MRAF-C10 抽樣估計(jì)與樣本量確定

1、第10章 抽樣估計(jì)與樣本量確定 1七、抽樣樣誤差調(diào)查結(jié)果果的準(zhǔn)確確性無疑疑是調(diào)查查組織者者十分重重視的問問題。其其準(zhǔn)確性性通常用用抽樣誤誤差的高高低來反反映，在抽樣方方式和總總體既定定的前提提下，抽抽樣誤差差的大小小主要取取決于抽抽樣數(shù)目目的多少少。對(duì)抽樣誤誤差的控控制主要要是通過過控制抽抽樣數(shù)目目來實(shí)現(xiàn)現(xiàn)的。因因此，抽樣誤差差與抽樣樣數(shù)目的確定，是隨機(jī)機(jī)抽樣市市場(chǎng)調(diào)查查中兩個(gè)個(gè)重要的的問題。2（一）抽抽樣誤差差的估算算方法1.抽樣樣誤差大大小的影影響因素素（1）總總體各單單位之間間的差異異程度?？傮w變變量存在在變異是是客觀的的，差異異程度愈愈大，其其分布就就愈分散散，抽樣樣誤差就就愈大；反之

2、，愈小。這種差差異程度度，在統(tǒng)統(tǒng)計(jì)上叫叫做標(biāo)志志變異度度，通常常用方差差或標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差來表表示。（2）樣樣本數(shù)目目，即樣樣本容量量有多少少。當(dāng)樣本容容量達(dá)到到與總體體容量一一樣時(shí)，抽樣調(diào)調(diào)查就變變成全面面市場(chǎng)調(diào)調(diào)查了，抽樣誤誤差隨即即消失。（3）抽抽樣方式式。一般地說說，等距距隨機(jī)抽抽樣和分分層隨機(jī)機(jī)抽樣的的抽樣誤誤差要小小于簡單單隨機(jī)抽抽樣和分分群隨機(jī)機(jī)抽樣的的誤差。不重復(fù)復(fù)抽樣的的誤差要要小于重重復(fù)抽樣樣的誤差差。因此此，要根根據(jù)不同同的抽樣樣方式分分別估算算抽樣誤誤差。3456樣本量的的確定（二）必必要抽樣樣數(shù)目的的確定抽樣數(shù)目目過多，使得抽抽樣調(diào)查查所需成成本費(fèi)用用提高，從而帶帶來不經(jīng)經(jīng)濟(jì)

3、；抽抽樣數(shù)目目過少，又會(huì)使使調(diào)查結(jié)結(jié)果存在在較大誤誤差，達(dá)達(dá)不到要要求的精精度。所謂必要抽樣樣數(shù)目，就是在在事先給給定的抽抽樣誤差差范圍內(nèi)內(nèi)所確定定的、能能夠達(dá)到到對(duì)調(diào)查查結(jié)果精精確度要要求的樣樣本單位位數(shù)。7樣本量的的確定1.影響響合理的的必要抽抽樣數(shù)目目的因素素（1）總總體各單單位之間間的標(biāo)志志差異程程度?？傮w單位位之間的的差異越越小，一一定數(shù)目目的總體體單位對(duì)對(duì)總體的的代表性性就越高高。當(dāng)總總體單位位的標(biāo)志志值都相相等時(shí)，一個(gè)總總體單位位的標(biāo)志志值就足足以代表表總體的的平均水水平。（2）允允許誤差差的大小小。一般來說說，調(diào)查查的準(zhǔn)確確度要求求高、調(diào)調(diào)查力強(qiáng)強(qiáng)、調(diào)查查經(jīng)費(fèi)充充足，允允許誤差

4、差就可以以定得小小一些。（3）不不同的抽抽樣方式式和方法法。一般情況況下，簡簡單隨機(jī)機(jī)抽樣和和分群隨隨機(jī)抽樣樣比等距距隨機(jī)抽抽樣和分分層隨機(jī)機(jī)抽樣所所需的樣樣本單位位數(shù)要多多，重復(fù)復(fù)抽樣比比不重復(fù)復(fù)抽樣的的樣本單單位數(shù)要要多。89101112131415總體參數(shù)數(shù)的點(diǎn)估估計(jì)點(diǎn)估計(jì)就就是用樣樣本的估估計(jì)量直直接作為為總體參參數(shù)的估估計(jì)值。例如，用樣本本均值直直接作為為總體均均值的估估計(jì)，或或者用兩兩個(gè)樣本本均值之之差直接接作為總總體均值值之差的的估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)是是容易做做到的，但是，點(diǎn)估計(jì)計(jì)沒有給給出估計(jì)計(jì)值接近近總體參參數(shù)程度度的信息息。當(dāng)樣本均均值與總總體均值值不完全全相同時(shí)時(shí)，樣本本均值與與

5、實(shí)際總總體均值值就存在在著差距距，形成成抽樣誤誤差。16總體參數(shù)數(shù)的區(qū)間間估計(jì)區(qū)間估計(jì)計(jì)：在點(diǎn)點(diǎn)估計(jì)的的基礎(chǔ)上上，對(duì)總總體參數(shù)數(shù)的區(qū)間間或范圍圍進(jìn)行估估計(jì)。區(qū)間估計(jì)計(jì)不僅要要說明區(qū)區(qū)間大小小，還要要說明點(diǎn)點(diǎn)估計(jì)值值在區(qū)間間內(nèi)的概概率，即即置信度度。置信信度是一一個(gè)百分分比，用用來說明明結(jié)果正正確的長長期概率率。被估估計(jì)的區(qū)區(qū)間則被被稱為置置信區(qū)間間。根據(jù)樣本本統(tǒng)計(jì)量量的抽樣樣分布理理論，總總體參數(shù)數(shù)的區(qū)間間范圍是是在一定定的概率率度下，由樣本本統(tǒng)計(jì)量量加減抽抽樣誤差差而得到到。17訓(xùn)練題（P237238）4.假設(shè)設(shè)某快餐餐館想要要為一個(gè)個(gè)新的菜菜單項(xiàng)目目估計(jì)平平均銷售售量，這這個(gè)餐館館觀察了了

