高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)教案：6.4《數(shù)列求和》(含解析)

6.4數(shù)列求和典例精析題型一錯(cuò)位相減法求和【例1】求和：Sn＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,a2)＋eq\f(3,a3)＋…＋eq\f(n,an).【解析】(1)a＝1時(shí)，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n(n＋1),2).(2)a≠1時(shí)，因?yàn)閍≠0，Sn＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,a2)＋eq\f(3,a3)＋…＋eq\f(n,an)，①eq\f(1,a)Sn＝eq\f(1,a2)＋eq\f(2,a3)＋…＋eq\f(n－1,an)＋eq\f(n,an＋1).②由①－②得(1－eq\f(1,a))Sn＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)－eq\f(n,an＋1)＝eq\f(\f(1,a)(1－\f(1,an)),1－\f(1,a))－eq\f(n,an＋1)，所以Sn＝eq\f(a(an－1)－n(a－1),an(a－1)2).綜上所述，Sn＝【點(diǎn)撥】(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，則求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法；(2)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為字母時(shí)，應(yīng)對(duì)字母是否為1進(jìn)行討論；(3)當(dāng)將Sn與qSn相減合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)，注意錯(cuò)位及未合并項(xiàng)的正負(fù)號(hào).【變式訓(xùn)練1】數(shù)列{eq\f(2n－3,2n－3)}的前n項(xiàng)和為()A.4－eq\f(2n－1,2n－1) B.4＋eq\f(2n－7,2n－2) C.8－eq\f(2n＋1,2n－3) D.6－eq\f(3n＋2,2n－1)【解析】取n＝1，eq\f(2n－3,2n－3)＝－4.故選C.題型二分組并項(xiàng)求和法【例2】求和Sn＝1＋(1＋eq\f(1,2))＋(1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4))＋…＋(1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)).【解析】和式中第k項(xiàng)為ak＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2k－1)＝eq\f(1－(\f(1,2))k,1－\f(1,2))＝2(1－eq\f(1,2k)).所以Sn＝2[(1－eq\f(1,2))＋(1－eq\f(1,22))＋…＋(1－eq\f(1,2n))]＝－(eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n))]＝2[n－eq\f(\f(1,2)(1－\f(1,2n)),1－\f(1,2))]＝2[n－(1－eq\f(1,2n))]＝2n－2＋eq\f(1,2n－1).【變式訓(xùn)練2】數(shù)列1,1＋2,1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n項(xiàng)和為()A.2n－1 B.n·2n－nC.2n＋1－n D.2n＋1－n－2【解析】an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝2n＋1－n－2.故選D.題型三裂項(xiàng)相消法求和【例3】數(shù)列{an}滿足a1＝8，a4＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,n(14－an))(n∈N*)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)，若對(duì)任意非零自然數(shù)n，Tn＞eq\f(m,32)恒成立，求m的最大整數(shù)值.【解析】(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0，得an＋2－an＋1＝an＋1－an，從而可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則d＝eq\f(a4－a1,4－1)＝－2，所以an＝8＋(n－1)×(－2)＝10－2n.(2)bn＝eq\f(1,n(14－an))＝eq\f(1,2n(n＋2))＝eq\f(1,4)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋2))，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,4)[(eq\f(1,1)－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,4))＋…＋(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋2))]＝eq\f(1,4)(1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2))＝eq\f(3,8)－eq\f(1,4(n＋1))－eq\f(1,4(n＋2))＞eq\f(m,32)，上式對(duì)一切n∈N*恒成立.所以m＜12－eq\f(8,n＋1)－eq\f(8,n＋2)對(duì)一切n∈N*恒成立.對(duì)n∈N*，(12－eq\f(8,n＋1)－eq\f(8,n＋2))min＝12－eq\f(8,1＋1)－eq\f(8,1＋2)＝eq\f(16,3)，所以m＜eq\f(16,3)，故m的最大整數(shù)值為5.【點(diǎn)撥】(1)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)能轉(zhuǎn)化為f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂項(xiàng)相消法求和.(2)使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng).【變式訓(xùn)練3】已知數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和為An，Bn，記cn＝anBn＋bnAn－anbn(n∈N*)，則數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和為()A.A10＋B10 B.eq\f(A10＋B10,2) C.A10B10 D.eq\r(A10B10)【解析】n＝1，c1＝A1B1；n≥2，cn＝AnBn－An－1Bn－1，即可推出{cn}的前10項(xiàng)和為A10B10，故選C.總結(jié)提高1.常用的基本求和