2022版?zhèn)鋺?zhàn)老高考一輪復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 教案

第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系[最新考綱]1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．1．判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．(2)兩種研究方法：①eq\x(代數(shù)法)eq\o(→,\s\up9(聯(lián)立方程組消去x（y）),\s\do7(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交,Δ＝0?相切,Δ＜0?相離))②eq\x(幾何法)eq\o(→,\s\up9(圓心到直線的距離為d),\s\do7(半徑為r))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d＜r?相交，弦長(zhǎng)l＝2\r(r2－d2),d＝r?相切,d＞r?相離))2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離d>r1＋r2無解外切d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無解eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])1．當(dāng)兩圓相交(切)時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)的系數(shù)相同)相減便可得公共弦(公切線)所在的直線方程．2．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2．(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．(3)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2．一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切．()(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．()(3)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．()(4)過圓O：x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則O，P，A，B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改編1．若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，－1] B．[－1，3]C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C[由題意可得，圓的圓心為(a，0)，半徑為eq\r(2)，∴eq\f(|a－0＋1|,\r(12＋（－1）2))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.]2．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為()A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離B[兩圓圓心分別為(－2，0)，(2，1)，半徑分別為2和3，圓心距d＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).∵3－2<d<3＋2，∴兩圓相交．]3．圓Q：x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，eq\r(3))處的切線方程為________．x－eq\r(3)y＋2＝0[因?yàn)辄c(diǎn)P(1，eq\r(3))是圓Q：x2＋y2－4x＝0上的一點(diǎn)，故在點(diǎn)P處的切線方程為x－eq\r(3)y＋2＝0.]4．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長(zhǎng)為________．2eq\r(2)[由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x2＋y2－4x＋4y－12＝0，))得x－y＋2＝0.由于x2＋y2－4＝0的圓心為(0，0)，半徑r＝2，且圓心(0，0)到直線x－y＋2＝0的距離d＝eq\f(|0－0＋2|,\r(2))＝eq\r(2)，所以公共弦長(zhǎng)為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).]考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交，上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題．(1)[一題多解]直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．不確定(2)若直線x＋my＝2＋m與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)(3)圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4(1)A(2)D(3)C[(1)法一：(代數(shù)法)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx－y＋1－m＝0，,x2＋（y－1）2＝5，))消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2因?yàn)棣ぃ?6m2＋20>0，所以直線l法二：(幾何法)∵圓心(0，1)到直線l的距離d＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))<1<eq\r(5).故直線l與圓相交．法三：(點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法)直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(diǎn)(1，1)，∵點(diǎn)(1，1)在圓C：x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，∴直線l與圓C相交．(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心C(1，1)，半徑r＝1.因?yàn)橹本€與圓相交，所以d＝eq\f(|1＋m－2－m|,\r(1＋m2))<r＝1.解得m>0或m<0.故選D.(3)如圖所示，因?yàn)閳A心到直線的距離為eq\f(|9＋12－11|,5)＝2，又因?yàn)閳A的半徑為3，所以直線與圓相交，故圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有3個(gè)．](1)已知直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)值或取值范圍，就是利用d＝r，d>r或d<r建立關(guān)于參數(shù)的等式或不等式求解；(2)圓上的點(diǎn)到直線距離為定值的動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)問題多借助數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解．1.已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是()A．相切 B．相交C．相離 D．不確定B[因?yàn)镸(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1.所以直線與圓相交．]2．若直線l：x＋y＝m與曲線C：y＝eq\r(1－x2)有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是________．

[1，eq\r(2))[畫出圖象如圖，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A，B時(shí)，m＝1，此時(shí)直線l與曲線y＝eq\r(1－x2)有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線l與曲線相切時(shí)，m＝eq\r(2)，因此當(dāng)1≤m<eq\r(2)時(shí)，直線l：x＋y＝m與曲線y＝eq\r(1－x2)有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)．]考點(diǎn)2圓與圓的位置關(guān)系幾何法判斷圓與圓的位置步驟(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)．(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值．(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論．已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求證：圓C1和圓C2相交；(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長(zhǎng)．[解](1)證明：圓C1的圓心為C1(1，3)，半徑r1＝eq\r(11)，圓C2的圓心為C2(5，6)，半徑r2＝4，兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝eq\r(11)＋4，|r1－r2|＝4－eq\r(11)，∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2，∴圓C1和圓C2相交．(2)圓C1和圓C2的方程左、右兩邊分別相減，得4x＋3y－23＝0，∴兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.圓心C2(5，6)到直線4x＋3y－23＝0的距離為eq\f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3，故公共弦長(zhǎng)為2eq\r(16－9)＝2eq\r(7).求兩圓公共弦長(zhǎng)，常選其中一圓，由弦心距d，半弦長(zhǎng)eq\f(l,2)，半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．1.已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離B[由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2ay＝0，,x＋y＝0，))得兩交點(diǎn)為(0，0)，(－a，a)．∵圓M截直線所得線段長(zhǎng)度為2eq\r(2)，∴eq\r(a2＋（－a）2)＝2eq\r(2).又a>0，∴a＝2.∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心M(0，2)，半徑r1＝2.又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1，1)，半徑r2＝1，∴|MN|＝eq\r(（0－1）2＋（2－1）2)＝eq\r(2).∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3，1<|MN|<3，∴兩圓相交．]2．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝()A．21 B．19C．9 D．－11C[圓C1的圓心為C1(0，0)，半徑r1＝1，因?yàn)閳AC2的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圓C2的圓心為C2(3，4)，半徑r2＝eq\r(25－m)(m＜25)．從而|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5.由兩圓外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋eq\r(25－m)＝5，解得m＝9，故選C.]考點(diǎn)3直線、圓的綜合問題切線問題過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程；當(dāng)斜率不存在時(shí)，要加以驗(yàn)證．已知點(diǎn)P(eq\r(2)＋1，2－eq\r(2))，點(diǎn)M(3，1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；(2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長(zhǎng)．[解]由題意得圓心C(1，2)，半徑r＝2.(1)∵(eq\r(2)＋1－1)2＋(2－eq\r(2)－2)2＝4，∴點(diǎn)P在圓C上．又kPC＝eq\f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，∴切線的斜率k＝－eq\f(1,kPC)＝1.∴過點(diǎn)P的圓C的切線方程是y－(2－eq\r(2))＝x－(eq\r(2)＋1)，即x－y＋1－2eq\r(2)＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴點(diǎn)M在圓C外部．當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝3，即x－3＝0.又點(diǎn)C(1，2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，即此時(shí)滿足題意，所以直線x＝3是圓的切線．當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，則圓心C到切線的距離d＝eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，解得k＝eq\f(3,4).∴切線方程為y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.綜上可得，過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝eq\r(（3－1）2＋（1－2）2)＝eq\r(5)，∴過點(diǎn)M的圓C的切線長(zhǎng)為eq\r(|MC|2－r2)＝eq\r(5－4)＝1.當(dāng)切線為x＝3時(shí)，切線長(zhǎng)為1.(1)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題；(2)過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解．由直線y＝x＋1上的動(dòng)點(diǎn)P向圓C：(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為()A．1 B．2eq\r(2)C.eq\r(7) D．3C[如圖，切線長(zhǎng)|PM|＝eq\r(|PC|2－1)，顯然當(dāng)|PC|為C到直線y＝x＋1的距離即eq\f(3＋1,\r(2))＝2eq\r(2)時(shí)|PM|最小為eq\r(7)，故選C.]弦長(zhǎng)問題弦長(zhǎng)的2種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)．(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l＝2eq\r(r2－d2).(1)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0，3)，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0(2)(2018·全國(guó)卷Ⅰ)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________．(1)B(2)2eq\r(2)[(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝0，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,x2＋y2－2x－2y－2＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1－\r(3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1＋\r(3)，))∴|AB|＝2eq\r(3)，符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，∵圓x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圓心為C(1，1)，圓的半徑r＝2，圓心C(1，1)到直線y＝kx＋3的距離d＝eq\f(|k－1＋3|,\r(k2＋1))＝eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))，∵d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up8(2)＝r2，∴eq\f(（k＋2）2,k2＋1)＋3＝4，解得k＝－eq\f(3,4)，∴直線l的方程為y＝－eq\f(3,4)x＋3，即3x＋4y－12＝0.綜上，直線l的方程為3x＋4y－12＝0或x＝0.故選B.(2)由題意知圓的方程為x2＋(y＋1)2＝4，所以圓心坐標(biāo)為(0，－1)，半徑為2，則圓心到直線y＝x＋1的距離d＝eq\f(|1＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，所以|AB|＝2eq\r(22－（\r(2)）2)＝2eq\r(2).]求圓的弦長(zhǎng)問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為－1列方程來簡(jiǎn)化運(yùn)算．提醒：對(duì)于已知弦長(zhǎng)求直線方程的問題，常因漏掉直線斜率不存在的情形致誤，如本例(1)．(2019·太原一模)已知在圓x2＋y2－4x＋2y＝0內(nèi)，過點(diǎn)E(1，0)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A．3eq\r(5) B．6eq\r(5)C．4eq\r(15) D．2eq\r(15)D[將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圓心坐標(biāo)為F(2，－1)，半徑r＝eq\r(5)，如圖，顯然過點(diǎn)E的最長(zhǎng)弦為過點(diǎn)E的直徑，即|AC|＝2eq\r(5)，而過點(diǎn)E的最短弦為垂直于EF的弦，|EF|＝eq\r(（2－1）2＋（－1－0）2)＝eq\r(2)，|BD|＝2eq\r(r2－|EF|2)＝2eq\r(3)，∴S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)|AC|×|BD|＝2eq\r(15).]直線與圓的綜合問題直線與圓的綜合問題的求解策略(1)利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的計(jì)算，使問題得到解決．(2)直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密，可充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用．已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．(1)求圓C的方程；(2)過點(diǎn)M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．[解](1)設(shè)圓心C(a，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>－\f(5,2)))，則eq\f(|4a＋10|,5)＝2?a＝0或a＝－5(舍)．所以圓C：x2＋y2＝4.(2)當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，x軸平分∠ANB.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4,y＝k（x－1）))得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝eq\f(2k2,k2＋1)，x1x2＝eq\f(k2－4,k2＋1).若x軸平分∠ANB，則kAN＝－kBN?eq\f(y1,x1－t)＋eq\f(y2,x2－t)＝0?eq\f(k（x1－1）,x1－t)＋eq\f(k（x2－1）,x2－t)＝0?2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0?eq\f(2（k2－4）,k2＋1)－eq\f(2k2（t＋1）,k2＋1)＋2t＝0?t＝4，所以當(dāng)點(diǎn)N為(4，0)時(shí)，能使得∠ANM＝∠BNM總成立．本例是探索性問題，求解的關(guān)鍵是把幾何問題代數(shù)化，即先把條件“x軸平分∠ANB”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“直線斜率的關(guān)系：kAN＝－kBN”，然后借助方程思想求解．[教師備選例題]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點(diǎn)A(2,4)．(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程．[解](1)圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－6)2＋(y－7)2＝25，圓心M(6,7)，半徑r＝5，由題意，設(shè)圓N的方程為(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b>0)．且eq\r(6