6、一個(gè)類類似地點(diǎn)點(diǎn)的銷量量，連續(xù)續(xù)觀測(cè)到到如下結(jié)結(jié)果：樣樣本容量量為25，樣本本標(biāo)準(zhǔn)差差為100，每每日平均均銷售量量為500。試試估計(jì)這這個(gè)餐館館啟用新新菜單后后每天在在95%的時(shí)間間內(nèi)銷售售量的范范圍。18訓(xùn)練題5.一家家電器連連鎖商店店正在進(jìn)進(jìn)行空調(diào)調(diào)的季節(jié)節(jié)性降價(jià)價(jià)促銷。被抽取取的10個(gè)樣本本商店銷銷售出的的空調(diào)數(shù)數(shù)量如下下（單位位：臺(tái)）：82，113，2，41，71，83，99，52，84，30。那么么，根據(jù)據(jù)這些數(shù)數(shù)據(jù)能否否說明這這次促銷銷期間每每家商店店平均銷銷售空調(diào)調(diào)數(shù)量多多于50臺(tái)（95%）？19訓(xùn)練題6.假設(shè)設(shè)你正計(jì)計(jì)劃對(duì)某某市養(yǎng)狗狗的家庭庭進(jìn)行抽抽樣，以以確定他他們每月月購

7、買的的狗食的的平均數(shù)數(shù)量。已已經(jīng)制定定了下面面的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)：95%的置置信度，小于5個(gè)單位位的誤差差。以前前的調(diào)研研說明了了標(biāo)準(zhǔn)差差應(yīng)該是是6個(gè)單單位。那那么，該該項(xiàng)調(diào)查查需要多多大的樣樣本容量量？20訓(xùn)練題7.在一一項(xiàng)涉及及400人的調(diào)調(diào)查中，60%的人都都對(duì)一個(gè)個(gè)問題持持積極態(tài)態(tài)度。試試在95%的置置信度下下確定比比例的區(qū)區(qū)間估計(jì)計(jì)。8.在一一個(gè)全國國性的調(diào)調(diào)查中，調(diào)研人人員期望望總體中中有30%的人人將會(huì)同同意某個(gè)個(gè)態(tài)度陳陳述，要要求誤差差小于2個(gè)百分分點(diǎn)，并并且具有有95%的把握握性，那那么，需需要多大大的樣本本容量？假設(shè)調(diào)調(diào)查總體體為12000人，事事先預(yù)計(jì)計(jì)調(diào)查的的回答率率約為55%，

8、那么，樣本容容量又應(yīng)應(yīng)該為多多少？2122開篇案例例“百腦匯匯”調(diào)研研中的樣樣本計(jì)劃劃問題“百腦匯匯”在中中國華北北幾個(gè)省省市經(jīng)營營連鎖電電腦超市市，它希希望獲得得更多關(guān)關(guān)于其現(xiàn)現(xiàn)有客戶戶特點(diǎn)方方面的信信息。接接受調(diào)研研委托的的李文博博士指派派班上的的王洪同同學(xué)為樣樣本計(jì)劃劃小組的的負(fù)責(zé)人人。通過與“百腦匯匯”的市市場(chǎng)部經(jīng)經(jīng)理喬蘭蘭的初次次會(huì)談，王洪了了解到調(diào)調(diào)研的一一個(gè)主要要目的是是分別按按人口和和心理因因素來估估計(jì)“百百腦匯”的客戶戶構(gòu)成和和比例。此外，確認(rèn)總總體估計(jì)計(jì)值不超超過實(shí)際際值的50，可可靠度為為95。為了達(dá)到到這些要要求，王王洪和他他的小組組正努力力尋找計(jì)計(jì)算所需需樣本容容量的

9、方方法。23101引引言估計(jì)就是是根據(jù)從從樣本中中收集的的信息對(duì)對(duì)總體未未知量進(jìn)進(jìn)行推斷斷的過程程。抽樣估計(jì)計(jì)涉及的的重要問問題：一個(gè)樣本本單元的的設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)數(shù)問題。抽樣估計(jì)計(jì)，包括總體體總量、均值和和比例以以及抽樣樣誤差的的估計(jì)。樣本量的的確定構(gòu)成抽樣樣設(shè)計(jì)程程序的重重要步驟驟和內(nèi)容容。同時(shí)時(shí)，樣本本量的確確定與樣樣本估計(jì)計(jì)值的精精度密不不可分。24102 加權(quán)權(quán)及權(quán)數(shù)數(shù)調(diào)整設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)數(shù)設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)數(shù)是指每每個(gè)樣本本單元所所代表的的調(diào)查總總體的單單元數(shù)，它是由由抽樣設(shè)設(shè)計(jì)所決決定的，通常以以wd表示。確確定設(shè)計(jì)計(jì)權(quán)數(shù)是是估計(jì)的的第一步步。加權(quán)估計(jì)計(jì)設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)數(shù)其實(shí)就就是樣本本單元的的入樣概概率的倒倒數(shù)

