chǎn)值為：故選B【點睛】本題考查的是一元二次方程的運(yùn)用，解此類題目時常常要按順序列出接下來幾個月的產(chǎn)值，再根據(jù)題意列出方程即可7（2022安徽合肥市五十中學(xué)新校八年級期中）某口罩廠八月份的口罩產(chǎn)量為100萬只，由于市場需求量增加，十月份的產(chǎn)量比

8、八月份增加了44萬只，設(shè)該廠九、十月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長率為x，可列方程為（）A（1+ x）2 =4400B10000（1+x）2=4400C（1+ x）2 =1.44D10000（1+2x）=14400【答案】C【分析】根據(jù)八月份的產(chǎn)量=十月份的產(chǎn)量列方程即可【詳解】解：由題意，得100=44+100，即=1.44，故選：C【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解增長率的意義，正確列出方程是解答的關(guān)鍵8（2022全國九年級單元測試）某種藥品的價格經(jīng)過兩次連續(xù)降價后，由每盒100元下調(diào)至64元，假設(shè)每次降價的百分率相等，這種藥品每次降價的百分率是_【答案】20%【分析】設(shè)這種藥品每次降價的

9、百分率是x，根據(jù)題意可列出關(guān)于x的一元二次方程，解出x即得出答案【詳解】設(shè)這種藥品每次降價的百分率是x，根據(jù)題意得：，解得：，（舍）故這種藥品每次降價的百分率是20%故答案為20%【點睛】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用讀懂題意，找出等量關(guān)系，列出等式是解題關(guān)鍵9（2022上海市復(fù)旦初級中學(xué)九年級期中）某單位10月份的營業(yè)額為100萬元，12月份的營業(yè)額為200萬元，假設(shè)該公司11、12兩個月的增長率都為x，那么可列方程是 _【答案】100（1x）2200【分析】根據(jù)題意，設(shè)平均每月的增長率為x，依據(jù)10月份的營業(yè)額為100萬元，12月份的營業(yè)額為200萬元，即可列出關(guān)于x的一元二次方程故答案為

10、：100（1x）2200【詳解】設(shè)平均每月的增長率為x，根據(jù)題意可得：100（1x）2200故答案為：100（1x）2200【點睛】此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題關(guān)鍵10（2022山東泰安八年級期末）東平湖景區(qū)在2021年春節(jié)長假期間，共接待游客達(dá)20萬人次，預(yù)計在2023年春節(jié)長假期間，將接待游客達(dá)28.8萬人次(1)求景區(qū)2021至2023年春節(jié)長假期間接待游客人次的平均增長率；(2)景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價為6元，根據(jù)銷售經(jīng)驗，在旅游旺季，若每杯定價25元，則平均每天可銷售300杯，若每杯價格降低1元，則平均每天可多銷售30杯，店家決

11、定進(jìn)行降價促銷活動，則當(dāng)每杯售價定為多少元時，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額？【答案】(1)年平均增長率為20%(2)當(dāng)每杯售價定為20元時，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額【分析】（1）設(shè)年平均增長率為x，根據(jù)題意可列出關(guān)于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合題意的解即可；（2）設(shè)當(dāng)每杯售價定為y元時，店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額，由題意得關(guān)于y的方程，解方程并對方程的解作出取舍即可（1）設(shè)景區(qū)2021至2023年春節(jié)長假期間接待游客人次的平均增長率為x，由題意得：，解得：（舍）答：年平均增

12、長率為20%；（2）設(shè)當(dāng)每杯售價定為y元時，店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額，由題意得： ，整理得：，解得：要讓顧客獲得最大優(yōu)惠，y=20答：當(dāng)每杯售價定為20元時，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額【點睛】本題考查了一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并正確列出方程是解題的關(guān)鍵應(yīng)用三：形積問題技巧：根據(jù)圖形的性質(zhì)和面積公式，聯(lián)系一元二次方程的根，注意涉及到面積的和差，切勿混淆11（2022浙江紹興八年級期末）如圖，一塊長方形綠地長10m，寬5m在綠地中開辟三條道路后，綠地面積縮小到原來的78%，則可列方程為（）ABCD【答案】

