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文檔簡介
電路分析基礎(chǔ)——第三部分:第13章第13章電路的頻率響應(yīng)1
再論阻抗和導(dǎo)納5RLC電路的頻率響應(yīng)諧振2
正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)6波特圖正弦穩(wěn)態(tài)的疊加平均功率的疊加7波特圖(續(xù))電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-51/2613-5
RLC電路的頻率響應(yīng)
諧振內(nèi)容回顧圖8-3i(t)uC–LC+ uL
-
+–uR++–
uoc(b)RLC串聯(lián)電路對于圖8-3所示電路,根據(jù)KVL,可得Lu +
u +
u =
uR
C
ocd2uCdt2LCduC+
RC
dt+
uC
=
uoc
(8-10)求解該就能得到uC(t)。根據(jù)微分方程理論,此類方程的解答的形式,取決于特征方程根的性質(zhì)。(8-12)式的特征方程為(8-13)s2
+
R
s+
1
=0L
LC該方程有兩個根,即LC
1
R2L(
)2–s1,
2
= –
R
±2L(8-14)特征根也即電路的固有頻率,它將確定零輸入響應(yīng)的形式。電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-5
2/26(1)
當(dāng)2L由于R、L、C的數(shù)值不同,固有頻率
s1
和s2
可以有三種情況:21
2時,s
,
s
為不相等的負實數(shù);
R2L(
)(
)2=1
2時,s
,
s
為相等的負實數(shù);
R
>
1
LC
1
LC
1
LC
R2L(
)2<(2)
當(dāng)(3)
當(dāng)1
2時,s
,
s
為共軛復(fù)數(shù),實部為負數(shù)。當(dāng)
1
LCR2L(
)2<2時,亦即R <
4
L時,固有頻率為共軛C
復(fù)LC數(shù),可表示為s1,2
=
–(
)R
2
–
1
2L
R2L
±LC1R2L±
j()2–=
–
R2L= –
±
j
d(8-32)電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-5其中=
R2L3/26(8-33)d
=LC1R2L2–
()
0=
2
–2(8-34)0
=
1
LC衰減因子或衰減系數(shù):=L/2R
稱為衰減因子,
越大,衰減震蕩的振幅衰減的就越快,反之則越慢。震蕩角頻率:d
稱為震蕩角頻率,d
越大,衰減震蕩的震蕩速度就越快,震蕩周期越小,反之則速度越慢、周期越大。包絡(luò)線(envelope):
圖中按
±Ke
–t
變化的細虛線,
將震蕩曲線在中間,其衰 度取決于
。等幅震蕩(諧振):當(dāng)電路中電阻為零時,=0,包絡(luò)線±Ke
–
t
變成±K
兩條與t
軸平行的直線,震蕩變成幅度恒定的等幅震蕩(諧振)。能量在L、C之間無損失地交換。電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-54/26此時,以上所推導(dǎo)的參數(shù)變成:LC
1
=
0,d
=
0
=;uC(0)
=
K1,K2
=iL(0)0CuC(t)
和iL(t)
變成:uC(t)
=
uC(0)
cos
0t
+
L
sin
0ti
(0)(8-42)(8-43)0CiL(t)
=
iL(0)
cos
0t
–
uC(0
)
0C
sin
0t此時,對任意的L、C值,總能量為:22w(t)
=
1
Cu2(t)
+
1
Li2(t)22(8-44)=
1
Cu2(0)
+
1
Li2(0)
=
w(0)諧振角頻率:當(dāng)電路等幅震蕩時的角頻率0
=1/LC,稱為諧振(resonant)角頻率,是電路的固有頻率(s=j
0)。電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-55/26RLC的頻率響應(yīng):圖13-26所示電路的電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)為–CR?–?+U2+
LU1U1?2?