10、。假假如入樣樣概率是是1/10，那那么每個(gè)個(gè)入選樣樣本代表表總體中中的10個(gè)單元元，此時(shí)時(shí)設(shè)計(jì)權(quán)權(quán)數(shù)即為為10。不同樣本本單元的的設(shè)計(jì)權(quán)權(quán)數(shù)可能能不同，這取決決于抽樣樣設(shè)計(jì)。因此，加權(quán)估估計(jì)應(yīng)區(qū)區(qū)分等概概率抽樣樣的加權(quán)權(quán)和不等等概率抽抽樣的加加權(quán)。25等概率抽抽樣的加加權(quán)當(dāng)每個(gè)單單元都有有相同的的入樣概概率時(shí)，所有樣樣本單元元的設(shè)計(jì)計(jì)權(quán)數(shù)都都相同，這種抽抽樣就是是自加權(quán)設(shè)設(shè)計(jì)。SRS抽抽樣和SYS抽抽樣都屬屬于自加加權(quán)設(shè)計(jì)計(jì)，比例例分層抽抽樣也是是自加權(quán)權(quán)設(shè)計(jì)。另外，PPS等也可可以設(shè)計(jì)計(jì)為一個(gè)個(gè)自加權(quán)權(quán)抽樣。對(duì)于自加加權(quán)抽樣樣設(shè)計(jì)，如果無無需對(duì)權(quán)權(quán)數(shù)調(diào)整整，則在在計(jì)算比比例、均均值等估估計(jì)量

11、時(shí)時(shí)可將其其忽略，對(duì)總值值估計(jì)也也僅需將將樣本總總值乘上上某個(gè)倍倍數(shù)。(例P215)26不等概率率抽樣的的加權(quán)自加權(quán)設(shè)設(shè)計(jì)并不不總是可可行的。如，在在使用分分層抽樣樣進(jìn)行一一個(gè)全國國調(diào)查時(shí)時(shí)，可能能需要采采用紐曼曼分層。當(dāng)所采用用的抽樣樣設(shè)計(jì)不不是等概概率時(shí)，正確地地使用設(shè)設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)數(shù)就顯得得尤為重重要。例102有關(guān)各層層總體數(shù)數(shù)和樣本本數(shù)資料料見表10-1。對(duì)于這這項(xiàng)調(diào)查查，被調(diào)調(diào)查者的的設(shè)計(jì)權(quán)權(quán)數(shù)是多多少呢？收入層次各層單位數(shù)樣本數(shù)量設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)高收入層200033.3wd,1N1/n1=2000/33.3=60.1 中收入層12000133.3wd,2N2/n2=12000/133.3=90.

12、0 低收入層600033.3wd,3N3/n3=6000/33.3=180.2 27設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)數(shù)的調(diào)整整上述等概概率抽樣樣的加權(quán)權(quán)和不等等概率抽抽樣的加加權(quán)都是是加權(quán)的的基本形形式。權(quán)數(shù)估計(jì)計(jì)常會(huì)遇遇到更真真實(shí)和復(fù)復(fù)雜的情情況：考慮無回回答的情情況，然然后對(duì)權(quán)權(quán)數(shù)做出出調(diào)整；考慮來自自其他渠渠道的、更具權(quán)權(quán)威性的的某些輔輔助信息息，將它它們合并并到權(quán)數(shù)數(shù)中。28對(duì)無回答答的權(quán)數(shù)數(shù)調(diào)整單元無回回答是指一個(gè)個(gè)樣本單單元幾乎乎所有的的數(shù)據(jù)都都缺失。簡單的的處理辦辦法是忽忽略它。然而，如果發(fā)發(fā)現(xiàn)忽略略單元無無回答是是不適當(dāng)當(dāng)?shù)模瑒t則應(yīng)該對(duì)對(duì)權(quán)數(shù)進(jìn)進(jìn)行調(diào)整整。即，設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)數(shù)無回答調(diào)調(diào)整因子子=無回答的的調(diào)

13、整權(quán)權(quán)數(shù)無回答調(diào)調(diào)整因子子是原樣本本單元的的權(quán)數(shù)和和與給出出回答的的單元的的權(quán)數(shù)和和的比值值。對(duì)于于自加權(quán)權(quán)設(shè)計(jì)，該比值值可用原原樣本的的單元數(shù)數(shù)與給出出回答的的單元數(shù)數(shù)的比值值來表示示。無回答權(quán)權(quán)數(shù)調(diào)整整應(yīng)區(qū)分分兩種不不同情況況：等概率抽抽樣不等概率率抽樣29對(duì)無回答答的權(quán)數(shù)數(shù)調(diào)整(SRS)例103從一個(gè)N=100人的總體體中抽取取一個(gè)n25人的簡單單隨機(jī)樣樣本。記記回答單單元的數(shù)數(shù)量為nr，結(jié)果顯顯示只有有20個(gè)人提供供了所需需的信息息。那么么，此時(shí)時(shí)無回答答的調(diào)整整權(quán)數(shù)是是多少？步驟1：計(jì)算設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)。 入樣概率p為：P=n/N=25/100=1/4 故，每個(gè)樣本單元的設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)為4。步驟2

14、：計(jì)算無回答調(diào)整因子。 由于在n25人中只有nr=20人提供了所需的信息，最終樣本量應(yīng)為20。假定回答單元不僅能代表回答單元且能代表無回答單元，計(jì)算無回答調(diào)整因子為： n / nr = 25/20 = 1.25步驟3：計(jì)算無回答的調(diào)整權(quán)數(shù)。 無回答的調(diào)整權(quán)數(shù)wnr等于設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)與無回答調(diào)整因子的乘積： 30對(duì)無回答答的權(quán)數(shù)數(shù)調(diào)整(STR)例104對(duì)于一項(xiàng)項(xiàng)公共交交通系統(tǒng)統(tǒng)調(diào)查，總體由由1100人組成，并按城城鄉(xiāng)分為為兩個(gè)層層。分層層及樣本本數(shù)據(jù)如如表10-2所示。那那么，回回答者的的權(quán)數(shù)是是多少？表10-2公交系統(tǒng)統(tǒng)調(diào)查的的分層數(shù)數(shù)據(jù)層總體大小樣本量回答者數(shù)量城市N11000n1200nr,11

