量子力學(xué)作業(yè)習(xí)題

第一章量子力學(xué)的誕生在宏觀世界里，量子現(xiàn)象常?？梢院雎裕畬ο铝兄T情況，在數(shù)值上加以證明：(l)長l=lm，質(zhì)量M=1kg的單擺的零點(diǎn)振蕩的振幅；(2)質(zhì)量M=5g，以速度10cm/s向一剛性障礙物(高5cm，寬1cm)運(yùn)動(dòng)的子彈的透射率；(3)質(zhì)量M=0.1kg，以速度0.5m/s運(yùn)動(dòng)的鋼球被尺寸為1x1.5m2時(shí)的窗子所衍射.用h,e,c,m(電子質(zhì)量)，M(質(zhì)子質(zhì)量)表示下列每個(gè)量，給出粗略的數(shù)值估計(jì)：(1)玻爾半徑(cm);(2)氫原子結(jié)合能(eV);(3)玻爾磁子；(4)電子的康普頓波長(cm);(5)經(jīng)典電子半徑(cm);(6)電子靜止能量(MeV);(7)質(zhì)子靜止能量(MeV);(8)精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)；(9)典型的氫原子精細(xì)結(jié)構(gòu)分裂導(dǎo)出、估計(jì)、猜測或背出下列數(shù)值，精確到一個(gè)數(shù)量級范圍內(nèi)，(1)電子的湯姆遜截面；(2)氫原子的電離能；(3)氫原子中基態(tài)能級的超精細(xì)分裂能量；(4)37Li(z=3)核的磁偶極矩；(5)質(zhì)子和中子質(zhì)量差；(6)4He核的束縛能；(7)最大穩(wěn)定核的半徑；(8)n0介子的壽命；(9)n-介子的壽命；(10)自由中子的壽命.指出下列實(shí)驗(yàn)中，哪些實(shí)驗(yàn)表明了輻射場的粒子性？哪些實(shí)驗(yàn)主要證明能量交換的量子性？哪些實(shí)驗(yàn)主要表明物質(zhì)粒子的波動(dòng)性？簡述理由.(1)光電效應(yīng)；(2)黑體輻射譜；(3)Franck-Hertz實(shí)驗(yàn)；(4)Davisson-Ger-mer實(shí)驗(yàn);(5)Compton散射.考慮如下實(shí)驗(yàn)：一束電子射向刻有A、B兩縫的平板，板外是一裝有檢測器陣列的屏幕，利用檢測器能定出電子撞擊屏幕的位置.在下列各種情形下，畫出入射電子強(qiáng)度隨屏幕位置變化的草圖，給出簡單解釋.(1)A縫開啟，B縫關(guān)閉；(2)B縫開啟，A縫關(guān)閉；(3)兩縫均開啟.驗(yàn)算三個(gè)系數(shù)數(shù)值：(1)丄；(2)鼻；(3)hc2m2men第二章波函數(shù)與Schrodinger方程[1]試用量子化條件，求諧振子的能量[諧振子勢能V（x）=2m€2x2]一維運(yùn)動(dòng)的粒子處在?Axe-九x,V（x）二仁,0,的狀態(tài)，其中九〉0，求：（1）粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)；（2）粒子動(dòng)量的平均值。⑶平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，求能量允許值.有一帶電荷e質(zhì)量m的粒子在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，垂直于平面方向磁場是B,求粒子能量允許⑸對高速運(yùn)動(dòng)的粒子（靜質(zhì)量m）的能量和動(dòng)量由下式給出E二mc21-V2c2(1)P二mv2(2)1-v2c2試根據(jù)哈密頓量H二E二m2c4+c2p2（3）及正則方程式來檢驗(yàn)以上二式.由此得出粒子速度和德布羅意的群速度相等的關(guān)系.計(jì)算速度并證明它大于光速.[6].（1）試用Fermat最小光程原理導(dǎo)出光的折射定律nsind=nsind1122（2）光的波動(dòng)論的擁護(hù)者曾向光的微粒論者提出下述非難：如認(rèn)為光是粒子，則其運(yùn)動(dòng)遵守最小作用量原理訂pdl=0認(rèn)為p=mv則sfpdl=0這將導(dǎo)得下述折射定律nsind=nsind1331