=U
Z
2Z1
+
Z2Au=Z1
= jL
–
j
1
,Z2
=R=RC+j(2LC
–
1)R
+jL
–j
CC
R
1
=(1–
2LC)
+
jRCRC(1–2LC)2+2R2C2
jRC
=
RC
90°–arctg
RC
1–2LC2R2C2+(2LC–1)2=
RC
=
RC
arctg
1–2LC2R2C2+(2LC–1)2|Au
|
=
RC
=0或,|Au
|=0;2LC–1=0,|Au
|
=1LC=
0
=
1
諧振頻率點由2LC–1=
0,可得電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-5
6/26半功率頻率點:當(dāng)輸出功率下降為輸入功率的一半時的頻率點,稱為通帶截止頻率。根據(jù)定義,可得2R2C2+(2LC–1)2u|A |2
=2R2C22=
1即2R2C2
=(2LC–1)22LC–1
=
±RC,RC
–1
=
02LC±2±L
R
–
1
=0LC±
R
=
±
2LLCR2L)2+
1
(|
Au
|1.00.80.60.40.20.707201u|A |
=
RC
O下截止頻率上截止頻率通帶BW=2
–12R2C2+(2LC–1)2諧振頻率中心頻率電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-5
7/26考慮到
必須為正,由此可得上下半功率頻率點為
1 =–
R
+2LR
1
2L
LC2+(2+ =
RR
1
2L
LC
2L)
)2+(通帶帶寬:介于上下半功率頻率點之間、|Au
|
幅度大于0.7071
的范圍稱為通帶,上下半功率頻率差稱為通帶帶寬,簡稱帶寬,英語bandwidth,縮寫B(tài)W。2
1BW
=
–
=
RL即
帶寬BW與電路參數(shù)R、L有關(guān)。準(zhǔn)確地說,與R
成正比,與L
成反比。品質(zhì)因數(shù):用于衡量幅頻特性的邊沿(上升沿或下降沿)陡峭
程度(sharpness)的參數(shù),記為Q
。數(shù)值上等于中心頻率除以帶寬2
–
1Q
=
=0LC1即
0
=
0L
=
LBW
R
R=C1R0RC
LC=
1
=
|XL(0)|
=
|XC(0)|R
R電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-58/26諧振的物理意義:對于圖13-25所示的RLC串聯(lián)電路,其輸入阻抗為CZ(j)
=
R
+j(L
–1
)10C0
0Z(j
)
=
R
+j(
L
–)=
R
+j(LC
C–
L
)
=
RUL
=
0LI
=
U1R0L
=QU1C=
QU1U10C
0RCU =
I
=即RLC
串聯(lián)等效為一個電阻,電容和電感的作用互相抵消,此時回路電流達到最大。此時電路所處的狀態(tài)稱為諧振。電阻電壓等于輸入電壓,而電容、電感上的電壓為一般Q>>1,所以電感和電容上的電壓比電阻上的大得多。器件的品質(zhì)因數(shù):
在第六章中已經(jīng)知道,實際電感器和電容器,除了存在電感和電容等物理性質(zhì)外,還有其他成分,如分布電阻等。某個頻率下,由該器件本身的電抗與電阻之比稱為該器件的品質(zhì)因數(shù),或該器件的Q
值。U1ULUC???電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-59/26電感器的Q
值:實際電感器模型如右圖b、c所L
L示。R
、C
代表電感L的分布電阻和分布電容。b
模型的Q值:LRL
RLQ
=
XL()
=圖6-28L(a)(b)電感線圈模型(c)LCLLRLRLL”LRLCLR”Lc
模型的Q值:c
模型的計算需先計算等效阻抗,根據(jù)11
章中串/并變換,可得CLL’R’L電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-510/26G’
=R2L
+2L2RLR2L+2L2B’
=
–L
G
=G’
=R2L+
2L2RLR2L+2L2B
=
B’
+
BC
=
CL
–
L
RLR”
R”Q
=
X”()
=
L”
=
CL(R2L+2L2)–
LG2
+
B2G2
+
B2c
模型的Q
值為R”
=
G
=X”
=L”
=
–B
=RL1–2
2LCL+CL(R2L+2L2)CL(R2L+2L2)–
L1–2
2LCL+CL(R2L+2L2)對絕大部分應(yīng)用,b
