理論力學匯總課件

1、理 論 力 學理 論 力 學理論力學第十二章 動量矩定理理論力學第十二章 動量矩定理質點質點系動量定理：動量的改變外力(外力系主矢)質心運動定理：質心的運動外力(外力系主矢)第十二章 動量矩定理動量定理 建立了作用力與動量變化之間的關系，揭示了質點系機械運動規(guī)律的一個側面（平動效應）。 例如，圓輪繞質心轉動時，無論它怎樣轉動，圓輪的動量都是零，動量定理不能說明這種運動規(guī)律。質點動量定理：動量的改變外力(外力系主矢)質心運動定理：質 動量矩定理是建立質點和質點系相對于某固定點(或固定軸)的動量矩的改變與外力對同一固定點(或固定軸)之矩兩者之間的關系。第十二章 動量矩定理動量矩定理: 則是從另一個

2、側面，揭示出質點系相對于某一定點或質心的運動規(guī)律（轉動效應）。 動量矩定理是建立質點和質點系相對于某固定點(或固定軸第十二章 動量矩定理12-1 質點和質點系的動量矩12-2 動量矩定理12-3 剛體繞定軸的轉動微分方程12-4 剛體對軸的轉動慣量12-5 剛體的平面運動微分方程第十二章 動量矩定理12-1 質點和質點系的動量矩【本章重點內容】第十二章 動量矩定理質點和質點系的動量矩計算定軸轉動的轉動慣量計算質點和質點系的動量矩定理動量矩守恒定律剛體繞定軸的轉動微分方程【本章重點內容】第十二章 動量矩定理質點和質點系的動量矩計12-1 質點和質點系的動量矩第十二章 動量矩定理12-1 質點和質

3、點系的動量矩第十二章 動量矩定理一、質點的動量矩對點O的動量矩：質點的動量對固定點O之矩。AB 單位: kgm2/s垂直于矢徑與動量形成的平面；大小:方向:矢量符合右手法則；指向:yxzO12-1 質點和質點系的動量矩一、質點的動量矩對點O的動量矩：質點的動量對固定點O之矩。AyxzOABAB 對z軸的動量矩：質點動量在Oxy平面內的投影對z軸之矩。單位:kgm2/s正負:迎著z軸看，逆時針為 正，順時針為負。代數(shù)量質點對點O的動量矩與對軸z的動量矩之間的關系:12-1 質點和質點系的動量矩（12-2）一、質點的動量矩yxzOABAB 對z軸的動量矩：質點動量在Oxy二、質點系的動量矩對點的動

4、量矩對軸的動量矩1、剛體平移 平移剛體對固定點(或固定軸)的動量矩等于剛體質心的動量對該固定點(或固定軸)的動量矩。12-1 質點和質點系的動量矩（12-3）（12-4）（12-4）剛體平動可將全部質量集中于質心，做為一個質點計算其動量矩。二、質點系的動量矩對點的動量矩對軸的動量矩1、剛體平移 ABz2、剛體繞定軸轉動轉動慣量12-1 質點和質點系的動量矩二、質點系的動量矩（12-6）定軸轉動動量矩ABz2、剛體繞定軸轉動轉動慣量12-1 質點和質點系的動12-2 動量矩定理第十二章 動量矩定理12-2 動量矩定理第十二章 動量矩定理一、質點的動量矩定理設O為定點，質點對定點O 的動量矩為作用

5、力F 對定點O 的矩為zyxO12-2 動量矩定理（12-7）一、質點的動量矩定理設O為定點，質點對定點O 的動量矩為作用質點的動量矩定理： 質點對某定點的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用力對同一點之矩。質點對某定軸的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用力對同一軸之矩12-2 動量矩定理（12-7）（12-8）一、質點的動量矩定理質點的動量矩定理：質點對某定軸的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于二、質點系的動量矩定理= 0由質點的動量矩定理得：作用于第i個質點的力有內力Fii和外力Fie12-2 動量矩定理（12-9）二、質點系的動量矩定理= 0由質點的動量矩定理得：作用于第i內力不改變質點系的動量矩質