13、A【分析】由圖可知三條道路寬都為x，把道題平移到邊緣，讓剩下的綠地形成一個長方形，根據(jù)題意列出方程即可【詳解】如圖：將剩下的綠地進(jìn)行平移后是一個長方形，長方形的長為（10-2x）米，寬為（5-x）米；根據(jù)題意列出方程為：，故選：A【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵12（2022廣西崇左八年級期中）如圖，在長為30m，寬為15m的長方形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），其余部分鋪設(shè)草坪，要使草坪的面積為406m2，則小路的寬度應(yīng)為多少（）A1B1.5C2D4【答案】A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，先將道路進(jìn)行平移，然后根據(jù)矩形的面積公式列方程求

14、解【詳解】解：將道路進(jìn)行平移，剩余的草坪為一個小長方形，設(shè)小路寬為x m，根據(jù)題意，得（30 x）（15x）406整理得解得，（不合題意，舍去）則小路寬為1m，故選：A【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，對于面積問題應(yīng)熟記各種圖形的面積公式本題中按原圖進(jìn)行計算比較復(fù)雜時，可根據(jù)圖形的性質(zhì)適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行轉(zhuǎn)換化簡，然后根據(jù)題意列出方程求解13（2022浙江溫州市南浦實驗中學(xué)八年級期中）如圖，在一塊長為60米，寬為40米的長方形空地內(nèi)修建一間正方形涼亭和兩條寬度相等的小路，且小路的寬度是正方形涼亭邊長的，其余部分種植草坪，若草坪面積為2328平米，設(shè)小路寬為x米，依題意可列方程為_【答案】【分析】設(shè)小

15、路寬為x米，則涼亭的寬度為4x米，根據(jù)面積之間的關(guān)系列出方程即可【詳解】解：設(shè)小路寬為x米，則涼亭的寬度為4x米，根據(jù)題意得：6040-(60-4x)x-=2328，故答案為：6040-(60-4x)x-=2328【點睛】題目主要考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵14（2022河北承德八年級期末）如圖，矩形ABCD中，（1）矩形ABCD的周長為_；（2）若一正方形的面積與矩形ABCD的面積相等，則這個正方形的邊長為_【答案】 【分析】（1）根據(jù)長方形周長公式求解即可；（2）設(shè)正方形的邊長為x，由題意得，解方程即可【詳解】解：（1）矩形ABCD中，矩形ABCD的周長為，故答

16、案為：，（2）設(shè)正方形的邊長為x，由題意得，（負(fù)值已舍去），正方形的邊長為，故答案為：【點睛】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵15（2021內(nèi)蒙古通遼九年級期末）如圖，有一農(nóng)戶要建一個矩形雞舍，雞舍的一邊利用長為米的墻，另外三邊用米長的籬笆圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于墻的一邊上留一個米寬的門，(1)若，問矩形的邊長分別為多少時，雞舍面積為平方米(2)若住房墻的長度足夠長，問雞舍面積能否達(dá)到平方米？【答案】(1)長為米，寬為米(2)不能【分析】（1）設(shè)矩形雞舍垂直于房墻的一邊長為米，則矩形雞舍的另一邊長為米，根據(jù)雞舍面積為平方米，列出方程并解答；（2）利用

17、雞舍面積等于平方米得出一元二次方程，根據(jù)判別式可得出答案（1）解：設(shè)矩形雞舍垂直于房墻的一邊長為米，則矩形雞舍的另一邊長為米，依題意，得：，解得：，當(dāng)時，（舍去），當(dāng)時，答：矩形雞舍的長為米，寬為米（2）當(dāng)雞舍面積等于平方米時，依題意，得：，整理得：，所圍成雞舍面積不能為90平方米答：所圍成雞舍面積不能為90平方米【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵應(yīng)用四：數(shù)字問題技巧：注意個位和十位數(shù)字的表示，特別是涉及到互換位置的時候，根據(jù)題意直接列出方程即可16（2022全國九年級課時練習(xí)）一個兩位數(shù)的兩個數(shù)字的和為9，把這個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字互換

18、得到一個新的兩位數(shù)，它與原兩位數(shù)的積為1458，設(shè)原兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，則可列方程（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)題意易得原兩位數(shù)的十位數(shù)字為9-x，然后可根據(jù)題意進(jìn)行列方程排除選項【詳解】解：由題意得：原兩位數(shù)的十位數(shù)字為9-x，則有，；故選C【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵17（2022全國九年級課時練習(xí)）如圖所示的是某月的日歷表，在此日歷表上可以按圖示形狀圈出位置相鄰的6個數(shù)(如：8，14，15，16，17，24)如果圈出的6個數(shù)中，最大數(shù)x與最小數(shù)的積為225，那么根據(jù)題意可列方程為()Ax(x+8)=225Bx(x+16)=225Cx

