2022高考數(shù)學(xué)（理）一輪通用版講義：10.5直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)

1、PAGE14第五節(jié)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)1了解圓錐曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用2理解數(shù)形結(jié)合的思想突破點(diǎn)一直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系eqavs4al基本知識(shí)判斷直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn)C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線(xiàn)l的方程AByC0A，B不同時(shí)為0代入圓錐曲線(xiàn)C的方程F，y0，消去y也可以消去得到一個(gè)關(guān)于變量或變量y的一元方程即由eqblcrcavs4alco1AByC0，,F，y0消去y，得a2bc01當(dāng)a0時(shí)，設(shè)一元二次方程a2bc0的根的判別式為，則eqblcrcavs4alco10直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C相交；,0直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C相切；,0直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C相離2當(dāng)a0，b0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn)C相交，且只有

2、一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線(xiàn)，則直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行；若C為拋物線(xiàn)，則直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行或重合eqavs4al基本能力一、判斷題對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“”1直線(xiàn)l與橢圓C相切的充要條件是：直線(xiàn)l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)2直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C相切的充要條件是：直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C只有一個(gè)公共點(diǎn)3直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相切的充要條件是：直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C只有一個(gè)公共點(diǎn)答案：123二、填空題1設(shè)拋物線(xiàn)y28的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)l的斜率的取值范圍是_答案：1,12已知斜率為1的直線(xiàn)l過(guò)橢圓eqf2,4y21的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，弦AB的長(zhǎng)為_(kāi)答案：eqf8,53

3、雙曲線(xiàn)eqf2,9eqfy2,161的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F平行于雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)B，則AFB的面積為_(kāi)答案：eqf32,15典例12022河南九校聯(lián)考已知直線(xiàn)yt與圓2y121相切且與拋物線(xiàn)C：24y交于不同的兩點(diǎn)M，N，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是A，30，B，20，C3,0D2,02若過(guò)點(diǎn)0,1作直線(xiàn)，使它與拋物線(xiàn)y24僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線(xiàn)有A1條B2條C3條D4條解析1因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以eqf|t1|,r121，即2t2244t0，于是16216t16t22t16t0，解得t0或t2結(jié)合圖形圖略分析可知，滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)共有3條，分別為直線(xiàn)0，直線(xiàn)y1以

4、及過(guò)點(diǎn)0,1且與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)非直線(xiàn)0故選C答案1A2C方法技巧直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的判定方法1代數(shù)法：即聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程可得到一個(gè)關(guān)于，y的方程組，消去y或得一元方程，此方程根的個(gè)數(shù)即為交點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo)2幾何法：即畫(huà)出直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù)提醒聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程消元后，應(yīng)注意討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的情況針對(duì)訓(xùn)練1若直線(xiàn)mny4和圓O：2y24沒(méi)有交點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)m，n的直線(xiàn)與橢圓eqf2,9eqfy2,41的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A至多一個(gè)B2C1D0解析：選B直線(xiàn)mny4和圓O：2y24沒(méi)有交點(diǎn)，圓心到直線(xiàn)的距離deqf4,rm2n22，m2n24eq

5、fm2,9eqfn2,4eqfm2,9eqf4m2,41eqf5,36m21，點(diǎn)m，n在橢圓eqf2,9eqfy2,41的內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)m，n的直線(xiàn)與橢圓eqf2,9eqfy2,41的交點(diǎn)有2個(gè)2雙曲線(xiàn)C：eqf2,a2eqfy2,b21a0，b0的右焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l過(guò)焦點(diǎn)F，且斜率為，則直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的左、右兩支都相交的充要條件是Aeqfb,aBeqfb,aCeqfb,a或eqfb,aDeqfb,aeqfb,a解析：選D由雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的幾何意義知eqfb,aeqfb,a突破點(diǎn)二圓錐曲線(xiàn)中弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問(wèn)題eqavs4al基本知識(shí)圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)公式設(shè)斜率為0的直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，A

