線線角線面角二面角的一些題目 2

1、文檔編碼 : CS5W1X1E1P9 HF5K3V3F10W2 ZQ10O6S9I1I1線線角與線面角習(xí)題 新泰一中 閆輝 一、復(fù)習(xí)目標(biāo)1.懂得異面直線所成角的概念 ,并把握求異面直線所成角的常用方法2.懂得直線與平面所成角的概念,并把握求線面角常用方法3.把握求角的運算題步驟是“ 一作、二證、三運算”,思想方法是將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形即“ 降維” 的思想方法. 二、課前預(yù)習(xí)1.在空間四邊形ABCD中, AD=BC=2, E、F 分別為 AB、CD 的中點且 EF= 3 ,AD、BC所成的CCDD 1C角為. 60 和 45 ,就異面2.如圖 ,在長方體ABCD-A1B1C1D1中 ,B1C

2、 和 C1D 與底面所成的角分別為直線 B1C和 C1D 所成角的余弦值為 A.6B.6C.2D.3BA6B4363.平面與直線 a 所成的角為3,就直線 a 與平面內(nèi)全部直線所成的角的取值范A 1C 1圍是4.如圖 ,ABCD是正方形 ,PD平面 ABCD,PD=AD,就 PA與 BD 所成的角的度數(shù)為AB 1P A.30 B.45 C.60 D.90 5.有一個三角尺 ABC,A=30 , C=90 ,BC是貼于桌面上 , 當(dāng)三角尺與桌面成 45 角時 ,AB 邊與桌面所成角的正弦值D是三、典型例題BCA例 1.96 全國 如圖 ,正方形 ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成 60

3、角,求異面直線 AD 與 BF 所成角的余弦值. 備課說明 :1.求異面直線所成的角常作出所成角的平面圖形.作法有 : D平移法 :在異面直線的一條上選擇“ 特殊點”,作另一條直線平行線B或利用中位線 .補形法 :把空間圖形補成熟識的幾何體,其目的在于容AE易發(fā)覺兩條異面直線的關(guān)系.2.解立幾運算題要先作出所求的角,并要有嚴(yán)格的推理論證過程,仍要有合理的步驟. F例 2.如圖在正方體AC1 中, 1 求 BC1 與平面 ACC1A1 所成的角 ; 2 求 A1B1 與平面 A1C1B 所成的角 . 備課說明 :求直線與平面所成角的關(guān)鍵是找直線在此平面上的射影,為此D 1B 1BC 1必需在這條

4、直線上找一點作平面的垂線. 作垂線的方法常接受:利用平面垂直的性質(zhì)找平面的垂線.點的射影在面內(nèi)的特殊位置. A 1DCA例 3. 已知直三棱住 ABC-A1B1C1,AB=AC, F為棱BB1 上一點 ,BFFB1=21, BF=BC= a 2 . 1如 D 為BC的中點 ,E 為線段 AD 上不同于 A、 D的任意一點 ,證明： EFFC1; 2試問 :如 AB= a 2 ,在線段 AD上的 E點能否使 EF與平面 BB1C1C成 60 角,為什么 .證明你的結(jié)論 . 備課說明 :這是一道探干脆命題 ,也是近年高考熱點問題 ,解決這類問題 ,常假設(shè)命題成立 ,再爭論是否與已知條件沖突 , A

5、 C從而判定命題是否成立 . E DBA 1FC 1B 1四、反饋練習(xí)1 設(shè)集合 A、B、C分別表示異面直線所成的角、平面的斜線與平面所成的角、直線與平面所成的角的取值范疇 ,就AA=B=C BA=B C CA B C D B A C. 2 兩條直線 a ,b 與平面 所成的角相等 ,就直線 a ,b 的位置關(guān)系是A平行 B相交 C異面 D 以上均有可能 . 3 設(shè)棱長為 1 的正方體 ABCD-A1B1C1D1中, M、N 分別為 AA1和 BB1的中點,就直線 CM 和D1N 所成角的正弦值為 . 4 已知 a 、b 是一對異面直線, 且 a 、b 成 60 o 角,就在過空間任意點 P

6、的全部直線中, 與 a 、b 均成 60 o 角的直線有 條 . 5 異面直線 a 、 b 相互垂直, c 與 a 成 30 o 角,就 c 與 b 所成角的范疇是 . 6ACB=90 在平面 內(nèi),PC 與 CA、CB 所成的角 PCA=PCB=60 o,就 PC與平面 所成的角為 . 7 設(shè)線段 AB=a ,AB 在平面 內(nèi),CA,BD 與 成 30 角,BDAB,C、 D 在 同側(cè) ,CA=BD=b .求: 1CD 的長 ;2CD 與平面 所成角正弦值 . CDA B課前預(yù)習(xí)1. 602.A 3. 3,2 4.C 5.64典型例題例 1 解:CB AD CBF為異面直線 AD 與 BF所成

