(新高考)高考數(shù)學一輪復(fù)習考點復(fù)習講義第59講《離散型隨機變量及其分布列》（講）（解析版）

1、第59講 離散型隨機變量及其分布列思維導(dǎo)圖知識梳理1離散型隨機變量的分布列(1)隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量叫做隨機變量所有取值可以一一列出的隨機變量叫做離散型隨機變量(2)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則稱表Xx1x2xixnPp1p2pipn為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，具有如下性質(zhì)：pi0，i1,2，n；p1p2pipn1.離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和2兩點分布如果隨機變量X的分布列為X01P1pp其中0p1，則稱離散型隨機變量X服從兩

2、點分布其中pP(X1)稱為成功概率3超幾何分布一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(MN)件次品從中任取n(nN)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(Xk)eq f(Coal(k,M)Coal(nk,NM),Coal(n,N)(k0,1,2，m)X01mPeq f(Coal(0,M)Coal(n0,NM),Coal(n,N)eq f(Coal(1,M)Coal(n1,NM),Coal(n,N)eq f(Coal(m,M)Coal(nm,NM),Coal(n,N)其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.如果一個隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布題型

3、歸納題型1 離散型隨機變量分布列的性質(zhì)【例1-1】設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為X101Peq f(1,3)23qq2則q的值為()A1B.eq f(3,2)eq f(r(33),6)C.eq f(3,2)eq f(r(33),6) D.eq f(3,2)eq f(r(33),6)【解析】選C由分布列的性質(zhì)知eq blcrc (avs4alco1(23q0，,q20，,f(1,3)23qq21，)解得qeq f(3,2)eq f(r(33),6).【例1-2】已知隨機變量X的分布規(guī)律為P(Xi)eq f(i,2a)(i1,2,3)，則P(X2)_.【解析】由分布列的性質(zhì)知eq f(1,2

4、a)eq f(2,2a)eq f(3,2a)1，a3，P(X2)eq f(2,2a)eq f(1,3).【答案】eq f(1,3)【跟蹤訓(xùn)練1-1】離散型隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(Xn)eq f(a,nn1)(n1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則Peq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)Xf(5,2)的值為_【解析】由eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,12)f(1,23)f(1,34)f(1,45)a1，知eq f(4,5)a1，得aeq f(5,4).故Peq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)Xf(5,2)P(X1)P(X2)eq f(1,2

5、)eq f(5,4)eq f(1,6)eq f(5,4)eq f(5,6).【答案】eq f(5,6)【跟蹤訓(xùn)練1-2】設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m(1)求隨機變量Y2X1的分布列；(2)求隨機變量|X1|的分布列；(3)求隨機變量X2的分布列解：(1)由分布列的性質(zhì)知，020.10.10.3m1，得m0.3.首先列表為X012342X113579從而Y2X1的分布列為Y13579P0.20.10.10.30.3(2)列表為X01234|X1|10123P(0)P(X1)0.1，P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(2)P(X3)0.3，P

6、(3)P(X4)0.3.故|X1|的分布列為0123P0.10.30.30.3(3)首先列表為X01234X2014916從而X2的分布列為014916P0.20.10.10.30.3【名師指導(dǎo)】離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；(2)利用“離散型隨機變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.題型2 超幾何分布【例2-1】某小組共10人，利用假期參加義工活動已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座

7、談會(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列解(1)由已知，有P(A)eq f(Coal(1,3)Coal(1,4)Coal(2,3),Coal(2,10)eq f(1,3).所以事件A發(fā)生的概率為eq f(1,3).(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.P(X0)eq f(Coal(2,3)Coal(2,3)Coal(2,4),Coal(2,10)eq f(4,15)，P(X1)eq f(Coal(1,3)Coal(1,3)Coal(1,3)Coal(1,4),Coal(2,10

8、)eq f(7,15)，P(X2)eq f(Coal(1,3)Coal(1,4),Coal(2,10)eq f(4,15).所以隨機變量X的分布列為X012Peq f(4,15)eq f(7,15)eq f(4,15)【跟蹤訓(xùn)練2-1】某大學生志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列【解】(1)設(shè)“選出的3名同學是來

9、自互不相同的學院”為事件A，則P(A)eq f(Coal(1,3)Coal(2,7)Coal(0,3)Coal(3,7),Coal(3,10)eq f(49,60).所以選出的3名同學是來自互不相同學院的概率為eq f(49,60).(2)隨機變量X的所有可能值為0,1,2,3.P(Xk)eq f(Coal(k,4)Coal(3k,6),Coal(3,10)(k0,1,2,3)所以隨機變量X的分布列是X0123Peq f(1,6)eq f(1,2)eq f(3,10)eq f(1,30)【跟蹤訓(xùn)練2-2】在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的