15、50農(nóng)村N2100n250nr,240步驟1：各層的設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)為： 城市層 wd,1N1/n1=5 農(nóng)村層 wd,2N2/n2=2步驟2：調(diào)整以彌補(bǔ)無回答。各層的無回答調(diào)整因子計(jì)算如下： 城市層：n1 / nr,1=200/150=1.33 農(nóng)村層：n2 / nr,2=50/40=1.25步驟3：無回答的調(diào)整權(quán)數(shù)等于設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)與無回答調(diào)整因子的乘積： 城市層： 農(nóng)村層： 31使用輔助助信息調(diào)調(diào)整權(quán)數(shù)數(shù)為什么要要使用輔輔助信息息來調(diào)整整權(quán)數(shù)呢呢？首先，使使調(diào)查的的估計(jì)值值與已知知總體總總值相匹匹配。例例如，使使用最新新的人口口普查數(shù)數(shù)據(jù)來調(diào)調(diào)整估計(jì)計(jì)值，以以確保這這些估計(jì)計(jì)值(如如年齡、性別分分布等

16、)的一致致性。二是為了了提高估估計(jì)值的的精度。將輔助助信息與與抽樣設(shè)設(shè)計(jì)相結(jié)結(jié)合，將將有助于于提高估估計(jì)的精精度。要想在調(diào)調(diào)查設(shè)計(jì)計(jì)階段使使用輔助助信息，抽樣框框中的所所有單元元都必須須具備這這個(gè)輔助助信息。否則，就只能能在數(shù)據(jù)據(jù)收集上上來后，在估計(jì)計(jì)階段利利用輔助助信息提提高估計(jì)計(jì)值的精精度。32使用輔助助信息調(diào)調(diào)整權(quán)數(shù)數(shù)例105為得到某某公司職職員是否否有吸煙煙習(xí)慣的的信息，進(jìn)行了了一項(xiàng)調(diào)調(diào)查。從從N=780人的名錄錄中抽出出了一個(gè)個(gè)n=100人的簡單單隨機(jī)樣樣本。在收集有有關(guān)吸煙煙習(xí)慣信信息時(shí)，收集了了每個(gè)回回答者的的年齡和和性別情情況，且且100人都做出出了回答答，由此此得到樣樣本數(shù)據(jù)

17、據(jù)的分布布如表10-3所示：事后分層估計(jì)值 男性 女性 總計(jì) 吸煙人數(shù) 164 47 211 總?cè)藬?shù) 360 420 780 吸煙者比例 0.455 0.111 0.271回答者數(shù)量男性女性總計(jì)吸煙人數(shù)25530總?cè)藬?shù)5545100 (nr)調(diào)查的估計(jì)值男性女性總計(jì)吸煙人數(shù)19539234總?cè)藬?shù)429351780吸煙者的比例0.4550.1110.30表10-5利利用輔助助信息對(duì)對(duì)抽樣調(diào)調(diào)查估計(jì)計(jì)值的調(diào)調(diào)整表10-3某某公司吸吸煙習(xí)慣慣抽樣調(diào)調(diào)查數(shù)據(jù)據(jù)表10-4根根據(jù)某公公司吸煙煙習(xí)慣抽抽樣計(jì)算算的估計(jì)計(jì)值33103 抽樣樣分布與與抽樣誤誤差抽樣調(diào)查查的目的的是要對(duì)對(duì)總體做做出推斷斷。了解統(tǒng)計(jì)

18、計(jì)推斷的的理論基基礎(chǔ)，首首先注意意區(qū)分三三種不同同性質(zhì)的的分布：總體分布布樣本分布布抽樣分布布同時(shí)，特特別注意意總體分分布與抽抽樣分布布的關(guān)系系。34三種不同同性質(zhì)的的分布總體分布布：總體各各單位的的觀察值值所形成成的頻數(shù)數(shù)分布，總體分分布通常常是未知知的。樣本分布布：一個(gè)樣樣本中各各個(gè)觀察察值所形形成的頻頻數(shù)分布布就叫做做。當(dāng)樣樣本容量量n逐漸增大大時(shí)，樣樣本分布布逐漸接接近總體體的分布布。抽樣分布布：樣本統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量的的抽樣分分布，是是指在重重復(fù)選取取容量為為n的樣本時(shí)時(shí)，由該該統(tǒng)計(jì)量量的所有有可能取取值形成成的相對(duì)對(duì)頻數(shù)分分布。抽抽樣分布布是一種種理論分分布。抽樣分布布提供了了樣本統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量長

19、長遠(yuǎn)而穩(wěn)穩(wěn)定的信信息，是是進(jìn)行推推斷的理理論基礎(chǔ)礎(chǔ)。分布類型均值比例標(biāo)準(zhǔn)差總體分布樣本分布抽樣分布 X P S表10-6各種分布布的均值值、比例例和標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差的符符號(hào)表示示35樣本均值值的抽樣樣分布樣本均值值的抽樣樣分布，是指在在重復(fù)選選取容量量為n的樣本時(shí)時(shí)，由樣樣本均值值的所有有可能取取值形成成的相對(duì)對(duì)頻數(shù)分分布。例106設(shè)一個(gè)總總體，含含有4個(gè)元素，即總體體單位數(shù)數(shù)N=4。4個(gè)個(gè)體分分別為x1=1,x2=2,x3=3,x4=4。則總體體分布如如圖10-1?，F(xiàn)在從總總體中有有放回地地抽取n2的簡單隨隨機(jī)樣本本，則樣樣本均值值的抽樣樣分布如如圖10-2。36均值抽樣樣分布的的規(guī)律比較樣本均值的