7、的角 .連接 CF、CE設(shè)正方形 ABCD的邊長為 ,就 BF= 2 aCBAB, EBAB CEB為平面 ABCD與平面 ABEF所成的角 CBE=60 CE=a FC= 2 acosCBF= 24例 2 解:1 設(shè)所求的角為 , 先證 BD平面 ACC1A1, 就 sin =sin OC1B= OB= 1.故BC 1 2=30 o.2 A1BC1 是正三角形 , 且 A1B1=B1C1=BB1.棱錐 B1-A1BC1 是正三棱錐 . 過 B1 作 B1H平面 A1BC1,連 A1H, B1A1H 是直線 A1B1 與平面 A1C1B 所成的角 . 設(shè) A1B1=a 就 A1B= 2 a 得

8、6 A 1 H 6 6A1H= a . 故 cosB1A1H= = .所求角為 arccos3 A 1 B 1 3 3例 3 解:1 連接 OF, 簡潔證明 AD面 BB1C1C, DF 是 EF在面 B1C1CB的射影 , 且 DFFC1, FC1EF.2AD面 BB1C1C,EFD=60 , 就 ED=DF tan 60 = 3 EFD 是 EF 與平面 BB1C1C 所成的角 . 在 EDF 中, 如5 = 15 a , AB=BC=AC=2a ,AD= 3 a .15 a 3 a .E 在 DA的延長線上 , 而不在線段 60 角. AD 上; 故線段 AD 上的 E 點不行能使EF與

9、平面 BB1C1C成反饋練習(xí)1. D 2. D 3. 4 54. 3 5. 60 , 90 6. 4597. 解 :1 作 DD于 D,連接 AD,BD.CA,CA DD.四邊形 CADD 是直角梯形, CAD= D DA=90 ,AB ,ABDD.又 ABBD, AB平面 BDD,BD平面 BDD.ABBD. DBD是 BD 與 所成的角 , DBD=30 ,BD=b , DD= b,BD= 3b.2 22在 ABD中 , AB=a ,BD= 3b,ABD=90 , AD= AB 2 BD2= a 2 3 b.在 CAD2 42 2 2 2D 中, CD= AD AC D D a b . 2

10、 作 DC DC 交 CA于 C,CDA是 CD 與 所成的角 ,sin CDA= AC b. C D 2 a 2b 2線面角與面面角練習(xí)一、學(xué)問與方法要點：1斜線與平面所成的角就是斜線與它在平面內(nèi)的射影的夾角；求斜線與平面所成的角關(guān)鍵 是找到斜線在平面內(nèi)的射影,即確定過斜線上一點向平面所作垂線的垂足,這經(jīng)經(jīng)常要用面面垂直來確定垂足的位置；如垂足的位置難以確定,可考慮用其它方法求出斜線上一點到平面的距離；2二面角的大小用它的平面角來度量,求二面角大小的關(guān)鍵是找到或作出它的平面角要 證明 ；作二面角的平面角經(jīng)常要用三垂線定理,關(guān)鍵是過二面角的一個面內(nèi)的一點向另一個面作垂線,并確定垂足的位置；如二

11、面角的平面角難以作出,可考慮用射影面積公式 求二面角的大??；3判定兩個平面垂直,關(guān)鍵是在一個平面內(nèi)找到一條垂直于另一個平面的直線；兩個平面垂直的性質(zhì)定理是：假如兩個平面垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的 直線垂直于另一個平面二、例題 例 1正方體 ABCD-A1B1C1D1 中, M為 C1D1中點1 求證： AC1平面 A1BD2 求 BM與平面 A1BD成的角的正切值解： 1 連 AC,C1C平面 ABCD, C1CBD又 AC BD,AC1BD同理 AC1A1B D1AC1中, ME AC1,A1BBD=B AC1平面 A1BD2 設(shè)正方體的棱長為a ,連 AD1, AD1 交 A1

12、D于 E,連結(jié) ME,在AC1平面 A1BD ME平面 A1BD連結(jié) BE,就 MBE為 BM與平面 A1BD成的角在 Rt MEB 中,MEAC13a ,22BE2a22 a6a,tanMBEME226BE2例 2如圖,把等腰直角三角形ABC以斜邊 AB為軸旋轉(zhuǎn),使 C點移動的距離等于 AC時停止,并記為點 P（1）求證：面 ABP面 ABC；（2）求二面角 C-BP-A 的余弦值證明（ 1）由題設(shè)知 APCP BP點 P在面 ABC的射影 D應(yīng)是 ABC的外心,即 DAB PDAB,PD 面 ABP,由面面垂直的判定定理知,面 ABP面 ABC（2）解法 1 取 PB中點 E,連結(jié) CE、

