湖南省長(zhǎng)沙市第十九中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

湖南省長(zhǎng)沙市第十九中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)=（）A．i B．﹣i C．1﹣i D．1+i參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】按照復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，分子分母同乘以1+i，計(jì)算化簡(jiǎn)即可．【解答】解：==i．故選A．2.點(diǎn)M(x0，y0)是圓x2+y2=r2內(nèi)圓心以外的一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=r2與該圓的位置關(guān)系是（

）（A）相切

（B）相交

（C）相離

（D）相切或相交參考答案：C3.從一樓到二樓的樓梯共有級(jí)臺(tái)階，每步只能跨上1級(jí)或2級(jí)，走完這級(jí)臺(tái)階共有種走法，則下面猜想正確的是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A4.兩圓相交于兩點(diǎn)（k，1）和（1，3），兩圓的圓心都在直線x﹣y+=0上，則k+c=（）A．﹣1 B．2 C．3 D．0參考答案：C【考點(diǎn)】JE：直線和圓的方程的應(yīng)用．【分析】由相交弦的性質(zhì)，可得AB與直線x﹣y+=0垂直，且AB的中點(diǎn)在這條直線x﹣y+=0上；由AB與直線x﹣y+=0垂直，可得為﹣1，解可得k的值，即可得A的坐標(biāo)，進(jìn)而可得AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線方程可得c=0；進(jìn)而將k、c相加可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由相交弦的性質(zhì)，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，設(shè)A（k，1）和B（1，3），可得AB與直線x﹣y+=0垂直，且AB的中點(diǎn)在這條直線x﹣y+=0上；由AB與直線x﹣y+=0垂直，可得=﹣1，解可得k=3，則A（3，1），故AB中點(diǎn)為（2，2），且其在直線x﹣y+=0上，代入直線方程可得，2﹣2+c=0，可得c=0；故k+c=3；故選：C．5.與直線3x-4y+5=0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為(

)A．3x-4y-5=0

B.3x+4y+5=0C．3x-4y+5=0

D.3x-4y-5=0參考答案：B6.過橢圓內(nèi)的一點(diǎn)P（2，﹣1）的弦，恰好被P點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是(

)A．5x﹣3y﹣13=0 B．5x+3y﹣13=0 C．5x﹣3y+13=0 D．5x+3y+13=0參考答案：A考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；中點(diǎn)坐標(biāo)公式．專題：計(jì)算題．分析：設(shè)過點(diǎn)P的弦與橢圓交于A1，A2兩點(diǎn)，并設(shè)出他們的坐標(biāo)，代入橢圓方程聯(lián)立，兩式相減，根據(jù)中點(diǎn)P的坐標(biāo)可知x1+x2和y1+y2的值，進(jìn)而求得直線A1A2的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線的方程．解答：解：設(shè)過點(diǎn)P的弦與橢圓交于A1（x1，y1），A2（x2，y2）兩點(diǎn)，則，且x1+x2=4，y1+y2=﹣2，∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，∴kA1A2==．∴弦所在直線方程為y+1=（x﹣2），即5x﹣3y﹣13=0．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系．涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化7.如圖是一個(gè)商場(chǎng)某一個(gè)時(shí)間制定銷售計(jì)劃時(shí)的局部結(jié)構(gòu)圖，則“計(jì)劃”受影響的主要要素有A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

（

）參考答案：C略8.甲、乙兩顆衛(wèi)星同時(shí)監(jiān)測(cè)臺(tái)風(fēng)，根據(jù)長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)得知，甲、乙預(yù)報(bào)臺(tái)風(fēng)準(zhǔn)確的概率分別為0.8和0.75.則在同一次預(yù)報(bào)中，甲、乙兩衛(wèi)星只有一顆預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率（）學(xué)A．

0.15

科網(wǎng)B．0.35

C．0.40

D．0.6

參考答案：B9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是()A．

B．

C．

D．參考答案：B10.在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到為鈍角的結(jié)論，三邊應(yīng)滿足的條件是：A.

B

C

D

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x﹣4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|=2|MO|，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為．參考答案：[0，]【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】設(shè)M（x，y），由MA=2MO，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點(diǎn)M的軌跡為以（0，﹣1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據(jù)兩圓的半徑長(zhǎng)，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．【解答】解：設(shè)點(diǎn)M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化簡(jiǎn)得：x2+（y+1）2=4，∴點(diǎn)M的軌跡為以（0，﹣1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，又∵點(diǎn)M在圓C上，∴圓C與圓D的關(guān)系為相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，化簡(jiǎn)可得0≤a≤，故答案為：[0，]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的判定，兩點(diǎn)間的距離公式，圓和圓的位置關(guān)系的判定，屬于基礎(chǔ)題．12.已知P(4,2)是直線l被橢圓截得線段的中點(diǎn),則直線l的方程為_______參考答案：試題分析：由題意得，斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y-2=k（x-4），即kx-y+2-4k=0，代入橢圓的方程化簡(jiǎn)得