10、志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列【解】(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，則P(Meq avs4al()eq f(Coal(4,8),Coal(5,10)eq f(5,18).(2)由題意知X可取的值為0,1

11、,2,3,4，則P(X0)eq f(Coal(5,6),Coal(5,10)eq f(1,42)，P(X1)eq f(Coal(4,6)Coal(1,4),Coal(5,10)eq f(5,21)，P(X2)eq f(Coal(3,6)Coal(2,4),Coal(5,10)eq f(10,21)，P(X3)eq f(Coal(2,6)Coal(3,4),Coal(5,10)eq f(5,21)，P(X4)eq f(Coal(1,6)Coal(4,4),Coal(5,10)eq f(1,42).因此X的分布列為X01234Peq f(1,42)eq f(5,21)eq f(10,21)eq f

12、(5,21)eq f(1,42)【名師指導(dǎo)】1隨機變量是否服從超幾何分布的判斷若隨機變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試驗是不放回地抽取n次；(2)隨機變量X表示抽取到的次品件數(shù)(或類似事件)，反之亦然2求超幾何分布的分布列的步驟第一步，驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值；第二步，根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；第三步，用表格的形式列出分布列題型3 求離散型隨機變量的分布列【例3-1】已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束(1)求第一

13、次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列解(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，則P(A)eq f(Aoal(1,2)Aoal(1,3),Aoal(2,5)eq f(3,10).(2)X的可能取值為200,300,400，則P(X200)eq f(Aoal(2,2),Aoal(2,5)eq f(1,10)，P(X300)eq f(Aoal(3,3)Coal(1,2)Coal(1,3)Aoal(2,2),Aoal(3,5)eq f(3,

14、10)，P(X400)1P(X200)P(X300)1eq f(1,10)eq f(3,10)eq f(3,5).故X的分布列為X200300400Peq f(1,10)eq f(3,10)eq f(3,5)【跟蹤訓(xùn)練3-1】有編號為1,2,3，n的n個學生，入座編號為1,2,3，n的n個座位，每個學生規(guī)定坐一個座位，設(shè)學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為X，已知X2時，共有6種坐法(1)求n的值；(2)求隨機變量X的分布列【解】(1)因為當X2時，有Ceq oal(2,n)種坐法，所以Ceq oal(2,n)6，即eq f(nn1,2)6，n2n120，解得n4或n3(舍去)，所以n

15、4.(2)因為學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為X，由題意知X的可能取值是0,2,3,4，所以P(X0)eq f(1,Aoal(4,4)eq f(1,24)，P(X2)eq f(Coal(2,4)1,Aoal(4,4)eq f(6,24)eq f(1,4)，P(X3)eq f(Coal(3,4)2,Aoal(4,4)eq f(8,24)eq f(1,3)，P(X4)eq f(9,Aoal(4,4)eq f(3,8)，所以隨機變量X的分布列為X0234Peq f(1,24)eq f(1,4)eq f(1,3)eq f(3,8)【跟蹤訓(xùn)練3-2】甲、乙兩人為了響應(yīng)政府“節(jié)能減排”的號召，

16、決定各購置一輛純電動汽車經(jīng)了解目前市場上銷售的主流純電動汽車，按行駛里程數(shù)R(單位：公里)可分為三類車型：A：80R150，B：150R250，C：R250.甲從A，B，C三類車型中挑選，乙從B，C兩類車型中挑選，甲、乙二人選擇各類車型的概率如表：車型概率人ABC甲eq f(1,5)pq乙eq f(1,4)eq f(3,4)若甲、乙都選C類車型的概率為eq f(3,10).(1)求p，q的值；(2)求甲、乙選擇不同車型的概率；(3)某市對購買純電動汽車進行補貼，補貼標準如表：車型ABC補貼金額/(萬元/輛)345記甲、乙兩人購車所獲得的財政補貼和為X，求X的分布列解：(1)由題意可知eq blcrc (avs4alco1(f(3,4)qf(3,10)，,pqf(1,5)1，)解得peq f(2,5)，qeq f(2,5).(2)設(shè)“甲、乙選擇不同車型”為事件A，則P(A)eq f(1,5)eq f(2,5)eq f(1,4)eq f(2,5)eq f(3,4)eq f(3,5)，所以甲、乙選擇不同車型的概率是eq f(3,5).(3