13、DE、CD BCP為正三角形,CEBD BOD為等腰直角三角形,DEPB CED為二面角 C-BP-A 的平面角又由（ 1）知,面 ABP面 ABC,DCAB, AB面 ABP面 ABC,由面面垂直性質(zhì)定理,得DC面 ABP DCDE因此CDE為直角三角形設(shè)BC1,就CE3,DE1,cosCEDDE13222CE332例 3如以下圖,在正三棱柱ABCA B C 中,EBB ,截面A EC側(cè)面AC 1 求證：BEEB ；2 如AA 1A B ,求平面A EC 與平面A B C 1所成二面角 銳角 的度數(shù)證明：在截面 A1EC內(nèi),過 E作 EGA1 C,G是垂足,如圖,面 A1 EC面 AC1,

14、EG側(cè)面 AC1取 AC的中點 F,分別連結(jié)BF和 FC,由 ABBC得 BFAC面 ABC側(cè)面 AC1 , BF側(cè)面 AC1 ,得 BF EGBF和 EG確定一個平面,交側(cè)面 AC1 于 FGBE 側(cè)面 AC1 , BE FG,四邊形 BEGF是,BEFGBE AA1 , FG AA1 , AA1 C FGC解： 2 分別延長 CE和 C1B1交于點 D,連結(jié) A1 D B1A1 C1 B1C1 A1 60 , DA1C1 DA1B1 B1A1C1 90 ,即 DA 1 A1C1 CC1面 A1C1B1 ,由三垂線定理得 DA1 A1C,所以 CA1C1 是所求二面角的平面角且A1 C1 C

15、90 CC1 AA1 A1B1 A1 C1 , CA1 C145 ,即所求二面角為 45 說明：假如改用面積射影定理,就仍有另外的解法三、作業(yè) ：1已知平面的一條斜線a 與平面成 角,直線 b,且 a,b 異面,就 a 與 b 所成的角為（A）A有最小值,有最大值2B無最小值,有最大值2；（ D）C有最小值,無最大值D有最小值,有最大值2以下命題中正確選項A過平面外一點作該平面的垂面有且只有一個B過直線外一點作該直線的平行平面有且只有一個C過直線外一點作該直線的垂線有且只有一條D過平面外的一條斜線作該平面的垂面有且只有一個3一條長為 60 的線段夾在相互垂直的兩個平面之間,它和這兩個平面所成的

16、角分別為45 和 30 ,這條線段的兩個端點向平面的交線引垂線,就垂足間的距離是（A）A30 B20 C15 D12 4設(shè)正四棱錐 S ABCD的側(cè)棱長為 2 ,底面邊長為 3 ,E 是 SA的中點,就異面直線 BE與 SC所成的角是（C）A30B45C60D905正三棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為 arctan2 2 ,就它的側(cè)棱與底面所成的角為 26A 是 BCD 所在平面外的點,BAC=CAB=DAB=60 , AB=3,AC=AD=2. （）求證： ABCD；（）求 AB 與平面 BCD所成角的余弦值. 7正四周體 ABCD中, E是 AD 邊的中點,求：CE與底面 BCD所成角的正弦

17、值解 過 A,E分別作 AH面 BCD,EO面 BCD,H,O 為垂足,AH 2OE,AH, OE確定平面 AHD,連結(jié) OC,ECO即為所求 AB=AC=AD, HB=HC=HD BCD是正三角形,H 是 BCD的中心,連結(jié) DH 并延長交 BC于 F,F 為 BC的中點,DH2 3DF23a3a ,在 Rt ADH中,3238在四周體ABCD中, DA面 ABC, ABC90 , AECD,AFDB求證：（1）EFDC；（2）平面 DBC平面 AEF證明 如圖 1-83 （1）AD面 ABC ADBC又 ABC90 BC ABBC面 DABDB是 DC在面 ABD內(nèi)的射影 AFDBAFCD

18、（三垂線定理）AECD CD平面 AEF CDEF（2） CDAE,CD EF CD面 AEF CD BCD面 BCD面 AEF面（3）由 EFCD,AECD AEF為二面角 B-DC-A 的平面又 AFDB,AFCD,BDCD D AF平面 DBC,二面角題目：例1如以下圖,已知PA面 ABC ,SPBCS SABCS ,二面角 PBCA 的C平面角為,求證：ScosSPADB2如圖,在空間四邊形ABCD 中,BCD 是正三角形,ABD 是等腰直角三角形,且DBAD90,又二面角 ABDC 為直二面角,求二面角ACDB 的大小；BH例 3設(shè) A 在平面 BCD 內(nèi)的射影是直角三角形BCD 的斜邊 BD 的中ACF E點 O,ACBC1, CD2,求（ 1）AC與平面 BCD所成角的大??；（2）二面角 A BC D 的大小；FD（3）異面直線AB 和 CD所成角的大??；BOEC例 4.在正方體 ABCDA B C D 中, M 為 AA 的中點, 求截面 DMB 與底面 ABCD 所成較小的二面角的大小；選用： 如圖,正方體的棱長為