（1+4k2）x2+（16k-32k2）x+64k2-64k-20=0，∴，解得k=-，故直線l的方程為

x+2y-8=01考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系13.設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)且前項(xiàng)和為.已知向量，滿足，則__________．參考答案：

2略14.拋物線形拱橋，當(dāng)水面離拱頂2米時(shí)，水面寬4米，若水面下降1米后，則水面寬是

米參考答案：15.已知，則的值為__________.參考答案：8略16.已知（x+a）2（x﹣1）3的展開式中，x4的系數(shù)為1，則a=

．參考答案：2【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】由（x+a）2（x﹣1）3=（x2+2ax+a2）（x3﹣3x2+3x﹣1），求出它的展開式中x4的系數(shù)即可．【解答】解：（x+a）2（x﹣1）3=（x2+2ax+a2）（x3﹣3x2+3x﹣1），所以它的展開式中，x4的系數(shù)為：﹣3+2a=1，解得a=2．故答案為：2．17.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

．參考答案：1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.2017年“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多．某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能囁?km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）調(diào)查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？（2）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的估計(jì)值；（3）若從車速在[60,70)的車輛中任抽取2輛，求車速在[65,70)的車輛至少有一輛的概率．參考答案：（1）系統(tǒng)抽樣．

……………1分（2）眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)，即

……………2分設(shè)圖中虛線所對(duì)應(yīng)的車速為，則中位數(shù)的估計(jì)值為：，解得即中位數(shù)的估計(jì)值為．

……………4分平均數(shù)的估計(jì)值為：

……………6分（3）車速在的車輛數(shù)為：2車速在的車輛數(shù)為：4

……………8分設(shè)車速在的車輛為，車速在的車輛為，則基本事件有：共15種，其中，車速在的車輛至少有一輛的事件有：……………10分共14種，所以車速在的車輛至少有一輛的概率為

…………….12分19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：AE⊥平面PBC；（Ⅱ）若AD=1，求二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，從而AE⊥PB．由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，由此能證明AE⊥平面PBC．（Ⅱ）由BC⊥平面PAB，AD⊥AE．取CE的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，連結(jié)BF，則∠BFD為所求的二面角的平面角，由此能求出二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：如圖1，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，故△PAB為等腰直角三角形，而點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，所以AE⊥PB．由題意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE．因?yàn)锳E⊥PB，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE．在Rt△PAB中，PA=AB=，AE=PB==1．從而在Rt△DAE中，DE==．在Rt△CBE中，CE==，又CD=，所以△CED為等邊三角形，取CE的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，則DF⊥CE，∵BE=BC=1，且BC⊥BE，則△EBC為等腰直角三角形，連結(jié)BF，則BF⊥CE，所以∠BFD為所求的二面角的平面角，連結(jié)BD，在△BFD中，DF=CD=，BF=，BD==，所以cos∠BFD==﹣，∴二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值為﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．20.已知圓C過點(diǎn)A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圓心在直線x+y﹣2=0．（1）求圓C的方程；（2）求過點(diǎn)N（3，2）且與圓C相切的直線方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）求出圓心坐標(biāo)、半徑，即可求圓C的方程；（2）分類討論，利用d=r，即可求過點(diǎn)N（3，2）且與圓C相切的直線方程．【解答】解：（1）由題意知，圓心在線段AB的中垂線上，又QkAB=﹣1，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），則AB的中垂線方程為y=x．聯(lián)立得圓心坐標(biāo)為（1，1），半徑．所求圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y﹣2=k（x﹣3）與圓相切，由d=r得，解得．所以直線方程為3x+4y﹣17=0．又因?yàn)檫^圓外一點(diǎn)作圓的切線有兩條，則另一條方程為x=3也符合題意，綜上，圓的切方程為3x+4y﹣17=0和x=3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．21.如圖，在四棱柱中，側(cè)棱，，，，，，．（Ⅰ）求證：（Ⅱ）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值；（III）現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼接成一個(gè)新的棱柱，規(guī)定：若拼接成的新的四棱柱形狀和

大小完全相同，則視為同一種拼接方案．問：共有幾種不同的方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的表達(dá)式（直接寫出答案，不必要說明理由）參考答案：，

略22.已知函數(shù)f（x）=axlnx（a≠0，a∈R）（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，不等式＜lnx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為a＞（）max或a＜＞（）min，解出即可．【解答】解：（1）函數(shù)f（x的定義域?yàn)椋?，+∞）．因?yàn)閒′（x）=a（lnx+1），令f′（x）=0，解得x=．①當(dāng)a＞0時(shí)，隨著x變化時(shí)，f（x）和f′（x）的變化情況如下：x（0，）（，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↘

↗即函數(shù)f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增．②當(dāng)a＜0時(shí)，隨著x變化時(shí)，f（x）和f′（x）的變