2022年九年級數學上冊第21章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法教學課件新版新人教版

21.2解一元二次方程21.2.1配方法第一課時第二課時人教版數學九年級上冊第一課時直接開平方法返回預備知識

什么是平方根？一個數的平方根怎么樣表示？一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根.a(a≥0)的平方根記作：±x2=a(a≥0),則根據平方根的定義知，x=±導入新知如果方程轉化為x2=p,該如何解呢？求出下列各式中x的值，并說說你的理由.1.x2=92.x2=5

x=±=±3

x=±導入新知【思考】素養(yǎng)目標1.會把一元二次方程降次轉化為兩個一元一次方程.

2.運用開平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p≥0)的方程.

一桶油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？直接開平方法解：設正方體的棱長為xdm，則一個正方體的表面積為6x2dm2，可列出方程:10×6x2=1500，由此可得x2=25.開平方得x=±5，即x1=5，x2=－5.因棱長不能是負值，所以正方體的棱長為5dm．探究新知知識點1【試一試】解下列方程，并說明你所用的方法，與同伴交流.(1)

x2=4(2)

x2=0(3)

x2+1=0解:根據平方根的意義，得x1=2,x2=-2.解:根據平方根的意義，得x1=x2=0.解:根據平方根的意義，得x2=-1,因為負數沒有平方根，所以原方程無解.探究新知(2)當p=0時，方程(I)有兩個相等的實數根x1=

x2

=0；

(3)當p<0時,因為任何實數x，都有x2≥0，所以方程(I)無實數根.一般地，對于可化為方程

x2=p,

(I)

(1)當p>0時，根據平方根的意義，方程(I)有兩個不等的實數根

，；

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的根的方法叫直接開平方法.探究新知【歸納】

例1

利用直接開平方法解下列方程:(1)

x2=6；(2)

x2－900=0.解：（1）x2=6，直接開平方，得（2）移項，得x2=900.直接開平方，得x=±30，∴x1=30,x2=－30.

利用直接開平方解形如x2=p方程素養(yǎng)考點1探究新知鞏固練習1.解下列方程（分析:把方程化為x2=p

的形式）

(1)

(2)

解：移項，得系數化為1，得即解：移項，得系數化為1，得解：把x+3看做一個整體，兩邊開平方得

②對照前面方法，你認為怎樣解方程（x+3）2=5①？于是，方程（x+3）2=5的兩個根為鞏固練習由方程①得到②，實質是把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程，這樣就把方程①轉化為我們會解的方程了.例2

解下列方程：（1）（x＋1）2=2；

解析：本題中只要將（x＋1）看成是一個整體，就可以運用直接開平方法求解.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）∵x+1是2的平方根，∴x+1=

利用直接開平方法解形如(mx+n)2=p方程素養(yǎng)考點2探究新知解析：本題先將-4移到方程的右邊，再同第1小題一樣地解.（2）（x－1）2－4=0；即x1=3，x2=-1.解：（2）移項，得（x-1）2=4.∵x-1是4的平方根，∴x-1=±2.探究新知∴x1=

，

x2=(3)

12（3－2x）2－3=0.解析：本題先將－3移到方程的右邊，再兩邊都除以12，再同第1小題一樣地去解，然后兩邊都除以-2即可.解：（3）移項，得12（3-2x）2=3，兩邊都除以12，得（3-2x）2=0.25.∵3-2x是0.25的平方根，∴3-2x=±0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5探究新知解：移項x＋6=3，x＋6=－3,方程的兩根為x1=－3,x1=－9.解：方程的兩根為解方程.鞏固練習2.

（1）（2）解：方程的兩根為解：方程的兩根為例3

解下列方程：解需要利用完全平方公式轉化的一元二次方程素養(yǎng)考點3探究新知（1）（2）解方程x2+6x+9=2.x1=

x2=解：方程的左邊是完全平方形式，這個方程可以化為：（x+3）2=2進行降次得：鞏固練習3.

一元二次方程x2﹣9=0的解是

．解析:

∵x2﹣9=0，∴x2=9，

解得：x1=3，x2=﹣3．

故答案為：x1=3，x2=﹣3．連接中考鞏固練習x1=3，x2=﹣3

C.4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,

x1=;

x2=D.(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-4

1.下列解方程的過程中，正確的是（）A.x2=-2,解方程，得x=±B.(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4

D課堂檢測基礎鞏固題(1)方程x2=0.25的根是

.(2)方程2x2=18的根是

.(3)方程(2x-1)2=9的根是

.x1=0.5,x2=-0.5x1＝3,x2＝-3x1＝2,x2＝－12.

填空:課堂檢測基礎鞏固題3.

下面是李昆同學解答的一道一元二次方程的具體過程，你認為他解的對嗎?如果有錯，指出具體位置并幫他改正.①②③④解：解：不對，從②開始錯，應改為課堂檢測基礎鞏固題解方程解：方程的兩根為課堂檢測能力提升題直接開平方法概念步驟基本思路利用平方根的定義求方程的根的方法關鍵要把方程化成x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0).一元二次方程兩個一元一次方程降次直接開平方法課堂小結第二課時配方法返回化為一般式，得

x2+6x-16=0

要使一塊矩形場地的長比寬多6米，并且面積為16平方米，求場地的長和寬應各是多少？x(x+6)=16導入新知解：設場地寬為xm，則長為（x＋

6）m，根據長方形面積為16m2，列方程得

怎樣解這個方程？能不能用直接開平方法？2.探索直接開平方法和配方法之間的區(qū)別和聯(lián)系.