這明顯違反實(shí)驗(yàn)事實(shí)，即使考慮相對論效應(yīng)，則對自由粒子：p€仍就成立，E是粒子c2你怎樣解決矛盾？能量，從一種媒質(zhì)到另一種媒質(zhì)Ep€仍就成立，E是粒子c2你怎樣解決矛盾？⑺.當(dāng)勢能V(r)改變一常量c時(shí)，即V(r)?V(r)+c，粒子的波函數(shù)與時(shí)間無關(guān)部分變否?能量本征值變否?[8].試證粒子勢能的極小值是E…Vnmin⑼.設(shè)中與中是薛定諤方程式兩個(gè)解，證明伽*1(x,t宦(x,t)dx3與時(shí)間無關(guān)。1212T.考慮單粒子的薛定諤方程式：d,2i,W(x,t)€-V2^(x,t)+[V(x)+iV(x(x,t)dt2m12V],V2為實(shí)函數(shù)，證明粒子的幾率不守恒。求出在空間體積Q內(nèi)，粒子幾率“喪失”或“增加”的速率。.對于一維自由運(yùn)動(dòng)粒子，設(shè)中(x,0)=5(x)求＜(x,t)2。.證明從單粒子的薛定諤方程式得出的速度場是非旋的，即Vxv€0(v€j/p)p=W*中

第三章一維定態(tài)問題[1].對于無限深勢阱中運(yùn)動(dòng)的粒子(見圖3-1)證明(x-(x-x)2聖(1亠12n2兀2并證明當(dāng)n?g時(shí)上述結(jié)果與經(jīng)典結(jié)論一致。[2].試求在不對稱勢力阱中粒子的能級。⑶?設(shè)質(zhì)量為m的粒子在下述勢阱中運(yùn)動(dòng):g(x<0)VCx)=(x>0)1(x>0)m?2x22求粒子的能級。[4].考慮粒子(e〈0)在下列勢阱壁(x=0)處的反射系數(shù).試證明對于任意勢壘，粒子的反射系數(shù)T滿足R+T=l。.設(shè)在一維無限深勢阱中運(yùn)動(dòng)的粒子的狀態(tài)用：4.兀xnxsmcos2—描述，求粒子能量的可能植及相應(yīng)的幾率。⑺.設(shè)一諧振子處于基態(tài)，求它的(<x)2,(<p'并驗(yàn)證測不準(zhǔn)關(guān)系:30[8].設(shè)粒子處于無限深勢阱中，狀態(tài)用波函數(shù)中(x)€Ax(a-x)描述，A=是歸一a5化常數(shù)，求(1)粒子取不同能量幾率分布。(2)能量平均值及漲落。⑼.一維無限深勢阱中求處于中”(x)態(tài)的粒子的動(dòng)量分布幾率密度|申(p)|2。.寫出動(dòng)量表象中諧振子的薛定諤方程式，并求出動(dòng)量幾率分布a亠2x2,i.一維諧振子處在基態(tài)中(x)=e,2,2?t，求：兀