6、點系對某定軸的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質點系的外力對同一軸之矩的代數(shù)和。質點系動量矩定理： 質點系對某定點O 的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用于質點系的外力對O點之矩的矢量和。12-2 動量矩定理（12-9）二、質點系的動量矩定理（12-10）內力不改變質點系的動量矩質點系對某定軸的動量矩對時間的導數(shù)，解： 取小車與鼓輪為 研究對象,畫受力圖 運動分析 系統(tǒng)對O軸的動量矩系統(tǒng)外力對O軸的力矩例12-1 高爐運送礦石用的卷揚機。已知鼓輪半徑R,質量m1,輪繞O軸轉動;小車和礦石總質量為m2。作用在鼓輪上的力偶矩為M,鼓輪對轉軸的轉動慣量為J,軌道傾角。不計繩質量和各處摩擦,求小車的加速度

7、a。12-2 動量矩定理解： 取小車與鼓輪為 運動分析 系統(tǒng)對O軸的動量矩系統(tǒng) 由質點系對O軸的動量矩定理得12-2 動量矩定理例12-1 已知輪半徑R,質量m1,輪繞O軸轉動;小車和礦石總質量為m2，鼓輪上的力偶矩為M,鼓輪對轉軸的轉動慣量為J,軌道傾角。不計繩質量和各處摩擦,求小車的加速度a。 由質點系對O軸的動量矩定理得12-2 動量矩定理例12三、動量矩守恒定律質點動量矩守恒定律： 如果作用于質點的力對某定點O之矩恒等于零,則質點對該點的動量矩保持不變。 如果作用于質點的力對某定軸之矩恒等于零，則質點對該軸的動量矩保持不變。12-2 動量矩定理三、動量矩守恒定律質點動量矩守恒定律： 如

8、果作用于質點質點系動量矩守恒定律： 如果作用于質點系的外力對某定點O的主矩恒等于零，則質點系對該點的動量矩保持不變。 如果作用于質點系的外力對某定軸z之矩的代數(shù)和恒等于零，則質點系對該軸的動量矩保持不變。三、動量矩守恒定律12-2 動量矩定理質點系動量矩守恒定律： 如果作用于質點系的外力對某定軸人造衛(wèi)星繞地球運動恒矢量O質點對點O的動量矩的大小不變r 和mv始終在同一平面內， 方向始終不變 人造衛(wèi)星繞地球運動時,離地心近時速度大,離地心遠時速度小。12-2 動量矩定理三、動量矩守恒定律人造衛(wèi)星繞地球運動恒矢量O質點對點O的動量矩的大小不變r 和例12-2 滑輪半徑為R,質量不計,猴子,重物質量

9、均為m,初始靜止。當猴子以速度u相對繩向上爬時，重物如何運動（速度）解： 取系統(tǒng)為研究對象,畫受力圖 運動分析 外力對O軸的力矩 由質點系動量矩守恒定律得設重物速度為v猴子速度O12-2 動量矩定理例12-2 滑輪半徑為R,質量不計,猴子,重物質量均為m,初12-3 剛體繞定軸的轉動微分方程第十二章 動量矩定理12-3 剛體繞定軸的轉動微分方程第十二章 動量矩定理主動力:約束力:剛體對于z軸的轉動慣量為Jz定軸轉動剛體對轉軸的動量矩z由動量矩定理 得12-3 剛體繞定軸的轉動微分方程一、剛體繞定軸轉動的微分方程（12-11）主動力:約束力:剛體對于z軸的轉動慣量為Jz定軸轉動剛體對轉剛體繞定軸