素養(yǎng)目標1.了解配方的概念，掌握用配方法解一元二次方程及解決有關問題.(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.2.下列方程能用直接開平方法來解嗎?1.用直接開平方法解下列方程:(1)

x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把兩題轉化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用開平方來解.配方法的定義探究新知知識點1你還記得嗎？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=(

)2；(2)a2-2ab+b2=(

)2.a+ba-b探究新知填一填（根據）配方時,等式兩邊同時加上的是一次項系數一半的平方.56你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？二次項系數都為1.探究新知【思考】

怎樣解方程:x2+6x+4=0（1）（1）方程(1)怎樣變成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0

x2+6x=-4移項

x2+6x+9=-4+9兩邊都加上9二次項系數為1的完全平方式：常數項等于一次項系數一半的平方.探究新知（2）為什么在方程x2+6x=-4的兩邊加上9？加其他數行嗎？

提示：不行，只有在方程兩邊加上一次項系數一半的平方，方程左邊才能變成完成平方x2+2bx+b2的形式.探究新知

像上面那樣，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法叫做配方法.配方是為了降次

，把一個一元二次方程轉化成兩個一元一次方程來解.配方法的定義探究新知例1

解方程：解：（1）移項，得x2－8x=－1,配方，得x2－8x+42=－1+42,(x－4)2=15由此可得素養(yǎng)考點1探究新知解二次項系數是1的一元二次方程1.

解方程x2+8x-4=0解：移項，得x2+8x＝4

配方，得x2+8x+42=4+42，

整理，得(x+4)2=20，

由此可得x+4=

，

x1＝

，x2＝.鞏固練習解二次項系數不是1的一元二次方程配方，得由此可得二次項系數化為1，得解：移項，得2x2－3x=－1,例2解方程素養(yǎng)考點2探究新知（1）移項和二次項系數化為1這兩個步驟能不能交換一下呢?配方，得

因為實數的平方不會是負數，所以x取任何實數時，上式都不成立，所以原方程無實數根．解：移項，得二次項系數化為1，得為什么方程兩邊都加12？即探究新知（2）思考1：用配方法解一元二次方程時，移項時要注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步驟.移項時需注意改變符號.①移項，二次項系數化為1；②左邊配成完全平方式；③左邊寫成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.探究新知一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉化成

(x+n)2=p.①當p>0時,則

,方程的兩個根為②當p=0時,則(x+n)2=0,x+n=0,開平方得方程的兩個根為

x1=x2=-n.③當p<0時,則方程(x+n)2=p無實數根.方法點撥探究新知2.解下列方程：鞏固練習解:

移項，得配方，得由此可得二次項系數化為1，得整理，得3x2+6x=4x2+2x=x2+2x+12=+12(x+1)2=即

x+1=±x1=

，

x2=（1）鞏固練習解:移項，得配方，得由此可得二次項系數化為1，得整理，得x1=

，x2=

4x2-6x=3x2-x=（2）鞏固練習解：移項，得∴x取任何實數，上式都不成立，即原方程無實數根．∵對任何實數x都有(x+1)2≥0配方，得x2+2x+1=-2+1整理，得x2+2x=-2(x+1)2=-1（3）鞏固練習解：去括號，得x2+4x=8x+12移項，得

配方，得

由此可得x-2=±4整理，得x2-4x=12(x-2)2=16x1=6,x2=-2x2-4x+22=12+22因此（4）例3

試用配方法說明：不論k取何實數，多項式

k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因為（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.利用配方法確定多項式或字母的值（或取值范圍）素養(yǎng)考點3探究新知方法點撥：證明代數式的值恒為正數,需要利用配方法將代數式化成幾個非負數的和,利用非負數的性質說明代數式的值恒為正數.例例4

若a,b,c為△ABC的三邊長，且

試判斷△ABC的形狀.解：對原式配方，得

根據非負數的性質得

根據勾股定理的逆定理可知，△ABC為直角三角形.

探究新知由此可得

即

鞏固練習1.方程2x2-3m-x+m2+2=0有一個根為x=0，則m的值為（）A.1B.1C.1或2D.1或-22.應用配方法求最大值或最小值.(1)求2x2-4x+5的最小值(2)-3x2+12x-16的最大值.C解：原式=2(x-1)2+3因為2(x-1)2≥0，所以2(x-1)2+3≥3因此當x=1時，原式有最小值3.解：原式=-3(x-2)2-4因為(x-2)2≥0，即-3(x-2)2≤0，所以-3(x-2)2-4≤-4因此當x=2時，原式有最大值-4.

類別解題策略1.求最值或證明代數式的值恒為正（或負）對于一個關于x的二次多項式通過配方成a(x+m)2＋n的形式后，由于x無論取任何實數都有(x+m)2≥0，n為常數，當a＞0時，可知其有最小值；當a＜0時，可知其有最大值.2.完全平方式中的配方如：已知x2－2mx＋16是一個完全平方式，所以一次項系數一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方構成非負數和的形式對于含有多個未知數的二次式的等式，求未知數的值，解題突破口往往是通過配方成多個完全平方式得其和為0，再根據非負數的和為0，各項均為0，從而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,則a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.配方法的應用探究新知鞏固練習1.

一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化為（）

A.(y+)2=1

B.(y-)2=1

C.(y+)2=D.(y-)2=連接中考B課堂檢測1.解方程：4x2-8x-4=0.

解：移項，得4x2-8x=4，基礎鞏固題二次項系數化為1，得x2-2x=1，配方，得x2-2x+1=1+1整理，得（x-1）2=2課堂檢測2.利用配方法證明：不論x取何值，代數式－x2－x－1的值總是