20、分布與總體分布，得出如下結(jié)論：(1)樣本均值的數(shù)學(xué)期望 等于總體均值，即E( )=。(2)在重復(fù)抽樣條件下，樣本均值的方差等于總體方差的1/n，或者說，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤 。(3)如果總體服從正態(tài)分布，即xN(,2)，那么樣本均值也服從正態(tài)分布，即 N(,2/n)。(4)如果總體不服從正態(tài)分布，那么當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，樣本均值 也服從正態(tài)分布。中心極限定理，概括為：設(shè)從均值為、方差為 2的一個(gè)任意總體中隨機(jī)抽取容量為n的樣本，當(dāng)n足夠大(n 30)時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為、方差為2/n的正態(tài)分布。 37樣本比例例的抽樣樣分布樣本比例例的抽樣樣分布，是在重重復(fù)抽取取容量為為n的樣樣本時(shí)，

21、由樣本本比例的的所有可可能取值值形成的的相對(duì)頻頻數(shù)分布布。比較樣本本比例的的分布與與總體分分布，得得出如下下結(jié)論：當(dāng)樣本容容量足夠夠大時(shí)，樣本比比例的抽抽樣分布布近似地地服從正正態(tài)分布布，樣本本比例的的數(shù)學(xué)期期望等于于總體比比例，即即E(p)=；在重復(fù)復(fù)抽樣條條件下，樣本比比例的方方差為總總體方差差的1/n，即即樣本比例例的中心心極限定定理設(shè)從比例例為、方差為為2的一個(gè)任任意總體體中隨機(jī)機(jī)抽取容容量為n的樣本，當(dāng)n足夠大(n30)時(shí)時(shí)，樣本本比例的的抽樣分分布近似似服從比比例為、方差為為(1-)/n的正態(tài)分分布。樣本比例的方差：樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤： 38正態(tài)分布布及標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)值Z正態(tài)分布布有以下下幾

22、個(gè)重重要特征征：正態(tài)曲線線呈鐘形形，曲線線下的面面積等于于1，表表明它包包括了所所有的調(diào)調(diào)查結(jié)果果。在正態(tài)曲曲線下任任意兩個(gè)個(gè)變量值值之間的的面積，等于在在這一范范圍內(nèi)隨隨機(jī)抽取取一個(gè)觀觀察對(duì)象象的概率率。例如如，任意意抽取一一個(gè)樣本本單元，IQ分分?jǐn)?shù)落在在55-145之間的的概率是是99.72%，即圖圖10-3中正正態(tài)曲線線下55-145之間間的面積積。所有的正正態(tài)分布布在平均均數(shù)1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差之間間的面積積相同，都占曲曲線下方方面積的的6826。這是是正態(tài)分分布的比比例性，為統(tǒng)計(jì)計(jì)推斷提提供了基基礎(chǔ)。一個(gè)正態(tài)態(tài)分布的的特殊性性由其平平均數(shù)和和標(biāo)準(zhǔn)差差決定。39標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布是是

23、一種平平均值等等于0、標(biāo)準(zhǔn)差差等于1的正態(tài)態(tài)分布(如圖10-4)。研究者可可以將任任何正態(tài)態(tài)變量X轉(zhuǎn)換為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)變量值值(標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)值)Z。計(jì)算方方法就是是，用將將要進(jìn)行行轉(zhuǎn)換的的值中減減去均值值，然后后再除以以標(biāo)準(zhǔn)差差。即求出標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)值Z之后，就就可以查查閱正態(tài)態(tài)分布表表(附錄錄B-2)，得得到Z值值的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正態(tài)分分布曲線線下的面面積(概概率)。 式中，x 變量值； 平均數(shù)的假設(shè)或預(yù)期值； 變量的標(biāo)準(zhǔn)差。40104參參數(shù)估計(jì)計(jì)參數(shù)估計(jì)計(jì)就是根根據(jù)從樣樣本中收收集的信信息對(duì)總總體參數(shù)數(shù)進(jìn)行推推斷的過過程。樣本估計(jì)計(jì)量(如樣本本均值、比例等等)都是是隨機(jī)變變量，在在具有特特定概率率(抽樣樣)分布布

24、的樣本本之間有有所變化化。參數(shù)數(shù)估計(jì)就就是根據(jù)據(jù)推斷理理論所闡闡明的抽抽樣分布布與總體體分布之之間的關(guān)關(guān)系，由由樣本統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量的的具體值值估計(jì)總總體參數(shù)數(shù)(如總總體均值值、比例例和方差差等)。參數(shù)估計(jì)計(jì)有兩種種估計(jì)方方法：點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)計(jì)41總體參數(shù)數(shù)的點(diǎn)估估計(jì)點(diǎn)估計(jì)就就是用樣樣本的估估計(jì)量直直接作為為總體參參數(shù)的估估計(jì)值。例如，用樣本本均值直直接作為為總體均均值的估估計(jì)，或或者用兩兩個(gè)樣本本均值之之差直接接作為總總體均值值之差的的估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)是是容易做做到的，但是，點(diǎn)估計(jì)計(jì)沒有給給出估計(jì)計(jì)值接近近總體參參數(shù)程度度的信息息。當(dāng)樣本均均值與總總體均值值不完全全相同時(shí)時(shí)，樣本本均值與與實(shí)際總總體均值

25、值就存在在著差距距，形成成抽樣誤誤差。42總體參數(shù)數(shù)的區(qū)間間估計(jì)區(qū)間估計(jì)計(jì)：在點(diǎn)點(diǎn)估計(jì)的的基礎(chǔ)上上，對(duì)總總體參數(shù)數(shù)的區(qū)間間或范圍圍進(jìn)行估估計(jì)。區(qū)間估計(jì)計(jì)不僅要要說明區(qū)區(qū)間大小小，還要要說明點(diǎn)點(diǎn)估計(jì)值值在區(qū)間間內(nèi)的概概率，即即置信度度。置信信度是一一個(gè)百分分比，用用來說明明結(jié)果正正確的長長期概率率。被估估計(jì)的區(qū)區(qū)間則被被稱為置置信區(qū)間間。根據(jù)樣本本統(tǒng)計(jì)量量的抽樣樣分布理理論，總總體參數(shù)數(shù)的區(qū)間間范圍是是在一定定的概率率度下，由樣本本統(tǒng)計(jì)量量加減抽抽樣誤差差而得到到。43總體均值值的區(qū)間間估計(jì)在SRS抽樣情情況下，樣本統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量的的抽樣分分布均服服從正態(tài)態(tài)分布?？墒褂糜谜龖B(tài)分分布統(tǒng)計(jì)計(jì)量Z來描述總總

