2015年全國(guó)新課標(biāo)2卷高考文科數(shù)學(xué)試題及答案

20152015普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試II卷文科數(shù)學(xué)第一卷、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。(1)已知集合A=?|一1<x<2}B=410<x<3}貝l」AYB=A.(-1，3)B.(-1，0)C.(0，2)D.(2，3)2+i⑵若a實(shí)數(shù)，且=3+i,則a=1+iA.-4B.-3C.3D.4(3)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化碳年排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是逐年比較，2008逐年比較，2008年減少二氧化碳排放量的效果最顯著;2007年我國(guó)治理二氧化碳排放顯現(xiàn)成效；2006年以來(lái)我國(guó)二氧化碳排放量呈減少趨勢(shì)；2006年以來(lái)我國(guó)二氧化碳年排放量與年份正相關(guān)?！?—?―tf—?(4)已知向量a=(0,-1),b=(-1,2),則(2a+b)?a=A.-1B.0C.1D.2⑸設(shè)S是等差數(shù)列ta的前n項(xiàng)和，若a+a+a=3,則S=nn1355A.5B.7C.9D.11(6)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為1B.7C.1D.1B.7C.1D.5(7)已知三點(diǎn)(7)已知三點(diǎn)A(1，0),B(0,3),C(2,3),則AABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為5A.3J21圓心到原點(diǎn)的距離為5A.3J21B.丁4D.3(8)右邊程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”。執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a,b分別為14,18，則輸出的a為A.0B.2C.4D.14⑼A.0B.2C.4D.14⑼已知等比數(shù)列匕｝滿足an1=4(a-1),貝Ua=C42A.2B.1C.2D.(10)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，ZAOB=90。,C為該球面上動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為A.36nB.64nC.144nD.256n(11)如圖，長(zhǎng)方形的邊AB=2,BC=1,O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC,CD，與DA運(yùn)動(dòng)，記ZBOP=x,將動(dòng)點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)距離之和表示為函數(shù)f(x),貝f(x)的圖像大致為BABA(12)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(l+|x|)--,則使得f(x)>f(2x-1)成立的x的范圍是1+X2A.(1，A.(1，-)B.(-?3)丫(1，+Q(-1，1)C.(-3,3)D.(-g,-3)Y(3,+8)第二卷、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分已知函數(shù)f(x)=ax3一2x的圖像過(guò)點(diǎn)(-1,4)，則a=。x+y—5W0,若x,y滿足約束條件<2x—y—1>0,貝Uz=2x+y的最大值為。x—2y+1W0,1已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(4,J,3),且漸近線方程為y=±-x,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(16)已知曲線y=x+Inx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y二ax2+(a+2)x+1相切，則a二三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。(17)(本小題滿分12分)AABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分ZBAC,BD二2DC.(I)求Sn—；(II)若ZBAC二60。,求ZB.sinZC18.(本小題滿分12分)某公司為了了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度的評(píng)分，得到A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布表.頻率A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖組距」0.0400.0350.0300.0250.0200.015—一一0.0100.005「一_——[]O405060708090100滿意度評(píng)分B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表滿意度評(píng)分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)2814106

（I）在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖,并通過(guò)此圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度,（不要求計(jì)算出具體值,給出結(jié)論即可）頻率組距頻率組距0.0350.0300.0250.0200.0150.010B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖0.005B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖（II）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度評(píng)分分為三個(gè)等級(jí):滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級(jí)不滿意、卄-Vr.滿意非常滿意估計(jì)那個(gè)地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大,說(shuō)明理由.19.（本小題滿分12分）如圖,長(zhǎng)方體ABCD-兔BfD中AB=16,BC=10,AA］二8,點(diǎn)E,F分別在AB,DC1111個(gè)正方形.1上,名E二DF=4.過(guò)點(diǎn)e,F分別在AB,DC1111個(gè)正方形.1（I）在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形（不必說(shuō)明畫(huà)法與理由）;（II）求平面a把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.20.（本小題滿分12分）已知橢圓C:+的離心率為密，點(diǎn)C,75）在c上.a2b22（I）求C的方程；（II）直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB中點(diǎn)為M,證明:直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.