6、1，y1，B2，y2，則|AB|eqr12|12|eqr12eqr122412eqr1f1,2|y1y2|eqr1f1,2eqry1y224y1y2eqavs4al基本能力一、判斷題對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“”1如果直線(xiàn)tya與圓錐曲線(xiàn)相交于A1，y1，B2，y2兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|eqr1t2|y1y2|2過(guò)拋物線(xiàn)y22，由1知F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為1,0，1,0，所以以線(xiàn)段F1F2為直徑的圓為2y21，由題意知圓心0,0到直線(xiàn)l的距離deqf|m|,r21，得|m|eqr2|AB|2eqr1d22eqr1fm2,2eqr2eqr2m2，聯(lián)立得eqblcrcavs4alco1f2,4fy2,31，

7、,ym，消去y，得728m4m2120，由題意得8m2474m21233648m2487m20，解得m27，設(shè)C1，y1，D2，y2，則12eqf8m,7，12eqf4m212,7，|CD|eqr2|12|eqr2eqrblcrcavs4alco1f8m,724f4m212,7eqr2eqrf33648m2,49eqf4r6,7eqr7m2eqf8r3,7|AB|eqf8r3,7eqr2eqr2m2，解得meqfr3,3即存在符合條件的直線(xiàn)l，其方程為yeqfr3,3方法技巧求解弦長(zhǎng)的4種方法1當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解2聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程，解方程組求出兩個(gè)交點(diǎn)

8、坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)間的距離公式求解3聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程，消元得到關(guān)于或y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到122或y1y22，代入兩點(diǎn)間的距離公式4當(dāng)弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng)提醒利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)要注意斜率不存在的情形，若不存在，可直接求交點(diǎn)坐標(biāo)再求弦長(zhǎng)涉及焦點(diǎn)弦長(zhǎng)時(shí)要注意圓錐曲線(xiàn)定義的應(yīng)用考法二中點(diǎn)弦問(wèn)題考向一由中點(diǎn)弦確定直線(xiàn)方程例2在橢圓eqf2,16eqfy2,91中，以點(diǎn)M1,2為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)方程為_(kāi)解析設(shè)弦的兩端點(diǎn)為A1，y1，B2，y2，代入橢圓方程得eqblcrcavs4alco1foal2,1,16fyoal2,1,91，,foal2,2,16fyoal2,

9、2,91，兩式相減得eqf1212,16eqfy1y2y1y2,90，所以eqf1212,16eqfy1y2y1y2,9，即eqf912,16y1y2eqfy1y2,12，因?yàn)?22，y1y24，所以eqfy1y2,12eqf9,32，故該直線(xiàn)方程為y2eqf9,321，即932y730答案932y730考向二由中點(diǎn)弦確定曲線(xiàn)方程例3過(guò)點(diǎn)M2，2對(duì)稱(chēng)，且MN的中點(diǎn)在拋物線(xiàn)y218上，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)解析設(shè)M1，y1，N2，y2，MN的中點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，MN1，y030又y00m，,4，f3m,4，代入拋物線(xiàn)方程，得eqf9,16m218eqblcrcavs4alco1fm,4，解得m0或8，經(jīng)檢驗(yàn)都符

10、合題意答案0或8方法技巧處理中點(diǎn)弦問(wèn)題常用的2種方法1點(diǎn)差法設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐曲線(xiàn)方程，并將兩式相減，式中含有12，y1y2，eqfy1y2,12三個(gè)未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線(xiàn)的斜率，借用中點(diǎn)公式即可求得斜率2根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解提醒中點(diǎn)弦問(wèn)題常用的兩種求解方法各有弊端：根與系數(shù)的關(guān)系在解題過(guò)程中易產(chǎn)生漏解，需關(guān)注直線(xiàn)的斜率問(wèn)題；點(diǎn)差法在確定范圍方面略顯不足eqavs4al集訓(xùn)沖關(guān)avs4al考法二考向一已知對(duì)稱(chēng)，則m的值為_(kāi)解析：設(shè)A1，y1，B2，y2,聯(lián)立eqblcrcavs4alco124y，,2y