26、體均值值的區(qū)間間估計(jì)，將總體體均值區(qū)區(qū)間估計(jì)計(jì)表達(dá)為為：= 在上式中， 代表一定置信度下的Z值。注意，應(yīng)除以2，以便確定均值的每一邊所包含曲線下區(qū)域的百分比。 代表樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤， 當(dāng)未知，用S來估計(jì)，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤： 當(dāng)已知，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)公式： 44總體均值值的區(qū)間間估計(jì)t-分布若調(diào)查從從總體中中隨機(jī)抽抽取一個(gè)個(gè)很小樣樣本(n 30)，則則樣本均均值的抽抽樣分布布服從自自由度為為(n-1)的t-分布(較較正態(tài)分分布平坦坦和分散散)。隨著自自由度增增大，t分布也逐逐漸趨于于正態(tài)分分布。在在上述假假設(shè)條件件下，使使用t分布統(tǒng)計(jì)計(jì)量(附附錄B-3)來來估計(jì)總總體均值值的置信信區(qū)間。t

27、分布條件件下總體體均值置置信區(qū)間間的估計(jì)計(jì)方法與與正態(tài)分分布條件件下非常常類似，只是查查t分布表需需要考慮慮自由度度為(n-1)。統(tǒng)計(jì)量 t(n-1) 總體置信區(qū)間 = 45總體均值值的區(qū)間間估計(jì)例題例107某銀行收收集到由由36信用卡用用戶組成成的隨機(jī)機(jī)樣本，得到各各用戶年年齡(周歲)數(shù)據(jù)如下下23，35，39，27，36，44；36，42，46，43，31，33，42，53，45，54，47，24，34，28，39，36，44，40，39，49，38，34，48，50，34，39，45，48，45，32。試建立信信用卡用用戶年齡齡90%的置信區(qū)區(qū)間。已知n=36，1- = 90%，Z/2=

28、1.64。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： =39.5，s=7.77 則，信用卡用戶總體平均年齡在90%置信水平下的置信區(qū)間為： =39.51.64 =39.52.12 =（37.38，41.62）結(jié)論是：在90%的置信度下，信用卡用戶的平均年齡為37.3841.62歲。 = 46總體比例例的區(qū)間間估計(jì)總體比例例的區(qū)間間估計(jì)假假定總體體服從二二項(xiàng)分布布。二項(xiàng)項(xiàng)分布是是指重復(fù)復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)數(shù)的概率率分布?？傮w比比例的抽抽樣分布布仍然可可以由正正態(tài)分布布來近似似，即適適用中心心極限定定理。使使用正態(tài)態(tài)分布統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量Z來描述總總體比例例的區(qū)間間估計(jì)，將總體體比例區(qū)區(qū)間估計(jì)計(jì)表達(dá)如如下：= p

29、在上式中， 代表一定置信度下的Z值。注意，應(yīng)除以2，以便確定比例的每一邊所包含曲線下區(qū)域的百分比。 代表樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤， 當(dāng)未知，樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)式： 當(dāng)已知，樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)式： 47總體比例例的區(qū)間間估計(jì)例例題例108某商業(yè)公公司想要要估計(jì)經(jīng)經(jīng)常光顧顧其大型型購物中中心中女女性所占占的比例例，隨機(jī)機(jī)地抽取取了400名經(jīng)常性性顧客，發(fā)現(xiàn)其其中260名為女性性。試以95%的置信水水平估計(jì)計(jì)經(jīng)常光光顧該大大型購物物中心中中女性比比例的置置信區(qū)間間。解：已知 n=400，p65%=0.65， 1- = 95%，Z/2 =1.96 則，總體比例在95%置信水平下的置信區(qū)間為： =0.6

30、51.96 =0.650.047 =（0.603，0.697）結(jié)論：在95%的置信度下，經(jīng)常光顧該大型購物中心中女性比例的置信區(qū)間為60.3%69.7%。 = p 48總體方差差的區(qū)間間估計(jì)在重復(fù)選選取容量量為n的樣本時(shí)時(shí)，由樣樣本方差差的所有有可能取取值形成成的相對(duì)對(duì)頻數(shù)分分布，構(gòu)構(gòu)成樣本本方差的的抽樣分分布。對(duì)于來自自正態(tài)總總體的簡簡單隨機(jī)機(jī)樣本，則(n-1)倍的樣樣本方差差與總體體方差的的比值的的抽樣分分布服從從自由度度為(n-1)的的2分布，即即2(n -1) 2分布的特特性總體方差差的區(qū)間間估計(jì)提提供了理理論依據(jù)據(jù)。當(dāng)總總體服從從正態(tài)分分布時(shí)，總體方方差2的點(diǎn)估計(jì)計(jì)量為s2。借助2分

