高等數(shù)學(xué)二重積分的計算法

高等數(shù)學(xué)二重積分的計算法第1頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四于是在直角坐標(biāo)系下可用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為若f（x，y）在有界閉區(qū)域D上可積，則積分值與區(qū)域D的分割方式及點的取法無關(guān)。一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分第2頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四設(shè)曲頂柱體的底可表示為:［X－型］積分區(qū)域其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).1.［X－型］積分區(qū)域：第3頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四則X型區(qū)域的二重積分可按如下累次積分計算第4頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四同樣,曲頂柱體的底可表示為［Y－型］2.［Y－型］積分區(qū)域：第5頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四則Y型區(qū)域的二重積分可按如下累次積分計算第6頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四

X型區(qū)域的特點：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.

Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.第7頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.第8頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四化二重積分為累次積分的步驟：1.確定積分區(qū)域是X-型還是Y-型若都不是則分塊2.確定積分限；3.分別進行積分。第9頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四注意1若D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}為矩形區(qū)域第10頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四注意2如果D既是x-型區(qū)域，又是y-型區(qū)域，將二重積分化為兩種不同順序的累次積分，結(jié)果相同.但實計算時，可能影響計算的繁簡，甚至于影響到能否“積出”。因此，化二重積分為累次積分時，應(yīng)注意積分次序的選擇。第11頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四主要題型:1.改變積分順序(給出抽象函數(shù))2.純計算二重積分(給出具體的函數(shù)和區(qū)域)3.需要考慮積分順序的二重積分的計算(幾個常見的函數(shù))5.空間立體體積的計算(有時和定積分結(jié)合起來)—利用二重積分的幾何含義(曲頂柱體的體積)4.被積函數(shù)中帶絕對值第12頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四1.改變積分順序(給出抽象函數(shù))第13頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四解積分區(qū)域如圖第14頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四解積分區(qū)域如圖第15頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四0y

x2a2a例3改變積分換序aD:解0x2aD1D2D3第16頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四練習(xí):改變積分順序第17頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四2.純計算二重積分(給出具體的函數(shù)和區(qū)域)第18頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四11y=x20y

xD2先對y積分（從下到上）1畫出區(qū)域D圖形3

先對x積分（從左到右）...y=x...例5：計算第19頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四例7.計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,第20頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四3.需要考慮積分順序的二重積分的計算(幾個常見的函數(shù))第21頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四解第22頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四解第23頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四4.被積函數(shù)中帶絕對值第24頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四例10解先去掉絕對值符號，如圖第25頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四5.空間立體體積的計算(有時和定積分結(jié)合起來)—利用二重積分的幾何含義(曲頂柱體的體積)第26頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四解曲面圍成的立體如圖.第27頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四第28頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四例13求兩個垂直的底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積解:設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為第29頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分在平面上取定一點O，由O出發(fā)引一條射線Ox，并取定一個長度單位和計算角度的正方向（逆時針方向），合稱為一個極坐標(biāo)系。這樣，平面上任一點M的位置就可以用OM的長度r和從Ox到OM的角度

來刻劃，稱為M在這個極坐標(biāo)系中的極坐標(biāo)，O點稱為極坐標(biāo)系的極點，Ox稱為極軸。xrMO第30頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四第31頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征:積分域在極點外第32頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四區(qū)域特征如圖第33頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征:積分域的邊界過極點第34頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征:極點在積分域內(nèi)第35頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四0y

x2a..解例1.第36頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四此題用直角系算麻煩，需使用極坐標(biāo)系！21D0y

xD:變換到極坐標(biāo)系..例2計算第37頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四2R區(qū)域邊界：x=0.0y

x即r=2Rsinr=2Rsin例3.第38頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四0y

x12

y=xD...例4第39頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四解例5.a-a0第40頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四y0x第41頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四練習(xí)第42頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四解xy0第43頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四例12第44頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四解第45頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四第46頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四第47頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四解第48頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四.xy01D第49頁，共50頁，2022年，5月20日，21點23分，星期四作業(yè)P951(2),(4);