模型就足夠了,c
模型一般很少使用。因此,一般講的電感Q
值都是指b模型,一般數(shù)值在幾十至幾百之間。電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-511/26圖6-29C電容器的Q
值:實際電容器模型如右圖b、c所示。GC、LC代表電容C的分布電阻和分布電感。b
模型的Q值:在求取該模型Q
值時,必須(a)先將該模型轉(zhuǎn)換為串聯(lián)形式。(c)C
CLCG(b)電容器的模型GCCGCCC’R’C=G2C
+
2C2GC
–C
X’
=
G2C+
2C2’RCR’CGCGCQ
=
|X’()|
=
C
=
B()電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-5
12/26c
模型的Q
值:在求取該模型Q
值時,必須先將該模型轉(zhuǎn)換為串聯(lián)形式。LCC’R’CCLCG
CR’C=G2C+2C2GCX”
=
X’
+
LC
=Q
=R’CGC|X”()|
=
|LC(G2C+2C2)
–
C|=
–C
+LCG2C+2C2同樣道理,對絕大部分應(yīng)用,b模型就足夠了,c模型一般很少使用。因此,一般 講的電容
Q
值都是指
b模型,電容的漏電阻比電感分布電阻大得多,所以,其
Q值也要大得多,一般數(shù)值都在幾千以上。電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-5
13/26arctg
xO°xRC180或
=
arctg
1–2LC
RC
1–2LC
=
90°–arctg=
0,
=
90°;=
,
=
–
90°;2LC–1=
0,
=
0
90
°RLC相位特性:下面 關(guān)注一下RLC有關(guān)諧振情況的相位。按照書上的相位特性公式(下面第一個結(jié)果),大家容易犯錯誤,當(dāng)=,后面arctgx
項中的x=0,大家會毫不猶豫的認為arctg
x=0,所以=90°,實際上因為x<0,所以
arctg
x=180°,即=–90°,如下圖所示;按照下面第二個結(jié)果,則不會犯錯誤。電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-514/260145°290°60°30°O–45°–30–°
60–°
90°電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-515/26RLC電路相量隨頻率變化過程:IULUC????URU1?IULUC???UR??U1UL?UCUL???UR
I??UCU1?電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-516/26帶寬BW與品質(zhì)因數(shù)Q
的關(guān)系:2
1Q
=
BW
=
–0
0BW=
0QBW
與Q
成反比:Q↑→BW↓,Q↓→
BW↑即Q?BW=0O|
Au
|1.00.80.60.40.20.707201Q小Q大電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-517/26相位曲線線性頻率范圍與品質(zhì)因數(shù)Q
的關(guān)系:根據(jù)RLC
相位特性曲線圖:在±30°范圍內(nèi),線性度最好,非線性度<0.5%;在±45°范圍內(nèi),線性度很好,非線性度<1%;在±60°范圍內(nèi),線性度較好,非線性度<5%?!?/p>
與
Q
成反比:Q↑
→ BW↓→
△↓Q↓
→BW↑→
△↑線性頻率動態(tài)范圍:在±30°范圍內(nèi),動態(tài)范圍<BW;在±
45°范圍內(nèi),動態(tài)范圍=BW;在±60°范圍內(nèi),動態(tài)范圍>BW。記為:△=kBW=
k
0Q電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-518/260145°290°60°30°O–°–30–°
60–°
90°Q小45Q大電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-5
19/26品質(zhì)因數(shù)Q的選取原則:用于頻率選擇、固定頻率震蕩或窄帶濾波時,Q
值應(yīng)大;用于帶通濾波時,Q