31、布表(附錄B-4)可以查查得21-/2和2/2分布曲線線下的面面積(概概率)。然后，可以給給出總體體方差在在1-置信水平平下的區(qū)區(qū)間估計(jì)計(jì)：49105 樣本本量的確確定樣本量的的確定問問題，首首先涉及及對(duì)總體體參數(shù)估估計(jì)值的的精度要要求，同同時(shí)也涉涉及與各各種運(yùn)作作限制(如可獲獲得的預(yù)預(yù)算、資資源和時(shí)時(shí)間)之之間的平平衡問題題。理論上，總體參參數(shù)估計(jì)計(jì)的精度度取決于于抽樣誤誤差和非非抽樣誤誤差兩類類誤差的的大小。但是，確定樣樣本量是是為控制制抽樣誤誤差，而而不是對(duì)對(duì)非抽樣樣誤差進(jìn)進(jìn)行控制制，進(jìn)而而提高對(duì)對(duì)總體估估計(jì)的精精度。50估計(jì)精度度與樣本本量的關(guān)關(guān)系總體參數(shù)數(shù)的置信信區(qū)間可可以描述述為：

32、總體參數(shù)數(shù)=總體參數(shù)數(shù)的估計(jì)計(jì)值抽抽樣誤差差的范圍圍顯然，估估計(jì)精度度取決于于抽樣誤誤差大小小。假設(shè)設(shè)用E來定義抽抽樣誤差差范圍，則當(dāng)簡簡單隨機(jī)機(jī)選擇一一個(gè)容量量足夠大大(n30)的的樣本時(shí)時(shí)，樣本本均值的的抽樣誤誤差范圍圍可以表表示為：抽樣誤差差的范圍圍是估計(jì)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)誤的倍倍數(shù)，乘乘數(shù)因子子取決于于在調(diào)查查估計(jì)中中所希望望達(dá)到的的置信水水平。在放回(重復(fù))的SRS抽樣樣條件下下，假設(shè)設(shè)回答率率為100%，則樣本本均值的的標(biāo)準(zhǔn)誤誤公式可可用來解解釋估計(jì)計(jì)精度與與樣本量量之間的的基本關(guān)關(guān)系：E51估計(jì)精度度與樣本本量無論是重重復(fù)抽樣樣還是不不重復(fù)抽抽樣，抽抽樣誤差差的大小小(即估估計(jì)精度度)與

33、樣樣本量緊緊密相關(guān)關(guān)：隨著樣本本量的增增加，對(duì)對(duì)應(yīng)估計(jì)計(jì)量的抽抽樣標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差就會(huì)會(huì)不斷減減小，調(diào)調(diào)查估計(jì)計(jì)的精度度則會(huì)不不斷提高高。同理，當(dāng)當(dāng)要求不不斷提高高調(diào)查估估計(jì)值的的精度要要求時(shí)，所需樣樣本量也也會(huì)不斷斷增加。樣本量要要根據(jù)估估計(jì)所要要求的精精度來計(jì)計(jì)算和確確定。下下面的討討論分為為兩部分分：對(duì)初始樣樣本量的的確定及及考慮復(fù)雜情況況的考慮慮及對(duì)初初始樣本本量的調(diào)調(diào)整52初始樣本本量的確確定1給定定總體均均值估計(jì)計(jì)精度下下確定初初始樣本本量初始樣本本量基于于以下假假定：抽抽樣采用用放回的的SRS抽樣，并且調(diào)調(diào)查回答答率為100%。樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤表示為： 抽樣誤差范圍表示為：E 從上式中解

34、得樣本量n： 從公式看出，樣本容量n與置信系數(shù)和總體方差成正比，與邊際誤差成反比。為確定樣本量n，需要知道允許的抽樣誤差范圍E、與給定置信水平相對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值Z、總體方差估計(jì)2。53初始樣本本量的確確定2給定定比例估估計(jì)精度度下確定定初始樣樣本量初始樣本本量基于于以下假假定：抽抽樣采用用放回的的SRS抽樣，并且調(diào)調(diào)查回答答率為100%。樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤表示為： 抽樣誤差范圍表示為：E 從上式中解得樣本量n： 從公式看出，樣本容量n與置信系數(shù)和總體方差成正比，與邊際誤差成反比。為確定樣本量n，需要知道允許的抽樣誤差范圍E、與給定置信水平相對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值Z、總體比例 。54對(duì)樣本量量基本公公式的應(yīng)應(yīng)用

35、考慮慮在確定初初始樣本本量的公公式中，抽樣誤誤差范圍圍假定已已知。但但在實(shí)踐踐中，如如何確定定調(diào)查估估計(jì)的精精度水平平(抽樣樣誤差范范圍)，卻是一一個(gè)值得得思考的的問題。1多大大的抽樣樣誤差對(duì)對(duì)調(diào)研目目標(biāo)而言言可以接接受常用95的置置信度、6的抽樣樣誤差范范圍對(duì)客客戶的調(diào)調(diào)查目標(biāo)標(biāo)是否適適宜，估估計(jì)值是是否需要要更高或或者更低低的精度度？2是否否需要對(duì)對(duì)調(diào)查總總體中的的子總體體(域)進(jìn)行估估計(jì)例如，對(duì)對(duì)一項(xiàng)全全國性抽抽樣調(diào)查查而言，主辦者者可能要要求對(duì)全全國估計(jì)計(jì)的抽樣樣誤差范范圍為3；但是對(duì)對(duì)于省級(jí)級(jí)估計(jì)值值，抽樣樣誤差范范圍可能能確定為為5；而對(duì)對(duì)于地市市的估計(jì)計(jì)值，10的抽樣樣誤差范范圍

36、就足足夠了。55對(duì)樣本量量基本公公式的應(yīng)應(yīng)用考慮慮3相對(duì)對(duì)于調(diào)查查估計(jì)值值的抽樣樣誤差應(yīng)應(yīng)該多大大為宜例如，政政府要決決定是否否執(zhí)行為為某種使使用人數(shù)數(shù)較少的的語種提提供服務(wù)務(wù)的新政政策，假假定做出出決定的的前提，是至少少有5%的人群群對(duì)這一一語種存存在需求求。在這這里，p005就就是要確確定的最最小估計(jì)計(jì)值。相相對(duì)于該該估計(jì)值值，必須須規(guī)定更更小的抽抽樣誤差差范圍，如001(即即，置信信區(qū)間為為005001)。4精度度要求的的實(shí)際含含義是什什么隨著樣本本量的增增加，估估計(jì)值的的精度也也將提高高。然而而，精度度的得益益并不與與樣本量量的增加加成正比比。如表表10-10中中描述的的例子。 樣本量