21.(本小題滿分12分)已知f(x)=Inx+a(1-x).討論f(x)的單調(diào)性；當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a-2時(shí)，求a的取值范圍.請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講如圖O是等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，OO與△ABC的底邊BC交于M,N兩點(diǎn),與底邊上的高交于點(diǎn)G,且與ABAC分別相切于E,F兩點(diǎn).證明EF//BC.若AG等于00的半徑，且AE=MN=2、；'3,求四邊形EDCF的面積.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程Ix=tcosa,小小在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci：］y=tsina,(t為參數(shù)，且t豐0)，其中0"＜兀，在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C:p=2sin0,C:p=2j3cos0.23求C與C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；23若C1與C相交于點(diǎn)A,C］與C相交于點(diǎn)B,求IAB最大值.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式證明選講設(shè)a,b,c,d均為正數(shù)，且a+b=c+d.證明:若ab>cd，則苗+4b>4c+4d；丁匸+Jb>4c是|a-b\<|c-d|的充要條件.20152015普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試II卷文科數(shù)學(xué)答案20152015普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試II卷文科數(shù)學(xué)答案一、選擇題1、選A2、解：因?yàn)?+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,所以a=4.故選D3、選D4、選B5、解：在等差數(shù)列中，因?yàn)閍+a+a=3,所以a=1,S==5a=5,故選A.13535236、解：如圖所示，選D.7、解：根據(jù)題意，三角形ABC是等邊三角形，設(shè)2羽外接圓的圓心為D,則D(1，丁)所以，OD|'7<21「3=丁.故選B.8、解：18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2,4-2=2，所以a=b=2，故選B.9、=4(a4-D'所以'a2=4(a—1),解得a=2,又a=aq3，所以q=2,所以a=aq=x2=.故選c.44441214210、解：因?yàn)锳,B都在球面上，又/A0B=90。,C為該球面上動(dòng)點(diǎn)，所以三棱錐的體積的最大值為萬(wàn)x—R2xR=—R3=36，所以R=6，所以球的表面積為326S=4皿R2=144n,故選C.11、解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在Bc上時(shí)，0ZBOP=x,PB=tanx,PA=、‘4+tan2x,IPA+PB=tanx+\；4+tan2x,當(dāng)x=時(shí)取得最大值1+75，4以A,B為焦點(diǎn)C,D為橢圓上兩定點(diǎn)作橢圓，顯然，當(dāng)點(diǎn)P在C,D之間移動(dòng)時(shí)PA+PBvl+、§.又函數(shù)f(x)不是一次函數(shù)，故選B.12、解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln(1+|xI)——,是偶函數(shù)，xe[0,+s)時(shí)函數(shù)是增函數(shù)1+x2110f(x)>f(2x-1)|x|>|2x-1|,「.x2>(2x-1)2,解得1<x<1.故選A.二、填空題13、答：a=-214、解：當(dāng)x=3,y=2時(shí)，z=2x+y取得最大值8.15、解：設(shè)雙曲線的方程為x2-4y2=k(k豐0),點(diǎn)(4,,3)代入方程，解得k=4..雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二-y2=1416、解：y'=1+切線的斜率為2,切線方程為y=2x-1.x將y=2x-1與y=ax2+(a+2)x+1聯(lián)立得ax2+ax+2=0,由A=a2—8a=0,解得a=8或a=0.a=0時(shí)曲線為y=2x+1與切線平彳丁，不符。所以a=8.四、解答題17、解：(1)由正弦定理得sn^B=ABsinZCABAC再由三角形內(nèi)角平分線定理得-DCBDAC再由三角形內(nèi)角平分線定理得-DCBDsinZB=1sinZC2(II)0ZBAC=60。,???ZB+ZC=120。?/R1由⑴得sn—=sinZC=2sinZB,.sin(120o-ZB)=2sinB,展開(kāi)得sinZC2tanZB=「ZB330。tanZB=「ZB330。.頻率18、解：(1)B地區(qū)頻率分布直方圖如圖所示B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖組距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005O5060708090100滿意度評(píng)分比較A,B兩個(gè)地區(qū)的用戶，由頻率分布直方圖可知：A地區(qū)評(píng)分均值為45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5分B地區(qū)評(píng)分均值為55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5分A地區(qū)用戶評(píng)價(jià)意見(jiàn)較分散，B地區(qū)用戶評(píng)價(jià)意見(jiàn)相對(duì)集中。(2)A地區(qū)的用戶不滿意的概率為0.3+0.2+0.1=0.6,