⑴勢能的平均值U，2€?2兀2；⑵動(dòng)能的平均值T，(3)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。[12].氫原子處在基態(tài)中(r,6,…)1e-r/ao，求:?a3o(l)r的平均值;(2)勢能-殳的平均值;r最可幾半徑;動(dòng)能的平均值;動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。[l3].證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是ere0ehere0ehm€rsin0中2n€m.一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,它的能量的經(jīng)典表示式是H，,L為角動(dòng)量，求與此對應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)子繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：.設(shè)t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為中(x)，A[sin2kx+壬coskx]2求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。.一維運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)是Axe-^x,當(dāng)x>00,當(dāng)x<0其中九>0，求：粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù);粒子的平均動(dòng)量。第四章力學(xué)量和表象變化1指］出下列算符哪個(gè)是線性的，說明其理由。TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\h\z[(d)x]2中-[xd]=?設(shè)波函數(shù)中(設(shè)波函數(shù)中(x)=sinx八八八八證明：如果算符A和B都是厄米的，那么AB也是厄米的。1—_(xp?px)問下列算符是否是厄米算符：①xx；②2xx如果算符你B滿足關(guān)系式郵…陽=1，求證①郵2…卩戒=2卩②&03-030C=302八八八八八八八八八八八八+LP-PL=?LP-PL=?LP-PL=?[9]求xxxx；yxxy；zxxz設(shè)b，p1=ih,/(q)是9的可微函數(shù)，證明下述各式：()L，P2f(qJ=2hipf.()[q,pf(q)p]=ih(fq?pf)()[q,f(q)p2]=2ihfphhh[p,p2f(q)]=-p2fi[p,pf(q)p]=-pfip[p,f(q)p2]=-fip2i(5)i(6)i證]明以下諸式成立=2hirl^p+p*7=2ihp€€€€12x一xl2=ih[(r*x)-(i*r)]xxmmp*€1mmp*€112p一pl2=ih{(p*l)xxxx，,F,F,[1,F]=一加（產(chǎn)?p*,）1為粒子角動(dòng)量。為另一力學(xué)量，證明：，r，p其中,r表示空間坐標(biāo)的梯度，，p表示動(dòng)量空間的梯度。設(shè)算符，與它們的對易式，都對易。證明[A,BK]=挖拼[A\B]=用衛(wèi)小[4&]證明M-1[A,BK]=工并由此證k0[可,擴(kuò)]=機(jī)如產(chǎn)1證明'9汰卞國）是厄密算符鞏9）=工&歹證等是實(shí)數(shù)是厄密算符…A證明m-nnmAnm實(shí)數(shù)）是厄密算符。a若滬不一定是厄密算符。證]明，當(dāng)X―>00大時(shí)并不趨于0，則證明其中是正則動(dòng)量和坐標(biāo)的函數(shù)，上式左方是相應(yīng)的算符。是經(jīng)典力學(xué)中的括弧在多變量情形自.由.度的整函數(shù),證明:€€Fi€xk⑴"叩亠€：⑵F[x,p]二整函數(shù)是指,,CmnxmpnkikimnkiCmn

ki是數(shù)值系數(shù)第五章力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對稱性.證明力學(xué)量A(不顯含t)的平均值對時(shí)間的二次微商為：d2_*只l八€2A=一[[A,H],H](H是哈密頓量)dt2.證明，在不連續(xù)譜的能量本征態(tài)(束縛定態(tài))下，不顯含t的物理量對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)的平均值等于零。入P2.設(shè)粒子的哈密頓量為H=，V(r)。2卩d—(1)證明—(r…p)=p2/卩―r??V。dt(2)證明：對于定態(tài)2T=r-W.證明，對于一維波包：TOC\o"1-5"\h\zd1x2=(xp+px)dt卩.求海森伯表象中自由粒子的座標(biāo)的算符。.求海森伯表象中中諧振子的坐標(biāo)與動(dòng)量算符。.多粒子系若不受外力，則其哈密頓算符可表成：HYPERLINK\h\z—1-42^2Rm€mr，r—rR12；21試求總動(dòng)量P=pi+p2及總角動(dòng)量L=lx+12在Rr表象中的算符表示。11q[-[?2,r]，-+—-[?2,r]，證明2rSr，2中心力場V(r)中的經(jīng)典粒子的哈密頓量是p212A1H，——++V(r)p，r-p2m2mr其中rr。當(dāng)過渡到量子力學(xué)時(shí)，Pr要換為，丄』€…p+p…€!]，—hi(—+】)2rrSrr—hid

