高等數(shù)學(xué)二重積分的計(jì)算法

高等數(shù)學(xué)二重積分的計(jì)算法第1頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四于是在直角坐標(biāo)系下可用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為若f（x，y）在有界閉區(qū)域D上可積，則積分值與區(qū)域D的分割方式及點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)。一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分第2頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四設(shè)曲頂柱體的底可表示為:［X－型］積分區(qū)域其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).1.［X－型］積分區(qū)域：第3頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四則X型區(qū)域的二重積分可按如下累次積分計(jì)算第4頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四同樣,曲頂柱體的底可表示為［Y－型］2.［Y－型］積分區(qū)域：第5頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四則Y型區(qū)域的二重積分可按如下累次積分計(jì)算第6頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四

X型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).第7頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四若區(qū)域如圖，在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.第8頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四化二重積分為累次積分的步驟：1.確定積分區(qū)域是X-型還是Y-型若都不是則分塊2.確定積分限；3.分別進(jìn)行積分。第9頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四注意1若D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}為矩形區(qū)域第10頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四注意2如果D既是x-型區(qū)域，又是y-型區(qū)域，將二重積分化為兩種不同順序的累次積分，結(jié)果相同.但實(shí)計(jì)算時(shí)，可能影響計(jì)算的繁簡(jiǎn)，甚至于影響到能否“積出”。因此，化二重積分為累次積分時(shí)，應(yīng)注意積分次序的選擇。第11頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四主要題型:1.改變積分順序(給出抽象函數(shù))2.純計(jì)算二重積分(給出具體的函數(shù)和區(qū)域)3.需要考慮積分順序的二重積分的計(jì)算(幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù))5.空間立體體積的計(jì)算(有時(shí)和定積分結(jié)合起來(lái))—利用二重積分的幾何含義(曲頂柱體的體積)4.被積函數(shù)中帶絕對(duì)值第12頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四1.改變積分順序(給出抽象函數(shù))第13頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四解積分區(qū)域如圖第14頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四解積分區(qū)域如圖第15頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四0y

x2a2a例3改變積分換序aD:解0x2aD1D2D3第16頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四練習(xí):改變積分順序第17頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四2.純計(jì)算二重積分(給出具體的函數(shù)和區(qū)域)第18頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四11y=x20y

xD2先對(duì)y積分（從下到上）1畫出區(qū)域D圖形3

先對(duì)x積分（從左到右）...y=x...例5：計(jì)算第19頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四例7.計(jì)算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,第20頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四3.需要考慮積分順序的二重積分的計(jì)算(幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù))第21頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四解第22頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四解第23頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四4.被積函數(shù)中帶絕對(duì)值第24頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四例10解先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖第25頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四5.空間立體體積的計(jì)算(有時(shí)和定積分結(jié)合起來(lái))—利用二重積分的幾何含義(曲頂柱體的體積)第26頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四解曲面圍成的立體如圖.第27頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四第28頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四例13求兩個(gè)垂直的底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積解:設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為第29頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四二、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分在平面上取定一點(diǎn)O，由O出發(fā)引一條射線Ox，并取定一個(gè)長(zhǎng)度單位和計(jì)算角度的正方向（逆時(shí)針?lè)较颍?，合稱為一個(gè)極坐標(biāo)系。這樣，平面上任一點(diǎn)M的位置就可以用OM的長(zhǎng)度r和從Ox到OM的角度

來(lái)刻劃，稱為M在這個(gè)極坐標(biāo)系中的極坐標(biāo)，O點(diǎn)稱為極坐標(biāo)系的極點(diǎn)，Ox稱為極軸。xrMO第30頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四第31頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征:積分域在極點(diǎn)外第32頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四區(qū)域特征如圖第33頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征:積分域的邊界過(guò)極點(diǎn)第34頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征:極點(diǎn)在積分域內(nèi)第35頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四0y

x2a..解例1.第36頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四此題用直角系算麻煩，需使用極坐標(biāo)系！21D0y

xD:變換到極坐標(biāo)系..例2計(jì)算第37頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四2R區(qū)域邊界：x=0.0y

x即r=2Rsinr=2Rsin例3.第38頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四0y

x12

y=xD...例4第39頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四解例5.a-a0第40頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四y0x第41頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四練習(xí)第42頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四解xy0第43頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四例12第44頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四解第45頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四第46頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四第47頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四解第48頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四.xy01D第49頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)23分，星期四作業(yè)P951(2),(4);