值應(yīng)根據(jù)實際帶寬等需要選擇;用于寬帶濾波、調(diào)頻解調(diào)、相位解調(diào)時,Q
值應(yīng)小。例13-14
設(shè)計一
RLC串聯(lián)電路,要求諧振頻率104Hz,通帶100Hz。串聯(lián)電阻及負載電阻為10
和15
。R
=
10+15
=
25L
=
Q?R=
f
0f2
–
f1=
100×20
52×1=
3.98×10–2
H=
39.8解:電路總電阻電路Q
值所需電感Q
=BW2
–
1=0
0=
1000RQ2×104×100×=
04=
6.3662×10–295F
=
6.3662×10–3
μF=
6366.2pF所需電容C=
1
1mH電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-5
20/26例13-15
試證
Q
串聯(lián)諧振電路的諧振頻率近似為通頻帶中心頻率。解:中心頻率的定義:通帶中點的頻率稱為中心頻率。即c
=2
+
12=0R02
L)02
+
2=R
1
2L
LC)
(2+(12Q)2+
1(=
0≥0
1當(dāng)Q>>1時,2Q<<1時,因此,c
≈0實際上,c
和0
都稱為中心頻率。而c
稱為代數(shù)中心,0稱為幾何中心,在數(shù)學(xué)上分別定義為c
= +
2
120
=21
≤
c對絕大部分應(yīng)用,Q>>1,因此總有c
≈0,兩者可以說是一會事。電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-521/26其他形式的RLC電路的特性(一)RLC
串聯(lián)電路從電容輸出的頻率特性。U1?U2?=Z2Z1
+
Z21Z =
R
+jL
,uA
==
C
RC+j(2LC
–
1)CR
+jL
–j
1=(1–
2LC)
+
jRCRC(1–2LC)2+2R2C21–2LC
1
=
1
–arctg
RC
2R2C2+(2LC–1)2–CR?+U1–?+U2LZ2
=
–
j
1
C–j
1
= –j
=
1
arctg
1–2LC
–
90°|Au
|
=
1
令d|Au
|
=
0,得dtm
=1RL2–(
)1LC
2≤02R2C2+(2LC–1)2R2C2
–
LC(1–2LC)
=
0電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-522/26u
m40L1)21–(|A
(j )|
=
1
=
1
4LLR2C
(1
–
R2C)0LR0RC
(1
–
R0RC)Q24Q2
2Q1
)1
(1
–=
1
=
Q
≥QRC
=
arctgRC1–2LC–
90°或
=
–arctg1–2LC
=
0,
=
–
90°;
=
,
=
90°;
2LC–1=
0,
=
0相位特性與從電阻R
輸出時相反。C–RU1?(二)RLC
串聯(lián)電路從電感輸出的頻率特性。+–?+U2L
1
Z1
=
R
–
j
C
,
Z2
=jL電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-523/26U1?U2?=Z2Z1
+
Z2uA
===R
+jL
–j
1==RC=(1–2LC)2+2R2C2RC1–2LCarctg
1–2LC90°
–arctg
jL
2LCC2LCRC+j(2LC
–
1)j2LC2R2C2+(2LC–1)22LC2R2C2+(2LC–1)2u|A |
=令d|Au
|
=
0,得dtm
=
02Q2≥0(1–
2LC)
+
jRC2LC[R2C2
–
LC(1–2LC)]
–
2[2R2C2+(2LC–1)2]
=
022Q4Q21–
6
3
–
1
±1 +
1≈0
3
±12
2m1
=
0或
m2
= 2
0電路分析基礎(chǔ)——第三部分:13-5
24/26u|A
(jm1L)|
=
1
=QR2Cu
m2LR2C
+11+Q2|A
(j )
|
=
2
=
2Q
≈2arctg
1–2LCRC1–2LC=
90°–arctg
RC
或=
=
0,
=
90°;
=
,
=
–
90°;
2LC–1=
0,
=
0相位特性與從電阻R
輸出時相位一致。(三)電流源激勵下RLC
并聯(lián)電路的頻率特性。I1U2?YLG
+jC
–j
1
ZT(j)
=
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