19、(x16)=225D(x+8)(x8)=225【答案】C【分析】最大數(shù)為x，則我們只需要將最小數(shù)用x表示出來即可列出方程【詳解】最大數(shù)為x，最小數(shù)用x表示為：x-16，列方程為：x(x16)=225，故選：C【點睛】本題考查列一元二次方程，解題關(guān)鍵是根據(jù)題干找出等量關(guān)系式，然后根據(jù)等量關(guān)系式來列方程18（2021江蘇九年級專題練習(xí)）有一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和是8，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘原來的兩位數(shù)就得1855，則原來的兩位數(shù)是_【答案】35或53【分析】設(shè)個位為x，則十位上的數(shù)字為8-x，根據(jù)如果十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，則所得兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)

20、就得1855，求解即可【詳解】設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字是（8-x），由題意得10 x+（8-x）10（8-x）+x=1855化簡得x2-8x+15=0，解之得：x1=3，x2=5經(jīng)檢驗，x1=3，x2=5都符合題意答：原兩位數(shù)是35或53【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是表示出對調(diào)前后兩位數(shù)的表示方法19（2021湖北黃岡九年級階段練習(xí)）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字的平方小3，如果把這個數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換，那么所得到的兩位數(shù)比原來的數(shù)小27，則原來的兩位數(shù)是_【答案】63【分析】根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可，等量關(guān)系為：原來的兩位數(shù)-新

21、兩位數(shù)=27，把相關(guān)數(shù)值代入計算可得各位上的數(shù)字，根據(jù)兩位數(shù)的表示方法求得兩位數(shù)即可【詳解】解：設(shè)個位數(shù)字為，則十位數(shù)字為23，由題意得10(23)(1023)27 ，整理得，解得 (不合題意，舍去)，十位數(shù)字為，則原來的兩位數(shù)為63 故答案為：63【點睛】本題考查了列一元二次方程解應(yīng)用題，弄清已知中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵20（2021江蘇九年級專題練習(xí)）李先生乘出租車去某公司辦事，下車時，打出的電子收費(fèi)單為“里程11千米，應(yīng)收元”該城市的出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示，請求出起步價里程千米價格N元元千米元千米【答案】起步價是10元【分析】根據(jù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn),將11千米分段計費(fèi),列出方程即可.【詳解】解：

22、依題意，得，整理，得，解得，由于，所以答：起步價是10元【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用,屬于簡單題,列方程是解題關(guān)鍵.應(yīng)用五：商品銷售問題技巧：銷售總額單件售價數(shù)量 總利潤：單件利潤數(shù)量（售價進(jìn)價）數(shù)量 利潤成本利潤率21（2022全國九年級單元測試）將進(jìn)價為 元/個的某種商品按 元/個出售時，能賣出500個，已知這種商品每個每漲價1元，其銷售數(shù)量就減少 個，若想使利潤達(dá)到元，售價應(yīng)是多少？設(shè)售價為 元/個，則可列方程（）ABCD【答案】D【分析】由售價為x元/個，則可表示出此時一個的利潤及銷售數(shù)量，根據(jù)利潤為9000元，可列方程【詳解】解：設(shè)售價為x元，則（x90）50010（x1

23、00）9000，故選：D【點睛】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，由售價和銷售量的關(guān)系，以利潤作為等量關(guān)系列方程求解22（2022全國九年級專題練習(xí)）某超市銷售一種商品，其進(jìn)價為每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，為讓利于民，超市采取降價措施，當(dāng)售價每千克降低1元時，每天銷量可增加50千克，若每天的利潤要達(dá)到5500元，則實際售價應(yīng)定為多少元？設(shè)售價每千克降低x元，可列方程為（）A（45-30-x）（300+50 x）=5500B（x-30）（300+50 x）=5500C（x-30）300+50（x-45）=5500D（45-x）（300+50 x）=5500【答案】A【分