—hid

Srr…ppr是否厄米算符。pr是否厄米算符。］經(jīng)典力學(xué)中12，(rxp)2,r2…p2一(r…p)2在量子力學(xué)中此式是否成立？在什么條件下此式成立？求出氫原子基態(tài)波函數(shù)在動(dòng)量表象中的表示式。利用所得結(jié)果，計(jì)算px。用表象中的氫原子波函數(shù)計(jì)算x2并驗(yàn)證測不準(zhǔn)關(guān)系式。［6］在動(dòng)量表象中寫出氫原子的能量本征方程式，并證明角動(dòng)量的各個(gè)分量均為守恒量。設(shè)氫原子處于基態(tài)，求電子處于經(jīng)典力學(xué)不允許區(qū)(一)〈〉的幾率。證明，對于庫侖場V，2E，T,—E(E,T,V是總能量)r九，Jr九+2[R（）r]2dr7，?i?2對于氫原子的，計(jì)算"八丿」土1土2根據(jù)氫原子光譜理論，討論（）“電子偶素”（指一的束縛態(tài)）的能級。（）M介原子的能譜。（）M介子素（指p束縛態(tài)）的能譜。在（2x）表象中，1，1的子空間是幾維？求x在此子空間的矩陣表示式，再利用矩陣形式求出lx本征值及征矢。遲Y*Im（0,…）Yim（9，…），常數(shù)（與e,…無關(guān)）由此證明地（n,l）證明m=-1能級上滿布電子的情況下，電荷分布是各向同性的。證明一個(gè)球方勢阱半徑深度恰好具有一條工的能級的條件是：與應(yīng)滿足2pVjl-1（0a），0€2[14采]用平面極座標(biāo)，求出軸對稱諧振子勢場中，粒子能量的本征值本征函數(shù)，讀者討論簡并度。設(shè)粒子在無限長的園簡內(nèi)運(yùn)動(dòng)，簡半徑是，求粒子的能量。粒子在半徑為a，高為h的圓筒中運(yùn)動(dòng)，在筒內(nèi)粒子是自由的，在筒壁及筒外勢能是無限，求粒子能量的本征值。aAV（r），--+—（a和A>0）[17設(shè)]rr2，求粒子的能量本征值。

第七章粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng).證明在磁場B中，帶電粒子的速度算符的各分量，滿足下述的對易關(guān)系：TOC\o"1-5"\h\zL,如B（1）xy,2czL,€L如b（2）yz,2cxHYPERLINK\h\z占hd21取日0?-亍+牙€切2x2，H'二…X2，試用定態(tài)微擾論求其能量及能量本征函HYPERLINK\l"bookmark140"02€dx220數(shù)。⑵.一維無限深勢阱(0<X<a)中的粒子受到微擾：2九X(0<x<a)HYPERLINK\l"bookmark144"H/(x)={a22九(1)(0<x<a)HYPERLINK\l"bookmark142"、a的作用，求基態(tài)能量的一級修正。^V(k)€2d22€dx^V(k)€2d22€dx21+—Kx22假設(shè)它處在基態(tài)，若在加上一個(gè)彈性力作用H'=1/2bx2,試用微擾論計(jì)算H'對能量的一級修正，并與嚴(yán)格解比較。[4].設(shè)有自由粒子在長度為L的一維區(qū)域中運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)滿足周期性邊界條件中(-2)?中(彳)波函數(shù)的形式可選作：sinkxcoskxsinkxL2兀n-xi但k?(n?0,12……)。設(shè)粒子還受到一個(gè)陷阱作用，H'(x)?-V0—2，a?L。試用簡并理論計(jì)算能量一級修正。

[5].在一維無限深勢阱I0(0<x<a)V(x)=1(x?ax<[5].在一維無限深勢阱I0(0<x<a)V(x)=1(x?ax<0)中運(yùn)動(dòng)的粒子，受到微擾H'的作用討論粒子在空間幾率分布的改變。[-b(0<x<a)H'(x)=4.2<x<a)[6].類氫離子中，電子與原子核的庫侖作用為：V(r)=-Ze2r[Ze為核電荷]，試用微擾論計(jì)算它對能量的一級r當(dāng)核電荷增加e[ZTZ+l],互相作用能增加H'=修正，并與嚴(yán)格解比較。[7].一個(gè)粒子在二維無限深勢阱,0(0<x與y<a)x，勿―[…(其它地方)中運(yùn)動(dòng)，設(shè)加上微擾H'二Xxy(0<x,y<a)求基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的能量修正[8].設(shè)在Ho表象中，H的矩陣為:E(0)1H=0a*0E(0)2

b*abE(0)3E(0)<E(0)<E(0)(1)123試用微擾論求能量的二級修正。[9].設(shè)在H0表象中E⑼+ab/,、r宀曲、“、H=i(a,b為頭數(shù))(1)bE(0)+a2用微擾論求能量修正量(到二級近似)，嚴(yán)格求解與微擾論計(jì)算值比較[10].一體系在無微擾時(shí)有兩條能級，其中一條時(shí)二重簡并，在H0表象中—E—E(0)?1?000”'H=0E(0)10'0-0E(0)'“1E(0)?E(0)(1)21在計(jì)及微擾后哈密頓量表示為：22)E(0)10、aH=0E(