B地區(qū)的用戶不滿意的概率為0.05+0.20=0.25，所以A地區(qū)的用戶滿意度等級(jí)為不滿意的概率大。19、解：(I)在AB上取點(diǎn)M,在DC上取點(diǎn)N,使得AM=DN=10,然后連接EM,MN,NF,即組成正方形EMNF,即平面a。(II)兩部分幾何體都是高為10的四棱柱，所以體積之比等于底面積之比,即S4+107=AMEA1_==—S6+129EMBB1c邁20、解、(I)如圖所示，由題設(shè)得一=,a242又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓的方程，所以——+廠=1，a2b2聯(lián)立解得：y2a2二8,b2y2a2二8,b2二4,所以切線C的方程為嚀+匚=x,y)，11(x,y),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,x,y)，1122om貝l」x2+2y2=&x2+2y2=&1122上面兩個(gè)式子相減得：、.一y—y1x+XTOC\o"1-5"\h\z2(y2—y2)+(x2—x2)二0.變形得一1二一1—22121x—x2y+y21122mmX==—2n22mmX==—2n2nk-k=，lom1X=(一)X=——.(定值)x—xm2nm22121、解：已知f(x)=Inx+a(1—x).(1)0f'(x)=1—a.x當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+s)上是增函數(shù)；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在(丄,+^)上是減函數(shù).aa(II)由(1)知，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(x)在x=-時(shí)取得最大值f(丄)=a—1—Ina.aa由a—1—lna>2a—2,理^得lna+a—1<0.

1設(shè)g(x)=Inx+x一1,貝則g(x)=1+,0a>0x>0,「.g'(x)>0,g(兀)在(0,+x)是增x函數(shù)。又g(1)二0,上述不等式即g(A)<g⑴,.0<A<1,即AG(0,1).選做題：22、(I)證明：由切線的性質(zhì)得AE=AF，所以△AEF是等腰三角形,又AB=AC,AEAF所以——=——,???ZAEF=ZABCEF〃BC.ABAC(II)解：.S四邊形EBCFxsin60。一xsin60。=連接OE,則OE丄AE,0AG.S四邊形EBCFxsin60。一xsin60。=:.OA=2R,?4R2=R2+(2^3)2,?R=2,?OM=20MD=2MN=、3,??0DJAD2R+15，??ABcos30。疔0OE丄AB,?ABAD=30。，ABAC=60。?AABC,AAEF都是等邊三角形.Ix=Tcosa,小小23?在直角坐標(biāo)系x0Y中'曲線c1：L=Tsina，“為參數(shù)'且T豐0)，其中0"＜兀,在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C:p=2sin0,C:p=2x/3cos0.23⑴求q與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo);(II)若q與J相交于點(diǎn)A,q與C相交于點(diǎn)B,求|AB\最大值.解：⑴曲線C2：p=2sin0,C3：P=2壓0s0.的直角坐標(biāo)方程是JC1：X2+Y2-Y=0；C2：X2+Y2-^3X=°TOC\o"1-5"\h\z,3Lx=0,VYx=0,VY=0.2?c,C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)、(二，-).31222Y=■2(II)曲線C］的極坐標(biāo)方程為p=a(pGR,pz0,0<a<k).=4sin(a-罟).因此點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2sina,a),點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(2A/3cosa=4sin(a-罟).所以|AB\=2sina-2j3cosa???當(dāng)a=辛?xí)r,|AB|取得最大值，最大值為4.24、證明：(I)因?yàn)閍+、：b)2=a+b+2\：ab,(c十*d'=c+d+2、】cd,由題設(shè)知a