24、析】先求出每千克的售價為元，此時每天銷量為千克，再根據(jù)“利潤（售價進(jìn)價）每天銷量”建立方程即可得【詳解】解：由題意可知，當(dāng)售價每千克降低元時，每千克的售價為元，此時每天銷量為千克，則可列方程為，故選：A【點睛】本題考查了列一元二次方程，正確找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵23（2022全國九年級專題練習(xí)）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，為了擴(kuò)大銷售量，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件若商場平均每天銷售這種襯衫的盈利要達(dá)到1200元，則每件襯衫應(yīng)降價多少元？設(shè)每件襯衫降價x元，由題意列得方程_【答

25、案】【分析】設(shè)每件襯衫降價x元，根據(jù)每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件可得銷售量為，則每件襯衫的利潤為，根據(jù)銷售量乘以每件襯衫的利潤等于1200元，列出一元二次方程即可【詳解】解：設(shè)每件襯衫降價x元，根據(jù)題意得，故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵24（2022全國九年級課時練習(xí)）某商店以30元的價格購進(jìn)了一批服裝，若按每件50元出售，一個月內(nèi)可銷售100件；當(dāng)售價每提價1元時，其月銷售量就減少5件當(dāng)利潤達(dá)到1875元時，設(shè)售價提價x元，則可列方程為_【答案】5x2-125=0【分析】根據(jù)“每月售出服裝的利潤=每件的利潤每周的銷售量”可

26、得1875=(50+x-30)(100-5x)，然后整理即可解答【詳解】解：根據(jù)題意得出：1875=(50+x30)（100-5x）整理得：5x2-125=0故答案為：5x2-125=0【點睛】本題主要考查了根據(jù)實際問題列一元二次方程，理解每件利潤以及其銷量是解答本題的關(guān)鍵25（2022山東煙臺八年級期末）某商場以每件220元的價格購進(jìn)一批商品共900件，起初，商場按每件280元的價格銷售該商品，每天可售出30件，銷售兩天后，為慶祝“618購物節(jié)”，商場決定開展降價促銷活動，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品每降價1元，平均每天可多售出3件(1)若要使該商品每天的銷售利潤達(dá)到降價前的兩倍，則每件商品應(yīng)降價多少

27、元？(2)在（1）的條件下，要使該商品盡快售完，需開展幾天的降價促銷活動？【答案】(1)每件商品應(yīng)降價20元或30元；(2)需開展7天的降價促銷活動【分析】（1）根據(jù)總利潤=單件利潤銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)需開展y天的降價促銷活動根據(jù)“900-302=（30+330）y”求得y的值即可（1）解：設(shè)每件商品應(yīng)降價x元，由題意，得（280-x-220）（30+3x）=（280-220）302，解得 x1=20，x2=30答：每件商品應(yīng)降價20元或30元；（2）解：要使該商品盡快售完，每件商品應(yīng)降價30元設(shè)需要開展y天的降價促銷活動由題意，得900-302=

28、（30+330）y解得y=7答：需開展7天的降價促銷活動【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵應(yīng)用六：動點幾何問題技巧：先把動點走過的路程用時間表示出來，再把剩余的路長用時間表示出來，根據(jù)題意列方程26（2022河北滄州九年級期末）如圖，在中，AB=，BC=點從點開始沿邊向點以的速度移動，同時點從點開始沿邊向點以的速度移動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點隨即停止當(dāng)四邊形的面積為時，點的運(yùn)動時間為()AB或CD或【答案】C【分析】先求出的面積，得出當(dāng)四邊形的面積為時BPQ的面積，設(shè)運(yùn)動時間為t，則，根據(jù)三角形面積公式列出關(guān)于他t的方程，解方程即可【詳解

29、】解：在中，AB=，BC=，當(dāng)四邊形的面積為時，設(shè)運(yùn)動時間為t，則，解得：，點P在AB上的運(yùn)動時間為：，不符合題意，即當(dāng)四邊形的面積為時，點的運(yùn)動時間為2s，故C正確，符合題意故選：C【點睛】本題主要考查了動點問題，三角形的面積公式，解二元一次方程組，設(shè)運(yùn)動時間為t，根據(jù)題意列出關(guān)于t的方程，是解題的關(guān)鍵27（2022全國九年級課時練習(xí)）如圖，ABC中，C90，AC8cm，BC4cm，一動點P從C出發(fā)沿著CB方向以1cm/s的速度向B運(yùn)動，另一動點Q從A出發(fā)沿著AC方向以2cm/s的速度向C運(yùn)動，P，Q兩點同時出發(fā)，運(yùn)動時間為t（s）當(dāng)t為（）秒時，PCQ的面積是ABC面積的？A1.5B2C3