37、抽樣誤差范圍50100500100001386009800043800310表10-10簡單隨機(jī)機(jī)抽樣估估計(jì)比例例P的樣本量量與抽樣樣誤差范范圍(當(dāng)P=05)56關(guān)于確定定樣本量量的現(xiàn)現(xiàn)實(shí)復(fù)雜雜考慮在確定樣樣本量基基本公式式之外，又有一一些現(xiàn)實(shí)實(shí)因素影影響調(diào)查查估計(jì)量量的精度度，進(jìn)而而影響樣樣本量。這些因因素主要要包括總體指標(biāo)標(biāo)的變異異程度總體大小小，樣本設(shè)計(jì)計(jì)和所用用的估計(jì)計(jì)量以及回答答率57關(guān)于確定定樣本量量的現(xiàn)實(shí)實(shí)復(fù)雜考考慮1總體體的變異異程度隨著調(diào)查查總體中中所研究究指標(biāo)的的實(shí)際變變異程度度的增加加，樣本本量也必必須隨之之增大，以滿足足估計(jì)的的精度要要求。為確保達(dá)達(dá)到調(diào)查查要求的的精度

38、，在計(jì)算算樣本量量時(shí)，建建議對(duì)某某一指標(biāo)標(biāo)的總體體變異程程度采取取保守估估計(jì)，即即假定研研究指標(biāo)標(biāo)具有最最大的變變異程度度。例如如，對(duì)于于二元變變量，應(yīng)應(yīng)該假定定總體中中該變量量的變異異程度為為50-50對(duì)半半平分，即假定定p=05。為確保樣樣本量對(duì)對(duì)所有的的研究指指標(biāo)都足足夠大，應(yīng)該根根據(jù)最大大變異程程度或被被認(rèn)為最最重要的的指標(biāo)來來確定樣樣本量。58關(guān)于確定定樣本量量的現(xiàn)實(shí)實(shí)復(fù)雜考考慮2總體體大小在基本公公式中，樣本量量的確定定似乎與與總體大大小沒有有關(guān)系。因?yàn)楫?dāng)當(dāng)時(shí)假定定在大總總體中進(jìn)進(jìn)行有放放回的重重復(fù)抽樣樣，抽樣樣總體的的影響被被忽略掉掉了。然然而，在在調(diào)研實(shí)實(shí)踐中，總體單單元數(shù)量量

39、可能是是有限的的，而且且可能采采取非重重復(fù)抽樣樣，這時(shí)時(shí)總體大大小對(duì)樣樣本容量量的影響響就應(yīng)該該被考慮慮進(jìn)來了了。在樣本不放回的非重復(fù)抽樣條件下 樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤表示為： 抽樣誤差范圍表示為：E 從上式中解得樣本量：在樣本不放回的非重復(fù)抽樣條件下 樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤： 抽樣誤差范圍表示為：E 從上式中解得樣本量：59關(guān)于確定定樣本量量的現(xiàn)實(shí)實(shí)復(fù)雜考考慮3樣本本設(shè)計(jì)和和估計(jì)量量當(dāng)使用復(fù)復(fù)雜的樣樣本設(shè)計(jì)計(jì)時(shí)，估估計(jì)值可可能比SRS精精確。當(dāng)當(dāng)估計(jì)值值更精確確時(shí)，稱稱所采用用的樣本本設(shè)計(jì)更更為有效效。因此此，實(shí)際際抽樣時(shí)時(shí)必須考考慮實(shí)際際所用抽抽樣設(shè)計(jì)計(jì)的效率率，并對(duì)對(duì)初始樣樣本量做做出調(diào)整整。即，在

40、SRS抽樣樣的樣本本量計(jì)算算公式基基礎(chǔ)上乘乘以一個(gè)個(gè)設(shè)計(jì)效應(yīng)應(yīng)因子。設(shè)計(jì)效應(yīng)應(yīng)(Deff)是指在給給定抽樣樣設(shè)計(jì)下下估計(jì)值值的抽樣樣方差，與相等等樣本量量下的簡簡單隨機(jī)機(jī)抽樣的的估計(jì)值值的抽樣樣方差之之比。設(shè)某一抽樣設(shè)計(jì)樣本估計(jì)值的方差為 ，同等樣本量的SRS設(shè)計(jì)的樣本估計(jì)值的方差為 ，則抽樣設(shè)計(jì)效應(yīng)： Deff = 顯然，對(duì)于簡單隨機(jī)抽樣設(shè)計(jì)，Deff=1；若Deff1，表明實(shí)際使用的抽樣設(shè)計(jì)的效率高于簡單隨機(jī)抽樣；若Deff1，表明實(shí)際使用的抽樣設(shè)計(jì)的效率低于簡單隨機(jī)抽樣。特定抽樣設(shè)計(jì)所需的樣本量（n1）調(diào)整為：n1=n0Deff 60關(guān)于確定定樣本量量的現(xiàn)實(shí)實(shí)復(fù)雜考考慮4調(diào)查查的回答答率調(diào)查回答答率是指調(diào)查查回收的的有效問問卷數(shù)占占計(jì)劃訪訪問的樣樣本數(shù)量量的百分分比。在在執(zhí)行抽抽樣過程程中，會(huì)會(huì)出現(xiàn)無無效問卷卷，這意意味著計(jì)計(jì)劃樣本本量中的的一部分分無法產(chǎn)產(chǎn)生有效效數(shù)據(jù)，并導(dǎo)致致估計(jì)精精度的降降低。為為達(dá)到估估計(jì)精