10、的轉動微分方程轉動慣量 剛體轉動時慣性的度量質點的運動微分方程 剛體對定軸的轉動慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體的主動力對該軸之矩的代數(shù)和。12-3 剛體繞定軸的轉動微分方程一、剛體繞定軸轉動的微分方程形式相同剛體繞定軸的轉動微分方程轉動慣量 剛體轉動時慣性的度量質1）作用于剛體的主動力對轉軸的矩使剛體的轉動狀態(tài)發(fā)生變化；2）如果作用于剛體的主動力對轉軸的矩的代數(shù)和等于零，則剛體作勻速轉動； 如果主動力對轉軸的矩的代數(shù)和為恒量，則剛體作勻變速轉動；3）在一定的時間間隔內，當主動力對轉軸的矩相同時，剛體的轉動慣量越大，轉動狀態(tài)變化越??；轉慣量越小，轉動狀態(tài)變化越大。這就是說，剛體轉動慣量的大

11、小表現(xiàn)了剛體轉動狀態(tài)改變的難易程度。轉動慣量是剛體轉動時慣性的度量把剛體的轉動微分方程與質點的運動微分方程加以對照: 可見它們是相似的，因此求解問題的方法也是相似的。12-3 剛體繞定軸的轉動微分方程二、剛體繞定軸轉動的分析1）作用于剛體的主動力對轉軸的矩使剛體的轉動狀態(tài)發(fā)生變化；可例12-3 復擺質量為m ,C為其質心, OC=l , 擺對懸掛點O的轉動慣量為JO,求微小擺動的周期。解： 取復擺為研究對象,畫受力圖 由剛體轉動微分方程得OC小擾動時，通解線性方程標準非線性方程12-3 剛體繞定軸的轉動微分方程例12-3 復擺質量為m ,C為其質心, OC=l , 擺對固有圓頻率：（2時間內擺

12、動次數(shù)）固有頻率：（單位時間內擺動次數(shù)）初相位：由初始條件確定周期：12-3 剛體繞定軸的轉動微分方程例12-3 復擺質量為m ,C為其質心, OC=l , 擺對懸掛點O的轉動慣量為JO,求微小擺動的周期。固有圓頻率：（2時間內擺動次數(shù)）固有頻率：（單位時間內擺動例12-4 飛輪對O軸的轉動慣量為JO,以角速度0繞O軸轉動。制動時,閘塊給輪以正壓力FN 。已知閘塊與輪間滑動摩擦系數(shù)為f ,輪的半徑,忽略軸摩擦。求制動所需的時間。解： 取飛輪為研究對象,畫受力圖 由剛體轉動微分方程得 積分，由題知確定積分上下限O12-3 剛體繞定軸的轉動微分方程例12-4 飛輪對O軸的轉動慣量為JO,以角速度0

13、繞O軸轉解: 分別以軸、（帶輪）為 研究對象,畫受力圖例12-5 圖示傳動軸系,軸,的轉動慣量為J,J,傳動比為i12=R2/R1。軸上作用主動力矩M1,軸上有阻力矩M2。不計摩擦,求軸的角加速度。 運動分析12-3 剛體繞定軸的轉動微分方程解: 分別以軸、（帶輪）為例12-5 圖示傳動軸系,軸 由剛體轉動微分方程得12-3 剛體繞定軸的轉動微分方程例12-5 已知軸,的轉動慣量為J,J,傳動比為i12=R2/R1。軸上主動力矩M1,軸上阻力矩M2。求軸的角加速度。 由剛體轉動微分方程得12-3 剛體繞定軸的轉動微分12-4 剛體對軸的轉動慣量第十二章 動量矩定理12-4 剛體對軸的轉動慣量第

14、十二章 動量矩定理( kgm2 )1、均質細直桿對一端的轉動慣量 剛體對軸的轉動慣量一、簡單勻質幾何形體的轉動慣量dxxlxzO12-4 剛體對軸的轉動慣量（12-12）設桿長為l，單位長度的質量為mi，桿的質量為mz軸的轉動慣量為（12-13）( kgm2 )1、均質細直桿對一端的轉動慣量 剛體對軸的2、均質薄圓環(huán)對中心軸的轉動慣量3、均質圓板對中心軸的轉動慣量RzOmiRzOdriri12-4 剛體對軸的轉動慣量一、簡單勻質幾何形體的轉動慣量（12-14）（12-15）2、均質薄圓環(huán)對中心軸的轉動慣量3、均質圓板對中心軸的轉動慣細直桿:均質圓環(huán):均質圓板:二、回轉半徑（慣性半徑） 12-4