11、20消去y，得2240則122，eqf12,21y1y2eqf1,21223，eqfy1y2,2eqf3,2A，B關(guān)于直線(xiàn)y2m對(duì)稱(chēng)，AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)y2m上，即eqf3,221m，解得meqf7,2答案：eqf7,2avs4al考法一經(jīng)過(guò)橢圓M：eqf2,a2eqfy2,b21ab0的右焦點(diǎn)的直線(xiàn)yeqr30交橢圓M于A，B兩點(diǎn)，由eqblcrcavs4alco1f2,6fy2,31，,ym，得3y22mym260，則y1y2eqf2m,3，y1y2eqfm26,3由弦長(zhǎng)公式得|CD|eqr2eqry1y224y1y2eqr2eqfr728m2,34所以S四邊形ACBDeqf1,2|AB|C

12、D|eqf8r6,3當(dāng)且僅當(dāng)m0時(shí)取最大值故四邊形ACBD的面積的最大值為eqf8r6,3課時(shí)跟蹤檢測(cè)1過(guò)拋物線(xiàn)y22的焦點(diǎn)作一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2，則這樣的直線(xiàn)A有且只有一條B有且只有兩條C有且只有三條D有且只有四條解析：選B設(shè)該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為F，AA，yA，BB，yB，則|AB|AF|FB|Aeqf與圓2y21相切，且與雙曲線(xiàn)左、右兩支的交點(diǎn)分別為|,r121，m212，由eqblcrcavs4alco1ym，,2y21得1222mm210，eqblcrcavs4alco1120，,4m22412m214m21280，,12f1m2,210，21，11，由于1

13、2eqf2m,12，21eqr122412eqf2r2,|12|eqf2r2,12，021，當(dāng)20時(shí)，21取最小值2eqr2故選A112022安慶模擬設(shè)拋物線(xiàn)24y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線(xiàn)上，且滿(mǎn)足eqoAF,suy1，則直線(xiàn)y1，,f2,2y21m22y22my10y1y2eqf2m,m22，y1y2eqf1,m22|MN|eqr1m2|y1y2|2eqr2eqfm21,m22eqblcrcavs4alco1my，,f2,2y21m22y220y3y40，y3y4eqf2,m22|2|y3y4|2eqr2eqrfm21,m22故eqf|到焦點(diǎn)的距離為41求拋物線(xiàn)E的方程；2過(guò)F作直線(xiàn)l，

14、交拋物線(xiàn)E于A，B兩點(diǎn)，若直線(xiàn)AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，求直線(xiàn)l的方程解：1拋物線(xiàn)E：y22y1，由eqblcrcavs4alco1y24，,my1消去，得y24my40設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1，y1，B2，y2，線(xiàn)段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，eqfy1y2,2eqf4m,21，解得meqf1,2，直線(xiàn)l的方程為eqf1,2y1，即2y20162022佛山模擬已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)y2，A1，y1，B2，y2，聯(lián)立得方程組eqblcrcavs4alco1my2，,y24，消去得y24my80，y1y28，故12eqfyoal2,1,4eqfyoal2,2,44，D在以AB為直徑的圓上，且在直線(xiàn)OB上，eq

15、oAD,su，與軸交于點(diǎn)H，若eqoF1B,suO|MA|，求直線(xiàn)l的方程解：1因?yàn)闄E圓C的離心率為eqf1,2，所以eqfc,aeqf1,2，即a2c又a2b2c2，所以b23c2，即b2eqf3,4a2，所以橢圓C的方程為eqfy2,a2eqf2,f3,4a21把點(diǎn)eqblcrcavs4alco11，f2r6,3代入橢圓C的方程中，解得a24所以橢圓C的方程為eqfy2,4eqf2,312由1知，A0,2，設(shè)直線(xiàn)l的斜率為0，則直線(xiàn)l的方程為y2，由eqblcrcavs4alco1y2，,f2,3fy2,41，得3242120設(shè)BB，yB，得Beqf12,324，所以yBeqf628,324，所以Beqblcrcavs4alco1f12,324，f628,324設(shè)MM，yM，因?yàn)閨MO|MA|，所以點(diǎn)M在線(xiàn)段OA的垂直平分線(xiàn)上，所以yM1，因?yàn)閥MM2，所以Meqf1,，即Meqblcrcavs4alco1f1,，1設(shè)HH,0，又直線(xiàn)HM垂直于