2022年秋高中數學第四章概率與統(tǒng)計4.2隨機變量4.2.5正態(tài)分布課后習題新人教B版選擇性必修第二冊

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關鍵能力提升練7.已知X~N(4,σ2),且P(X≤2)=0.3,則P(X<6)=()A.0.3 B.0.4 C.0.85 D.0.78.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,則P(-2<ξ<1)=()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.69.(多選題)甲、乙兩類水果的質量(單位:kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ2A.甲類水果的平均質量μ1=0.4kgB.甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右C.甲類水果的平均質量比乙類水果的質量小D.乙類水果的質量服從正態(tài)分布的參數σ2=1.9910.(多選題)4月23日為世界讀書日,已知某高校學生每周閱讀時間X服從正態(tài)分布X~N(9,4),則()A.該校學生每周平均閱讀時間為9小時B.該校學生每周閱讀時間的標準差為4C.該校學生每周閱讀時間少于3小時的人數約占0.3%D.若該校有10000名學生,則每周閱讀時間在3~5小時的人數約為215(附:X~N(μ,σ2),P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.)11.若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(9,16),則μ+σ=,P(-3≤ξ≤13)=.

參考數據:若ξ~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997.12.研究某市某種作物,其單株生長果實個數ξ服從正態(tài)分布N(90,σ2),且P(ξ<70)=0.1,從中隨機抽取10株,果實個數在[90,110]的株數記作隨機變量X,假設X服從二項分布,則X的方差為.

學科素養(yǎng)創(chuàng)新練13.為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程,檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據長期生產經驗,可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設生產狀態(tài)正常,記X表示一天內抽取的16個零件中尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件數,求P(X≥1)及X的數學期望;(2)一天內抽檢零件中,如果出現了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查,試用所學知識說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性.附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997,0.99716≈0.9531.14.某高校為了解全校學生的閱讀情況,隨機調查了200名學生每周閱讀時間X(單位:小時)并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求這200名學生每周閱讀時間的樣本平均數x和樣本方差s2(同一組中的數據用該組區(qū)間的中間值代表);(2)由直方圖可以認為,目前該校學生每周的閱讀時間X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數x,σ2近似為樣本方差s2.①一般正態(tài)分布的概率都可以轉化為標準正態(tài)分布的概率進行計算:若X~N(μ,σ2),令Y=X-μσ,則Y~N(0,1),且P(X≤a)=PY≤a-μσ.利用直方圖得到的正態(tài)分布,求②從該高校的學生中隨機抽取20名,記Z表示這20名學生中每周閱讀時間超過10小時的人數,求P(Z≥2)(結果精確到0.0001)以及Z的數學期望.參考數據:178≈403,0.773419≈0.0076.若Y~N(0,1),則P(Y≤0.75)=0參考答案4.2.5正態(tài)分布1.C因為x=μ為其對稱軸,所以μ=0.2.A由P(ξ<3)=0.84?P(ξ≥3)=1-0.84=0.16,因為正態(tài)分布N(2,σ2)的對稱軸為x=2,所以P(ξ≤1)=P(ξ≥3)=0.16.故選A.3.D由圖象知甲、乙、丙三科的平均分一樣,但標準差不同,σ甲<σ乙<σ丙.故選D.4.A由于機器零件的尺寸服從正態(tài)分布,根據正態(tài)分布的3σ原則,有99.7%的產品只存在[μ-3σ,μ+3σ]內,所以不屬于[μ-3σ,μ+3σ]這個尺寸范圍的零件個數可能為1000×0.3%=3,故選A.5.A因為隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),由正態(tài)分布的對稱性知,P(0<ξ≤1)=P(1≤ξ<2),又P(ξ≥1)=12,P(ξ≥1)=P(1≤ξ<2)+P(ξ所以a+1-3a=12,解得a=14,從而P(ξ≤0)=P(ξ≥2)=14,6.①③如果隨機變量X服從N(108,100),那么X的期望是108,標準差是10,故②是假命題,其余都是真命題.7.D因為X~N(4,σ2),正態(tài)曲線的對稱軸為x=4,因為P(X≤2)=0.3,所以P(X≥6)=P(X≤2)=0.3,所以P(X<6)=1-P(X≥6)=1-0.3=0.7.故選D.8.C由題意可知μ=1,正態(tài)曲線關于x=1對稱,P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.1,根據對稱性可知,P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.1,P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ≤-2)=0.5-0.1=0.4.故選C.9.ABC由圖象可知,甲類水果的平均質量μ1=0.4kg,乙類水果的平均質量μ2=0.8kg,故A,C正確;甲圖象比乙圖象更高瘦,所以甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右,故B正確;乙類水果的質量服從的正態(tài)分布的最大值為1.99,即1σ22π=1.99,σ2≠1.99,故故選ABC.10.AD因為μ=9,σ=2,所以平均數是9,標準差為2,A正確,B不正確;因為P(7≤X≤11)≈0.683,P(5≤X≤13)≈0.954,P(3≤X≤15)≈0.997,結合正態(tài)曲線的對稱性可得,該校學生每周閱讀時間少于3小時的人數約占1-P(3≤X≤15)2≈1-0.99720.0215×10000=215,所以D正確.故選AD.11.130.84依題意,ξ~N(9,42),其中μ=9,σ=4,∴μ+σ=13,故P(-3≤ξ≤13)=P(μ-3σ≤ξ≤μ+σ)=P(μ-3σ12.2.4因為ξ~N(90,σ2),所以P(90≤ξ≤110)=12-P(ξ>110),而P(ξ>110)=P(ξ<70)=0.1所以P(90≤ξ≤110)=0.4,而X~B(10,0.4),所以D(X)=10×0.4×0.6=2.4.13.解(1)由題可知尺寸落在[μ-3σ,μ+3σ]之內的概率約為0.997,則落在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率為1-0.997=0.003,因為P(X=0)=C160×(1-0.997)0×0.99716所以P(X≥1)=1-P(X=0)=0.0469,又因為X~B(16,0.003),所以E(X)=16×0.003=0.048.(2)如果生產狀態(tài)正常,一個零件尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率只有0.003,一天內抽取的16個零件中,出現尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件的概率只有0.0469,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種狀況,就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查,可見上述監(jiān)控生產過程的方法是合理的.14.解(1)x=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.