30、或者1.5D以上答案都不對【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得的長，進(jìn)而求得，根據(jù)的面積是面積的，列出方程，解方程即可解決問題【詳解】解：，一動點P從C出發(fā)沿著CB方向以1cm/s的速度向B運(yùn)動，點Q從A出發(fā)沿著AC方向以2cm/s的速度向C運(yùn)動，AQ=2，的面積是面積的，整理得，解得，當(dāng)s時，的面積是面積的故選擇B【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用動點問題，用代數(shù)式表示線段，三角形面積，根據(jù)三角形面積列出方程是解題的關(guān)鍵28（2022全國九年級課時練習(xí)）如圖，在矩形中，點從點出發(fā)沿以的速度向點運(yùn)動，同時點從點出發(fā)沿以的速度向點運(yùn)動，點到達(dá)終點后，、兩點同時停止運(yùn)動，則_秒時，的面積是【答案】2

31、或3#3或2【分析】設(shè)t秒后的面積是，則，列方程即可求解【詳解】解：設(shè)運(yùn)動時間為秒，則，依題意得：，整理得：，解得：，或3秒時，的面積是故答案為：2或3【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程29（2022全國九年級課時練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，點P從點A沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動；同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，有一點到終點運(yùn)動即停止，當(dāng)t_時，SDPQ28cm2【答案】2或4【分析】由題意可知當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時，則AP=t cm，BP=（6-t）cm，BQ=

32、2t cm，CQ=（12-2t）cm，根據(jù)SDPQ=28cm2，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出答案【詳解】解：當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時，則AP=t cm，BP=（6-t）cm，BQ=2t cm，CQ=（12-2t）cm，依題意得：126-12t-6（12-2t）-2t（6-t）=28，整理得：t2-6t+8=0，解得：t1=2，t2=4故答案為：2或4【點睛】本題考查一元二次方程的幾何應(yīng)用與矩形的性質(zhì)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵30（2020遼寧寬甸滿族自治縣第一初中九年級階段練習(xí)）如圖，ABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，動點P從點B出發(fā)以2cm/s速度

33、向點C移動，同時動點Q從C出發(fā)以1cm/s的速度向點A移動，設(shè)它們的運(yùn)動時間為t(1)根據(jù)題意知：CQ ，CP ；（用含t的代數(shù)式表示）(2)t為何值時，CPQ的面積等于ABC面積的？(3)運(yùn)動幾秒時，CPQ與CBA相似？【答案】(1)t，42t(2)或(3)或秒【分析】（1）結(jié)合題意，直接得出答案即可；（2）根據(jù)三角形的面積列方程即可求出結(jié)果；（3）設(shè)經(jīng)過t秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進(jìn)行求解：若RtABCRtQPC，若RtABCRtPQC，然后列方程求解（1）解：AC=3cm，BC=4cm，根據(jù)題意得：經(jīng)過t秒后，BP=t，PC=4-2t，CQ=t，故答案為：t，4-2t；（2）解

34、：當(dāng)CPQ的面積等于ABC面積的時，即（4-2t）t=34，解得；t=或t=；答：經(jīng)過或秒后，CPQ的面積等于ABC面積的；（3）解：設(shè)經(jīng)過t秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進(jìn)行求解，若RtABCRtQPC則，即，解得t=；若RtABCRtPQC則，即，解得t=；由P點在BC邊上的運(yùn)動速度為2cm/s，Q點在AC邊上的速度為1cm/s，可求出t的取值范圍應(yīng)該為0t2，驗證可知兩種情況下所求的t均滿足條件答：要使CPQ與CBA相似，運(yùn)動的時間為1.2或秒【點睛】本題考查了一元二次方程的實際運(yùn)用，動點問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，掌握相似三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵；特別是（3）注意分類討論應(yīng)用七：相互問題（循環(huán)、握手、互贈禮品等）技巧：循環(huán)問題：又可分為單循環(huán)問題n(n-1)，雙循環(huán)問題n(n-1).31（2022黑龍江中考真題）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（）A8B10C7D9【答案】B【分析】設(shè)有x