15、 剛體對軸的轉動慣量（12-16）細直桿:均質圓環(huán):均質圓板:二、回轉半徑（慣性半徑） 12zc 軸 過質心且與z 軸平行的軸；d z軸與zc 軸之間的距離。 剛體對任一軸的轉動慣量，等于剛體對過質心、并與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體的質量與兩軸間距離平方的乘積。三、平行軸定理 12-4 剛體對軸的轉動慣量（12-18）zc 軸 過質心且與z 軸平行的軸；d z軸與zc 證明:xzy,yxzOdO, Cmi12-4 剛體對軸的轉動慣量三、平行軸定理 證明:xzy,yxzOdO, Cmi12-4 剛體例12-6 質量為m ,長為l的均質細直桿,已知JzA =ml2/3,求此桿對于垂直于桿軸且

16、過B和質心C的軸的轉動慣量。解：由平行軸定理BAC12-4 剛體對軸的轉動慣量例12-6 質量為m ,長為l的均質細直桿,已知JzA =m解：例12-7 鐘擺由質量為m1的均質細桿和質量為m2的均質圓盤組成,桿長為l ,圓盤直徑為d。求擺對O軸的轉動慣量。OC12-4 剛體對軸的轉動慣量解：例12-7 鐘擺由質量為m1的均質細桿和質量為m2的均質例12-8 質量為m的均質空心圓柱體外徑為R1 , 內徑為R2 ,求對于中心軸z的轉動慣量。解：12-4 剛體對軸的轉動慣量例12-8 質量為m的均質空心圓柱體外徑為R1 , 內徑為R12-5 剛體的平面運動微分方程第十二章 動量矩定理12-5 剛體的

17、平面運動微分方程第十二章 動量矩定理yxzCOyxz 質點系相對于某一點的動量矩，一般是指質點系在絕對運動中對該點的動量矩，即按絕對速度計算的動量矩。12-5 剛體的平面運動微分方程一、質點系相對于質心的動量矩 以質心為基點的平移坐標系中，以相對速度計算對質心的動量矩，和在絕對坐標系中以絕對速度計算對質心的動量矩，其結果相同。（12-21）（12-20）yxzCOyxz 質點系相對于某一點的動量矩，一yxzCOyxz則質點系對O點的動量矩為 12-5 剛體的平面運動微分方程二、質點系對任意點的動量矩 質點mi對任意點O的矢徑絕對速度為（12-22）yxzCOyxz則質點系對O點的動量矩為 12

18、-5 三、質點系相對于質心的動量矩定理yxzCOyxz 質點系相對于質心的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質點系的外力對質心的主矩。12-5 剛體的平面運動微分方程（12-23）三、質點系相對于質心的動量矩定理yxzCOyxz yxCOyx剛體平面運動:隨質心的平動 + 繞質心的轉動:隨基點的平動 + 繞基點的轉動運動學動力學隨質心的平動:繞質心的轉動:質心運動定理相對于質心的動量矩定理剛體相對于質心的動量矩12-5 剛體的平面運動微分方程四、剛體平面運動微分方程（12-23）yxCOyx剛體平面運動:隨質心的平動 + 繞質心的轉動剛體的平面運動微分方程12-5 剛體的平面運動微分方程四、剛體平面運動微分方程（12-25）剛體平面運動微分方程的坐標投影式剛體的平面運動微分方程12-5 剛體的平面運動微分方程四、剛體的平面運動微分方程12-5 剛體的平面運動微分方程四、剛體平面運動微分方程（12-25）剛體